數學思想方法在數列解題中的應用

王幼蘭

摘 要：數列問題涉及的基礎知識、基本技能較廣泛，也包含了幾乎所有的數學思想.舉例說明方程思想、函數思想、分類討論思想、整體思想、數形結合思想、轉化與化歸思想等幾種數學思想方法在數列解題中的應用.

關鍵詞：數學思想方法；數列；應用

數列問題是高中數學的重要內容，學生普遍認為是高中階段數學內容較難學的章節之一，其涉及的基礎知識、基本技能較廣泛，也包含了幾乎所有的數學思想.

數列是一種特殊的函數，解數列題時要注意運用函數與方程的思想方法，同時也要注意運用整體的思想、數形結合的思想、分類討論的思想、轉化與化歸的思想等數學思想與方法去解題.以下是本人多年教學的一點體會，介紹一下常用的幾種數學思想方法在數列解題中的應用.

一、方程思想

等差數列或等比數列的通項公式、前n項和公式中共含有五個量，如果已知其中的任意三個量，通過解方程（組）可求出其余的兩個量.

例1.a1=20，an=54，Sn=999，求n與d.

解：∵Sn=■，即■=999，易得n=27

又an=a1+（n-1）d，即20+26d=54，d=■

∴n=27，d=■

此題雖然是一道基礎題，但是卻蘊涵著《數列》這一章基本知識點考查的基本解題方法——代基本公式，解方程求未知量.

二、函數思想

等差數列的求和公式是關于n的二次函數，所以解題時可借助二次函數的性質求解.

例2.等差數列{an}的通項公式an=2n-7，求前n項和Sn的最小值.

解：易知{an}為等差數列，∵an=2n-7 ∴a1=-5

Sn=■=■=n2-6n=（n-3）2-9

當n=3時，（Sn）min=-9

運用函數的觀點，用求解二次函數最值時常用的方法，往往能讓此類題目解起來較為容易.

三、分類討論思想

等比數列的求和公式中分母出現了1-q，解題時要注意分q=1，或q≠1兩種情況進行討論.

例3.已知等比數列{an}中，a1=2，S3=6，求a3和q.

解：當q=1時，S3=3a1=6符合題意，此時a3=a1=2

當q≠1時，S3=■=■=6，解得q=-2

故a3=a1q2=2×（-2）2=8

綜上所述，a3=2，q=1或a3=8，q=-2

此題很容易漏掉討論q=1的情況，容易忽略了公式Sn=■是以分母不為零（q≠1）為前提的，如果沒注意需要分情況討論，極有可能出現漏解情況.

四、整體思想

解決數列問題有時候要有點整體意識、總攬全局，避開分別求解所帶來的麻煩及思維的混亂，從而簡化運算過程、減少運算量.

例4.等差數列{an}中，a1+a2+a3=34，an-2+an-1+an=146，Sn=390，求這個數列的項數.

解：依題意得a1+a2+a3=34an-2+an-1+an=146

兩式相加得：（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）=180

由等差數列的性質a1+an=a2+an-1=a3+an-2得3（a1+an）=180

∴（a1+an）=60，又Sn=■？圯n=13

此題如果代基本公式求a1，d，n運算上會比較繁瑣，把已知條件整體來考慮，運算過程更為簡捷.

五、數形結合思想

數列是一種特殊的函數，解決函數問題我們經常運用數形結合思想，一些數列問題如果用數形結合的角度去考慮，也會使問題變得簡捷.

例5.等差數列的前n項和Sn，Sm=Sn（m≠n），求Sm+n.

解：由數列的性質知，等差數列的前n項和Sn=An2+Bn，它可以看成是關于n的二次函數，令f（x）=Ax2+Bx，依題意有f（m）=f（n），結合圖像，函數的對稱軸為x=■，又f（0）=0，所以f（m+n）=0，即Sm+n=0.

此題含有的字母較多，不少學生可能一看就找不著思路，但如果有上面的函數意識及數形結合的思想，顯然解題也是較簡捷的.

六、轉化與化歸思想

所謂轉化與化歸思想，就是利用所學的知識去揭示新與舊，繁與簡，抽象與具體，整體與局部等問題間的關系，通過等價轉化，變未知為已知的探索過程.

例6.已知數列{an}中，an=2n-7，求a1+a2+…+a15

解：另an=2n-7>0，得n>■，即數列從第四項a4開始為正數

a1+a2+…+a15=-a1-a2-a3+a4+…+a15=-S3+（S15-S3）=S15-2S3

∵an=2n-7，a1=-5 ∴Sn=■=n2-6n

a1+a2+…+a15=（152-6×15）-2（32-6×3）=153

此題把絕對值求和這一未知知識轉化為等差數列的求和運用，體現了變未知為已知的探索過程.

總之，學習數學不光是要會算，也不只是說要學會一些解題方法，更重要的是要學會數學思想，用數學思想來解決實際問題.作為教學者，在教學中隨時引導學生、對學生進行這方面的培養，對提高學生的數學綜合能力有及其重要的作用.

參考文獻：

[1]周仁國.數學思想在數列問題中的體現.學生之友，2009（07）.

[2]任志鴻.高中同步測控：優化設計.人民教育出版社，2004.

（作者單位 福建省南安第一中學）

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