基本勾股數公式的一個新證法*

2016-05-10 12:36:15呂孫忠北京師范大學研究生院北京100875

中學教研(數學) 2016年4期

●呂孫忠　(北京師范大學研究生院　北京　100875)

基本勾股數公式的一個新證法*

●呂孫忠(北京師范大學研究生院北京100875)

摘要:文章從三角函數的角度證明了基本勾股數公式．首先說明了一個角的正弦和余弦值同時為有理數時，該半角的正切值為有理數，接著解釋了基本勾股數和單位圓上的有理點之間的關系，最后在這2個命題的基礎上證明了基本勾股數公式．

關鍵詞:基本勾股數公式;三角函數

在我國古代數學著作的《周髀算經》中，就有“勾三，股四，弦五”的原始說法，繼而誕生了不定方程x2+y2=z2．人們稱滿足這種不定方程的正整數解(x，y，z)為勾股數．

勾股數有無數多組，并且:若(x，y，z)為勾股數，則(kx，ky，kz)也為勾股數．在這一類勾股數中找出最簡單的那一組(x，y，z)，其中，x，y，z兩兩互素，稱這樣的勾股數為基本勾股數［1］．

基本勾股數定理［2］不定方程x2+y2=z2適合條件“x＞0，y＞0，z＞0，(x，y)=1，x為偶數”的一切正整數解可以用下列公式表達出來:x= 2p2q2，y=p2－q2，z=p2+q2，p＞q＞0，(p，q)=1，且p，q一奇一偶．

分析先說明x，y，z兩兩互素，若(y，z)=d＞1，則d|y，d|z．由x2+y2=z2，可知d|x，與(x，y)=1矛盾，故(y，z)=1，同理可推出(x，y)=(x，z)=1．于是x，y，z兩兩互素．下面說明x，y一奇一偶，因為(x，y)=1，所以x，y不能同時為偶數;若x，y同時為奇數，則z為偶數，此時

但z2≡0(mod4)，這與x2+y2=z2矛盾!因此x，y一奇一偶，在定理中，不妨規定x為偶數．

再將方程x2+y2=z2變形為

文獻［2］和文獻［3］分別利用了不定方程的理論和數形結合的思想證明了基本勾股數定理，具體證明請參考原文．此外，張景中院士在文獻［4］中用了一種初等變形，找到了全部的基本勾股數，這種方法頗具新意，證明也較為簡潔，這里對張院士的方法做簡要說明．

工傷保險的目的是為了讓被保人有能力再就業，使其恢復獲得基本生活保障能力，保證社會持續發展，因此工傷保險的重點應是預防和康復，而不是賠償，賠償只是消極的事后補償措施。目前大眾對工傷保險的認識仍舊停留在補償上，往往忽略了對工傷的預防和康復，造成終身殘疾，使社會勞動力整體素質下降。

代入x2+y2=z2，整理可得

分析x，y的代數結構，使得它們成為整數，取z= (u2+v2)t，其中t為任意正整數，這樣可以得到

仔細觀察該式，當t=1且(u，v)=1時，所有的基本勾股數就都在這里了．

筆者在前人的研究基礎之上，利用三角函數的知識，證明了基本勾股數定理．在介紹定理的證明前，先介紹2個命題．

證明根據萬能公式

得

命題2所有的基本勾股數和單位圓上第一象限內所有的有理點構成一一對應的關系．

證明一方面，對于任意一組基本勾股數(x0， y0，z0)，滿足，它對應單位圓上第一象限內的一個點另一方面，對于第一象限內單位圓上的任意一個有理點(x1，y1)，滿足x21+，不妨設，其中(p1，q1)=1且 (p2，q2)=1，則

2邊約去公因子，可得一組兩兩互素的數，這組數對應著一組基本勾股數．于是，這就建立了2者之間的一一對應關系．需要作一個假設，這里的基本勾股數，不根據奇偶性限定排序，例如(3，4，5)和(4，3，5)是2組不同的基本勾股數，它們對應的點和是圓上2個不同的點．

根據命題2可知，全部的基本勾股數和單位圓上全部的有理點之間存在著一一對應關系，換一個角度來說，如果找到了第一象限內單位圓上所有有理點的表示形式，再將它們的坐標轉化為勾股數的表示形式，那么基本勾股數定理就得以證明了．沿著這條思路，展開以下證明．

命題3利用三角函數證明基本勾股數公式．

證明設(x0．y0)為第一象限內的單位圓x2+ y2=1上一個有理點，利用三角代換，可得(x0，y0)=(cosθ，sinθ)，當cosθ，sinθ都為有理數時，根據命題1可知為有理數，不妨設(p0，q0)=1．因為，所以p0＞ q0．若p0，q0一奇一偶，則令p=p0，q=q0，代入萬能公式，可得