一道高中數(shù)學競賽試題的解法探究與溯源*

●宮前長　(天水市第一中學　甘肅天水　741000)

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一道高中數(shù)學競賽試題的解法探究與溯源*

●宮前長(天水市第一中學甘肅天水741000)

摘要:數(shù)學解題是數(shù)學學習的主要方式．對于有價值的典型試題，一定要弄清試題所涉及的知識點、蘊涵的思想方法和解題策略，從不同的視角進行多層次的剖析，挖掘命題的立足點，追根溯源，明確試題所要考查的知識和方法，充分展示試題探究、解法探究的作用，彰顯命題人的意圖和期望．

關(guān)鍵詞:試題探究;解法探究;溯源

2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽陜西賽區(qū)預賽試題第2試的第5題是一道有關(guān)函數(shù)、導數(shù)與恒成立交匯的題目，筆者讀題、做題時發(fā)現(xiàn)這是一道值得探究和研究的競賽題．現(xiàn)將解題方法的思考過程、試題的命制背景以及題源探究進行整理，誠請各位同仁指導!

1　問題展示

例1已知函數(shù)f(x)=xlnx，g(x)=－x2+ ax－3，其中a∈R．

(2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽陜西賽區(qū)預賽試題)

該題目的背景是以常用的二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體，設置為有一個參數(shù)的恒成立問題，屬于常見題型．只要細心剖析，就會發(fā)現(xiàn)不等式中含有l(wèi)nx，ex的數(shù)式結(jié)構(gòu)，常常要化為和，或?qū)nx，ex分離出來，從而增強了不等式的等價轉(zhuǎn)化．該題注重對學生邏輯思維能力的考查和數(shù)學方法的運用，融數(shù)學邏輯、方法以及操作等為一體，難度不大，卻是一道具有較好區(qū)分度的試題．

2　解法探究

2．1第1)小題解法探究

第1)小題涉及含參不等式恒成立問題，是高考和競賽持之以“恒”設問的重點，常采用函數(shù)的最值法、分離參數(shù)法、充要條件等方法來求參數(shù)的取值范圍．下面只介紹分離參數(shù)法:

對函數(shù)h(x)求導，得

從而函數(shù)h(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，因此

即a≤4，故a的取值范圍為(－∞，4］．

2．2第2)小題解法探究

思路分析1最值法:對任意實數(shù)x∈D，函數(shù)f(x)＞g(x)恒成立等價于只需證明f(x)－g(x)＞0恒成立，即只需證明(f(x)－g(x))min＞0．有時采用中間量法:對任意實數(shù)x∈D，存在一個數(shù)M，使得函數(shù)f(x)＞g(x)恒成立等價于只需證明f(x)min≥M且M≥g(x)max成立，注意強調(diào)等號成立時x的值不同．從形的角度理解就是:要證f(x)＞g(x)成立，只要滿足函數(shù)f(x)的圖像始終在函數(shù)g(x)圖像上方即可．

解法1對任意x∈(0，+∞)，有

從而φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，因此

思路分析2根據(jù)重要不等式ex＞x+1(其中，得到ex－1＞x(其中x＞0)，即(其中x＞0)．再對所要證明的不等式變形、局部放縮來證明．

防治方法：由于稻薊馬很小，一般情況下，不易引起人們注意，只是當水稻嚴重危害而造成大量卷葉時才被發(fā)現(xiàn)，因此，要及時檢查，把稻薊馬消滅在幼蟲期。每畝用40%樂果乳劑1500～2000倍液，秧田和大田施藥后，都要保持水層。防治稻薊馬后要補施速效肥，促使秧苗和分蘗恢復生長。

解法3據(jù)重要不等式ex＞x+1(其中x＞0)，得到ex－1＞x(其中x＞0)，即(其中x＞ 0)．對任意x∈(0，+∞)，要證，只要證明，此時只需要證明

點評此方法屬于常規(guī)方法，將所要證明的不等式的局部進行放縮，再證明放縮后的不等式成立即可．

思路分析3結(jié)合思路分析1，2以及不等式的性質(zhì)，通過放縮進行證明．根據(jù)f(x)=xlnx的性質(zhì)易知:(其中x＞0)進行局部放縮，思路明了，操作方便．

點評此方法屬于常規(guī)方法，根據(jù)f(x)=xlnx的性質(zhì)易知:(其中x＞0)進行局部放縮，方法簡捷．

思路分析4從課本習題結(jié)論出發(fā)，通過各種變形和不等式的性質(zhì)來直接證明不等式成立，難度較大，容易想到，卻不容易操作．

解法5易證ex＞x+1(當且僅當x=0時等號成立)．因為ex＞x+1，所以ex－1＞x，即ex≥ex，從而(當且僅當x=1時等號成立)．由(當且僅當x=1時等號成立)，得，即邊取以e為底數(shù)的對數(shù)，可得，變形得(當且僅當x=時等號成立)．

點評此方法屬于常規(guī)方法，容易想到教材習題的結(jié)論:1)ex＞1+x(其中x≠0);2)lnx＜x＜ex(其中x＞0)，但變形操作不容易．

3　試題溯源

這道競賽題的第1)，2)小題其實是源于高考題，且這2個小題都涉及到課本習題．

題源1利用函數(shù)單調(diào)性，證明下列不等式: ex＞1+x(其中x≠0);lnx＜x＜ex(其中x＞0)．

(人教A版《數(shù)學(選修2-2)》習題1．3B組第1題的第3)，4)小題)

題源2已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx－x+1．

1)若xf'(x)≤x2+ax+1，求a的取值范圍;

2)證明:(x－1)f(x)≥0．

(2010年全國數(shù)學高考理科試題第20題)

1)求a，b;

2)證明:f(x)＞1．

(2014年全國數(shù)學高考新課標卷理科試題第21題)

題源2與例1的共同特征是:對函數(shù)f(x)求導，得

原不等式xf'(x)≤x2+ax+1等價于lnx－x≤a，轉(zhuǎn)化為只求得函數(shù)y=lnx－x的最大值小于a即可．只不過例1的第1)小題比高考題的外形有一些復雜，添加了心理壓力，其解題的思路和方法是一樣的．

題源3與例1的共同特征是:題源3通過第1)小題求得a=1，b=2后，所得函數(shù)f(x)=，對第2)小題要證明的不等式f(x)＞ 1具體化，即，通過變形處理就是所要證明的不等式:例1第2)小題給人的感覺就是將題源2進行壓縮和對不等式外形進行包裝、美化，比起高考題增強了外形的親和力，更加接近學生平時熟悉的函數(shù)，其證明的入口寬，具有很好的研究價值．

通過以上對試題的解法探究、分析和背景解讀，不僅挖掘出試題的源與流，而且有利于加深學生對數(shù)學知識的靈活應用，能夠更全面地、深刻地理解數(shù)學概念，梳理數(shù)學知識體系和強化各個知識點之間的聯(lián)系，真正做到理解數(shù)學，感悟數(shù)學!

作者簡介:宮前長(1964－)，男，甘肅禮縣人，中學高級教師，研究方向:中學數(shù)學教育、高考試題命制、解法研究．

修訂日期:*收文日期:2015-10-13;2015-11-21．

中圖分類號:O122

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-46-03