從自然走向更自然*

●李玉榮　(金陵中學河西分校　江蘇南京　210019)

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從自然走向更自然*

●李玉榮(金陵中學河西分校江蘇南京210019)

摘要:在課堂上讓學生求解一道“網絡征解”題，多種途徑作垂線構造直角三角形利用勾股定理求解，但在解所列方程時遭遇困難，引導學生轉變思維，實現解題方法從自然走向更自然，并精選配套問題讓學生練習，促使學生深化知識、形成能力．

關鍵詞:構造;直角三角形;方程;相似三角形;模型

學數學離不開解題，解題教學是教師永無止境的話題，正如著名數學教育家波利亞所說:中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練．這里的訓練應是師生共同的任務．近日，筆者從網上偶遇一道征解題，感覺有一定的思維力度，經過自己的求解后讓學生探究解法，在與學生的對話交流中，體驗了解法從自然走向更自然的蛻變，在此與大家分享．

活動1出示題目后，教師給學生一定的時間獨立思考，然后小組交流解法、解題感受及受阻原因．

生1:題設中∠B=45°為特殊角，一般應聯想到直角三角形，可考慮過點A作BC的垂線，題目中的未知線段較多，解題通法是設未知數、構造方程求解．

如圖1，作AH⊥BC于點H，則

設AD=AE=x，則

由AH·DC=AD·AC得

在Rt△ADC中，但在解方程時卻遭遇了困境．

生2:注意到題設中∠B=45°為特殊角，于是考慮過點A作BA的垂線構造直角三角形，再設未知數，列方程求解．

圖1

圖2

如圖2，作AH⊥BA交BC于點H，則

設AD=AE=x，則

由∠DEC=∠AHC=135°，∠C=∠C，可得△DEC∽△AHC，從而

在Rt△ADC中，

在解方程時也遭遇了同樣的困境．

生3:我們也是構造直角三角形列方程求解的．

如圖3，過點E作EH⊥AC交BC于點H，設AD=AE=x，則

易證△DEH∽△ABD，從而

即

可得

因為AD∥EH，所以

即

可得

從而

在Rt△ADC中，

在解方程時也遭遇了同樣的困境．

圖3

圖4

生4:我們也是構造直角三角形列方程求解的．

如圖4，過點C作CH⊥AC交DE的延長線于點H，則

設AD=AE=x，則

易證△DCH∽△ABD，從而

即

可得

在Rt△ADC中，

在解方程時也遭遇了同樣的困境．

生5:我們也是構造直角三角形列方程求解的．

如圖5，過點D作DF⊥DE交CA的延長線于點F，則DF=DE，且∠F=∠AED=45°=∠B．又∠FCD=∠BCA，從而△FCD∽△BAC，可得

設AD=AE=x，則

從而

可得

在Rt△ADC中，

在解方程時也遭遇了同樣的困境．

圖5

圖6

生6:我們和前面幾位同學的思路相同，也是構造直角三角形列方程求解的．

如圖6，過點D作DH⊥BC交AB于點H，設AD=AE=x，BD=DH=a，則

易證△DAH∽△CDE，從而

即

可得

即

故

在Rt△ADC中，

在解方程時也遭遇了同樣的困境．

師:6位同學從不同角度構造直角三角形、列方程求解，這是解決這類問題的通法，非常自然．但他們得到的方程是一元四次方程，在如何解這個方程方面遇到了困難，怎么處理?

同學們可能最先想到將原方程整理得

嘗試得

因為x＞0，所以

顯然，這里的因式分解學生是難以完成的．可不可以換個角度思考?

原方程可化為

解得t=10(負根舍去)，從而

雖然問題最終得解(教師之前做足了功課)，但美中不足的是這幾種看似自然的解法在解方程時卻顯得不夠自然，學生無法順利求解．

(沒有學生提出其他解法，教師繼續給予啟發．)

師:對于等腰Rt△ADE，有∠ADE=45°，于是∠B=∠ADE=45°，這是一個很重要的數量特征，能否聯想到一個重要的基本圖形來求解?

活動意圖立足解題通法，在已有思考的基礎上總結解題不成功的原因，從圖形的數量關系特征過渡到圖形的形狀特征，從自然走向更自然．

活動2學生繼續思考，教師巡視，大約5分鐘后有學生舉手．

生7:如圖7，分別延長AB，ED交于點H，易證△CDE∽△HDB∽△HAD，從而

可得

圖7

圖8

生8:如圖8，在DC上取點F使∠DFE=45°，產生“一線三等角模型”，得到△ABD∽△DFE，從而

于是

因為∠AED=∠C+∠EDC=45°，∠EFC=∠C+ ∠FEC=45°，所以

又因為∠C=∠C，所以

從而

即

解得DC=5(負根舍去)．

師:生7、生8能順利解決問題的關鍵是什么?

生9:生7利用∠EDC=∠BAD巧妙地構造了3對相似三角形;生8利用條件構造了“一線三等角模型”得到2對相似三角形，他們都避開了前面涉及的一元四次方程．

活動意圖注重知識關聯，避免解題中形成思維定勢．《數學課程標準(2011版)》提出了模型思想．應用模型思想尋求解題思路，可以排除其他因素的干擾，提高思維的敏捷性．有許多重要的數學模型，需要教師引導學生去發現、歸納、提煉，再研究它們的應用．

活動3精選2道中考題，學生獨立解答，歸納解題中運用的思想方法．

練習1如圖9，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為______．

(2014年湖北省武漢市數學中考試題)

圖9

圖10

解如圖10，過點C作CE⊥AD交AD于點E，過點B作BF⊥AD交DA的延長線于點F．因為∠ADC=45°，所以

又因為∠ABC=∠ACB=45°，所以△ABC為等腰直角三角形，從而△EAC≌△FBA，得

于是

因此在Rt△BFD中，

(2015年江西省南昌市數學中考試題)

圖11

圖12

解如圖12，作AH⊥BC，BM⊥AD，GN⊥AD，垂足分別為H，M，N，則AH=BM，HB=AM，易證△BMA∽△GND，△BME∽△ENG，從而

設DN=x，GN=y，則

從而

即

在Rt△DGN中，

把式(2)代入式(1)，得

在Rt△AFH中，

活動意圖作垂線構造直角三角形或構造“一線三等角模型”解題是本節課研究的重點．學生僅僅靠聽一道例題是難以真正掌握解法的，通過2道配套練習的求解，引導學生對學習結果主動反思，從“會”到“通”，促使學生深化知識、形成能力．

羅增儒教授提到“學會解題的4步驟程式”，即簡單模仿、變式練習、自發領悟、自覺分析．“自發領悟、自覺分析”很大程度上要求解題者能有解題的自我控制能力，有反思能力，如果學生每解決一個問題都能如此思考，關注數學方法，提煉數學思想，領悟解題策略，挖掘數學本質，提升學習潛能，解題思維品質將會不斷提高，從自然最終走向更自然．

作者簡介:李玉榮(1963－)，男，江蘇句容人，中學高級教師，研究方向:初中數學教學、解題與命題研究．

修訂日期:*收文日期:2015-11-27;2015-12-30．

中圖分類號:O124．1

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-42-04