在探求圖形要素關系的過程中發展學生的創新意識

摘" 要：發展學生創新意識是《義務教育數學課程標準（2022年版）》的明確要求. 在幾何教學中，引導學生在圖形變換的過程中發現圖形組成要素，感悟圖形組成要素的關系，體會圖形組成要素的變化規律，從而提出求解線段、角等數學問題，并憑借圖形要素關系解決問題的路徑，形成解決問題的策略，在培養學生發現、提出、分析和解決問題能力的過程中發展學生的創新意識.

關鍵詞：圖形變換；發現問題；提出問題；創新意識

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）04-0008-05

引用格式：吳鍔，任宏章. 在探求圖形要素關系的過程中發展學生的創新意識［J］. 中國數學教育（初中版），2025（4）：8-12.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）指出：“創新意識主要是指主動嘗試從日常生活、自然現象或科學情境中發現和提出有意義的數學問題. 初步學會通過具體的實例，運用歸納和類比發現數學關系與規律，提出數學命題與猜想，并加以驗證；勇于探索一些開放性的、非常規的實際問題與數學問題.”按照這樣的理念，教師需要思考如何開展能夠發展學生創新意識的幾何教學，進而尋求發展學生創新意識的一般思考路徑和方法.

《標準》中還明確指出：“在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題.”事實上，對于幾何概念、法則、定理的應用，學生要能夠從圖形世界中發現研究對象，運用已有的數學概念、法則、定理去揭示新情境中的數學對象之間的關系. 這里運用到了數學的抽象、邏輯推理和運算，都是因為創新欲望而去發現和深刻思考，應用意識和創新意識伴隨著思考的行為而發生，又推動著更深入的思考，最終實現問題的解決. 下面以在圖形變換的過程中探求圖形要素關系為例進行分析說明.

一、基于課標把脈定向，鎖定專題明確目標

《標準》指出：“圖形的變化”強調從運動變化的觀點來研究圖形，理解圖形在軸對稱、旋轉和平移時的變化規律和變化中的不變量. 基于《標準》要求和學情，發現學生已經知道圖形的三種運動，積累了研究三種圖形變換問題的相關經驗，了解了三種圖形變換的概念，已經會通過操作、觀察、比較、歸納得出三種圖形變換的概念、性質，并能夠進行相關概念和性質的運用和作圖.

基于學生已有的認知經驗，不妨創設中考試題情境引導學生用運動變化的眼光審視幾何圖形變換問題，關注研究對象，開展深度學習. 但學生對三種圖形運動之間相互的關聯，以及研究體系的整體架構不夠清晰，自主探究發現圖形要素關系的能力、數學的審美情趣和數學思想的應用水平有待進一步提高.

基于上述對教學內容和學情的分析，確定該專題的教學目標是：（1）通過感悟圖形變換過程中的變量和不變量，學會用運動變化的觀點審視問題，發現和提出求解線段、角等數學問題，初步發展創新意識；（2）通過觀察比較和想象構造，發現解決圖形變換問題的途徑，自然生成解決問題的策略，進一步發展創新意識；（3）通過編題解題，系統思考圖形變換問題，發展創新意識.

該教學目標以“通過”“學會”“發現”“發展”等字樣明確了創新意識的課堂行為表現，明確了學習數學的思維能力要求.

該專題的研究過程設置為四個任務，以活動為主線，以問題為載體，建構的教學流程如圖1所示.

二、創設情境開篇布局，提出問題明確任務

1. 鏈接中考試題，發現研究對象，形成對研究對象的一般思考

課堂中，通過讓學生欣賞三道中考數學試題（試題略），提出研究圖形變換視角下數學問題提出和解決的話題. 在此，以問題為出發點，創設鏈接中考數學問題的學習情境，引導學生關注圖形變換的數學問題，領會研究圖形變換問題就是研究圖形變換過程中的點、線、角、面的相關問題，研究幾何對象要立足研究幾何對象的形狀、位置和大小，在動與不動、變與不變中洞察研究對象的本質特征. 在之后的學習過程中，讓學生感悟研究對象，提出研究問題，發現對象間的關系，生成解題策略，以此明確后續研究的目標和方向. 教學中實現了對舊知識點的再現和整合，以及新思想的生成和貫通. 伴隨四個任務的設置，學生依據四個數學活動進行知識點的整理和解題思想方法的感悟. 學生在研究中不斷發現、總結并完善知識，構建研究新的幾何對象的思想方法體系，提升研究數學問題的能力.

2. 關注研究對象，剖析圖形要素，明確研究的具體內容

任務1：感悟圖形變換過程中相關量的變化情況，提出求解線段、角等數學問題.

活動1：創設情境，感悟變化，提出問題.

問題1：如圖2，在矩形ABCD中，[∠ABC=90°]，[AB=4，BC=8]，動點P從點B開始沿[B→C→D→A]方向運動，速度為1個單位長度 / 秒，運動時間為t秒.

（1）在點P的運動過程中，[△ABP]中的哪些量發生了變化，哪些量沒有發生變化？由此，嘗試提出一個問題.

（2）當點P在邊BC上運動時，將[△ABP]沿直線AP翻折，點B會落在哪里？由此，嘗試提出一個問題.

（3）當[t=3]時，將[△ABP]沿射線BC方向平移至[△DCQ]的位置，△ABP平移的過程中哪些量發生了變化，哪些量沒有發生變化？由此，嘗試提出一個問題.

（4）當[t=3]時，將[△ABP]繞點B旋轉一周，圖形中的哪些量發生了變化，哪些量沒有發生變化？由此，嘗試提出一個問題.

【設計意圖】通過對圖形變換過程中相關要素的分析，使學生感悟圖形變換過程中組成圖形要素（點、線、角、周長、面積等）的變與不變，學會發現、關注研究對象要素的變化規律和相互關聯，提出求解線段、角等數學問題，形成對幾何研究對象的一般性思考.

問題1中，先通過創設矩形邊上動點運動的情境，引導學生感悟圖形要素（點、線、角、周長、面積）的變化，進而提出問題. 有學生提出：“當t為何值時，點P運動到點C處或者點D處？”又有學生提出：“當t為何值時，點P運動到邊BC的中點處？”接下來，有學生提出：“點P運動的距離是關于時間t的什么函數？”馬上又有學生提出：“△ABP的面積S是關于時間t的什么函數，寫出其關系式.” 學生實現了從特殊到一般的思考，預想的教學效果在課堂上初步呈現. 當一名學生提出“當t為何值時，△ABP是直角三角形？”的問題后，馬上有學生提出“當t為何值時，△ABP是等腰三角形？”的問題. 學生的思維活躍了，想法變多了，其創新意識不斷萌芽、生長.

任務1從同源矩形中出現的三種圖形變換引入，激活學生已經積累的運用圖形變換解決問題的經驗，幫助學生通過觀察發現圖形變換過程中的不變量和變量. 例如，對于問題1中第（1）小題，學生發現：在點P運動的過程中，△ABP的頂點A和頂點B的位置不變，頂點P的位置發生改變；△ABP的邊AB的長度和位置都保持不變，邊AP和邊BP的長度和位置發生了改變；[△ABP]的三個內角中[∠ABP]的度數不變，[∠APB，][∠BAP]的度數發生了改變；[△ABP]的周長和面積都是變化的；[△ABP]的形狀可能是直角三角形，也可能是等腰三角形，還可能只是一般三角形. 由此得出即將研究的內容：圖形的組成要素的位置、大小和形狀的變化情況. 這就明確了所要研究的新問題.

這里，從學生的認知基礎出發，激活學生對三種基本圖形變換的認知經驗，然后針對三種變換下圖形要素的變化和不變化的領悟，由學生提出相關的數學問題，提出問題的過程充分展示了學生思維發散的過程，思維發散的起點體現了數學的創造，初步發展了學生的創新意識.

三、探究變化生成方法，聯想構造解決問題

1. 精準分析問題，活用思想方法，生成解決問題的基本策略

任務2：分析圖形變換過程中變量的變化規律，學會尋求路徑求解線段、角等相關數學問題.

活動2：典型例析，洞察變化，解決問題.

問題2：嘗試解決問題1中提出的一個問題.

【設計意圖】通過分析圖形變換過程中圖形要素變量的變化規律，學會研究特殊位置下相關圖形要素的關系，尋求解決問題的路徑，提煉解題方法，形成解題策略.

問題2以學生提出的問題為思考的著力點，現選取翻折背景下提出的問題為研究對象. 針對問題1第（2）小題，生1提出：“當t為何值時，點B落在對角線AC上？”怎樣解決這個問題呢？這里，學生需要構建圖形（如圖3），然后在Rt△PCB′中利用勾股定理建立方程求出[PB]的長度，進而得到t的值.

生2進一步提出：“當t為何值時，[△PBC]為直角三角形？”生3在此基礎上提出[∠BPC]（或[∠PBC]）為直角和[∠BCP]不可能為直角的情形. 對于“當t為何值時，[△PBC]為等腰三角形？”的問題，生4能夠分[BC=BP]，[BC=CP]和[BP=CP]三種情況思考，進而通過等量轉化解決問題.

任務2中，讓學生針對任務1中提出的問題進行分析解決. 問題是課堂上隨機生成的，對教師有一定的挑戰性，需要教師在課堂上快速判斷并選取有價值的問題讓學生分析并解決. 分析問題的過程需要學生聯想基本圖形、基本方法，發現圖形要素之間的關聯，形成合情合理的解題策略. 例如，生3提出的問題需要通過分類討論解決，生4提出的問題需要利用勾股定理建立方程求解線段的長. 在分析問題的過程中，學生從已有認知出發，通過分析圖形中要素間的關系，確認或構建基本圖形，自然形成了許多解決問題的策略，如利用全等三角形的性質轉移線段或角的相等關系，利用分類討論思想分析問題，利用勾股定理建立方程，利用函數思想分析變量，利用模型聯想發現關系，等等，進一步發展了學生的數學創新意識.

2. 編題生成問題，變通圖形關系，穩固創新意識的發展高位

任務3：創設圖形變換問題的復雜情境，提出求解線段、角等數學問題并嘗試解決.

活動3：拓展延伸，自主編題，創新解題.

問題3：如圖2，在矩形ABCD中，[∠ABC=90°]，[AB=4，BC=8，] 點P，Q分別是邊BC，AD上的動點，將四邊形ABCD沿直線PQ翻折，適當添加條件，并提出一個問題，嘗試解決.

【設計意圖】引入雙動點問題，通過編題活動升華學生對圖形變換問題的數學理解，學會提取圖形變換問題的研究要素，通過分析要素關系創新解題，發展學生的創新意識.

問題3全面考量學生的綜合素養，變單動點為雙動點，仍然以三種圖形變換為背景，讓學生通過聯想、自主想象構建圖形，洞察圖形要素關系，先提出數學問題，再自主分析問題，創新解決問題. 教學過程中，筆者從學生的創新思考出發，升華學生運用數學思想解題的經驗，通過小組合作、同伴互助、相互交流、班級展示，以及學生講題明晰問題，解決問題形成共識，最終達成對圖形變換問題的深度理解. 在學生講題時，教師更多的是等待，沒有因為學生講題的不完善而打斷學生，而是等待學生講完之后追問，由該生繼續說明或由其他學生補充說明. 教師給予學生足夠的空間和時間思考，再對話、引導、追問，讓學生不斷地發現、思考并實現創新，發展了學生的創新意識.

3. 反思提煉總結，提高思想認識，獲得解決問題的策略方法

任務4：通過學生自主進行課堂小結，提高對圖形變換背景下問題提出和問題解決的認識.

活動4：回顧總結，完善認知，升華提高.

問題4：談談本節課的學習體會. 你還有什么疑惑？

師生共同總結，得到如圖4所示的結構圖.

【設計意圖】通過反思學習內容，實現問題再現、方法總結、思想提煉，將新問題、新方法、新思想同化到原有的解題思想體系之中，構建新的解決圖形變換問題的思想方法體系，使學生獲得研究圖形變換問題的能力，發展學生的空間觀念、推理能力、應用意識和創新意識等數學核心素養.

值得一提的是，課堂小結中，學生踴躍發言. 例如，本節課我們研究了圖形變換的問題，研究了圖形變換背景下的動點運動問題，研究了在圖形變換背景下該如何提出問題和解決問題；提出問題時，我們常常基于圖形要素思考，也就是從點、線、角和形狀的角度思考提出問題；對于解決問題，我們常常考慮聯想基本圖形、利用勾股定理建立方程、利用全等三角形的性質轉化相等關系等途徑解決問題. 學生的總結使得課堂教學更為精彩.

四、教學反思

該專題課以發展學生的創新意識為課堂教學設計和思考的著力點，以提出數學問題為指向，關注數學問題提出和解決的過程. 通過設置四個任務，開展四個活動，貫穿四個問題，在問題逐步解決的過程中形成了研究圖形變換問題的一般思考方法. 課堂在不斷的想法生成、問題生成和解法生成的過程中推進，發展了學生的創新意識，深度開展了課堂學習，使學生的感悟不斷得到提升.

1. 源于要素關系，嘗試提出問題，悟出問題提出的思維之道

任務1中，學生通過動手操作、觀察比較或空間想象，發現了圖形變換過程中組成要素的變化規律，提出了具有一般意義的數學問題. 例如，針對問題1中第（2）小題，有幾名學生提出了如下問題：“當t為何值時，點[B]會落在矩形ABCD的內部或邊上或外部？”“當t為何值時，點[B]落在矩形ABCD的對角線AC上？”“連接[BC]，當t為何值時，[△BPC]是直角三角形？”“當t為何值時，點[B]到直線CD的距離最小？”“當t為何值時，點P移動到點C？”“當t為何值時，將[△ABP]沿著直線AP翻折得到[△ABP]，[△ABP]的邊交邊AD于點E，求DE的長.” 學生不僅提出了位置、形狀方面的問題，而且提出了最值問題，將[△ABP]與矩形ABCD的頂點、邊聯系起來. 利用同樣的思維方式，對于問題1中的第（3）小題和第（4）小題，學生都能夠自己思考、同步交流，提出有價值的數學問題. 這一過程提升了學生提出問題的能力，突顯了本節課的教學重點. 學生在不斷提出問題的過程中悟出思維之道，即用變化的觀點、聯系的觀點看問題，用特殊位置定位的方法提出問題.

2. 基于課堂生成，靈動對話啟智，實現數學思維的變通創新

課堂上，借助師生（或生生）對話、相互追問和理性思考，發現圖形變換問題中要素的變化，提出相關的思考問題. 針對學生思考不全面、表達不完整（或不正確）的情況，教師通過“再想一想”“再試一試”“再準確一點”“還能夠怎么想”等語言，使學生在不斷受到鼓勵的過程中完善思維、完善表述. 教師沒有指導學生問題的提出方式，沒有告訴學生問題的答案，而是逐步引領學生去深入思考. 課堂教學指向生成，學習任務在生生互動、健全認知和完善表達中完成，在問題變通過程中得以解決.

整個教學過程中，學生的思維發展和語言表達成為課堂的精彩構成. 課堂伊始，在教師示范提出問題的引領下，學生嘗試提出關于時間的問題，從“何時運動到點C處”到“當t為何值時，點P運動到點C處”，學生語言的表述不斷完善. 從點到線、從線到形，從特殊位置到一般位置，從靜態思考到動態過程分析，通過學生的語言表述自然流露. 最后，學生自主總結出“思考圖形變換問題要從點、線、角、面的角度考慮變與不變，由此提出要解決的數學問題”，或者“解決圖形變換問題的策略有利用全等三角形的性質轉移相等線段關系”，等等. 學生的語言表達非常精妙.

3. 探索創新之路，生成一般思考，尋求素養發展的一般路徑

根據課堂自然發展的狀況，教師讓學生不斷地發現問題、思考問題，循環往復. 課堂小結同樣由學生自主表述、相互補充. 這樣可以檢驗學生的學習情況，讓學生再次感悟本節課的重點和難點，進一步強化學生對研究圖形變換問題的一般思考.

本節課的研究實現了對于幾何圖形變換背景下發展學生的數學核心素養的一般路徑的探索. 基于圖形變換視角下的圖形要素關系研究，通過分析《標準》的要求、教材和學生的學情確定教學目標. 根據教學目標設計教學流程，開展基于任務環、活動鏈和問題串方式的數學學習活動，引導學生自主發現圖形要素和它們的變化規律，引導學生自主提出關于頂點、線段和角等數學問題，再通過分析問題，尋求問題解決的路徑，創新解決問題，發展學生的創新意識.

發展學生的創新意識不是一朝一夕之事，需要長期的堅持和不斷的探索. 該專題只是發展學生創新意識的一個大膽嘗試. 在一個專題中突出研究一個題型，解決一類問題，培養學生解決這類問題的能力，形成一般性地解決這類問題的數學思考. 但該專題中基于三個圖形變換的背景組織教學，內容顯得較多，今后不妨只選擇一個圖形變換的背景（如翻折），然后基于圖形要素讓學生深入開展關于圖形要素特征變化規律的思考，發現、提出、分析和解決問題，發展學生的創新意識.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］史寧中，曹一鳴．《義務教育數學課程標準（2022年版）》解讀［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022．

［3］任宏章，吳鍔. 數學應用意識和創新意識的內涵及其教學意義理解［J］. 中學數學教育（初中版），2023（9）：4-6，21.

［4］任宏章. 深悟概念要素，研獲思考方法：“圖形的旋轉”教學片段分析與思考［J］. 中學數學雜志，2016（10）：24-27.