經歷關鍵過程 發展模型觀念

摘" 要：通過項目式學習發展學生的模型觀念，提升問題解決能力，關鍵在于設置有效的活動任務，引領學生經歷關鍵過程. 以“拱橋中的數學”為例，通過引導學生提出并解決“設計拱軸線”“建造主拱圈”兩個任務，促使學生在課內經歷“發現和提出問題”“建立求解模型”“給出解釋建議”三個關鍵過程，發展模型觀念.

關鍵詞：項目學習；問題解決；拱橋；模型觀念

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）04-0039-06

引用格式：楊燦權. 經歷關鍵過程" 發展模型觀念：以“拱橋中的數學”為例［J］. 中國數學教育（初中版），2025（4）：39-43，48.

項目式學習是一種以問題解決為導向，通過整合數學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋現實問題的一種綜合與實踐活動. 項目式學習注重綜合性和實踐性，歷時較長，因而很多課堂教學展示都只截取成果分享部分以小組匯報的方式呈現，相關論文案例也是提綱挈領式地介紹. 關鍵過程與方法的缺失，導致這樣的課堂難以“復制”. 以“拱橋中的數學”為例，對于如何在課時教學中讓學生經歷較為完整的項目學習過程，發展其模型觀念，談談自己的實踐與思考.

一、教學定位

古往今來，拱橋是文人墨客創作的靈感之源，也是人類偉大的創造之一. 拱橋既蘊含著文化，又富有數學、工程、技術等學科知識，是開展項目式學習的良好素材.

“拱橋中的數學”一課立足于學生的認知與能力，著力于引導學生從數學的角度、用數學的方法嘗試解決拱橋設計與建造中的問題，以“怎樣造橋、造怎樣的橋、造橋需要考慮哪些因素”為驅動性問題，以“設計拱軸線”與“建造主拱圈”為兩個子任務，通過“情境創設，提出問題”“分析問題，制訂方案”“方案啟動，假設模型”“建立模型，求解模型”“模型檢驗，總結應用”五個步驟，促使學生在課內經歷項目式學習的關鍵過程，為課后能更好地開展建模活動打下堅實的基礎. 以期學生能：學會觀察，增強從數學的角度審視現實問題的意識；學會思考，提升發現問題本質，建立適切模型從而解決問題的能力；學會表達，積累表達和闡述數學結論所蘊含現實意義的活動經驗.

九年級學生已經學習了二次函數、圓、相似三角形等基礎知識，具備較強的抽象能力與推理能力，積累了一定的用數學知識解決問題的活動經驗，但對項目式學習仍相對陌生. 因此，本節課的重點是讓學生經歷項目式學習的關鍵過程，發展模型觀念.

二、教學實踐

1. 情境創設，提出問題

課堂伊始，教師創設“不可達”情境：想過河又不得，試問有什么合適的辦法. 學生提出包括“造橋”在內的很多奇思妙想，教師則引導學生化身橋梁設計師去設計、建造一座橋，并追問“你想在這里建造一座怎樣的橋”. 為了讓學生心目中橋的模樣外顯，教師借助PPT呈現了以下圖片（如圖1）.

【教學說明】建構主義強調學習的主動建構性、社會互動性和情境性. 項目式學習是一種以問題解決為導向的綜合與實踐活動，而在實際情境中提出有意義的問題更能激發學生探索的興趣與動機，這也是培養學生應用意識和創新能力的重要途徑.

2. 分析問題，制訂方案

在驅動性問題“怎樣造橋、造怎樣的橋、造橋需要考慮哪些因素”的指引下，學生從橋梁的類型（形狀）、跨徑、拱高、船的通行、承重、水位、美觀、材料、寬度、厚度、抗洪等角度進行思考. 教師則引導學生先聚焦“橋截面”的設計，然后從“承重”和“船的通行”兩個方面對上述主要因素進行分類，再引入科學中平橋與拱橋的載重對比實驗，進一步讓學生體會拱橋的優勢，從而將研究對象確定為“拱橋截面”的設計與建造. 具體地，拱橋形狀還分為拋物線形、圓弧形、懸鏈線形等.

接下來，教師組織學生學習拱橋的結構平面圖（如圖2），引導學生思考可以從數學的角度提出哪些切實可行的問題，規劃流程，制訂方案.

學生發現拱橋設計與建造的關鍵在于拱圈，而這個拱圈的形狀又由拱線所決定，由此確定了本項目的兩個子任務，即“設計拱軸線”和“建造主拱圈”.

【教學說明】分析問題，聚焦關鍵要素，獲得對象，制訂研究方案，是項目式學習順利開展的前提. 基于學生的認知與能力，引導學生從數學的角度去觀察與分析、思考與表達，通過整合數學與其他學科的知識和思想方法，提出具體可實施的研究方案. 學生對整個項目有了全局的思考之后，更有利于各個關鍵過程的實施. 事實上，日常生活中從不缺乏數學問題，缺乏的是發現問題的意識.

3. 方案啟動，假設模型

由于真實情境的復雜性及初中生認知與能力的局限性，故學生需要對模型進行適當假設與簡化. 師生經過討論，達成如下共識.

（1）拱橋有足夠的承載能力. 首先，相對于平橋，拱橋在承載能力上有優勢；其次，跨徑相對不大；最后，橋面也只需滿足人們的日常通行，不需考慮重型車輛通過.

（2）單拱，且不考慮兩船在橋底下交會的情形.

（3）船的截面被抽象成一個矩形.

（4）若在最高水位時，船體恰好能通過主拱圈，則表示船可以通過拱橋.

【教學說明】問題復雜度、難度的設置要與學生的實際情況相符，難度越大并不意味著質量越高，而是要符合學生的認知發展水平. 在項目啟動之初，學生對問題的思考處于感性階段，而經歷模型假設與簡化之后，其對研究對象的認識會更加深入，逐漸從感性認識走向理性思考.

鑒于課堂時間有限，教師將在課前準備好的實地測量數據或者從網上收集到的數據，根據學生的需求逐一呈現. 教師要求學生在草稿紙上畫出船通過拱橋時的截面示意圖（如圖3），并標上相應數據. 其中，跨徑AB為8 m，最高水位距離地面為0.2 m，即AG = BH = 0.2 m，船的截面寬為2.8 m、高為2 m，即EF = 2.8 m，CF = 2 m.

學生根據自己的理解，設計橋的形狀有圓弧形，也有拋物線形.

【教學說明】現實問題中的量往往是未知的，需要學生自主選擇，然后通過測量、調查、上網查找等方式進行收集. 在有限的課堂時間內，教師按學生之需提供相應數據，在很大程度上還原了真實情境，為學生今后解決真實問題奠定基礎.

4. 建立模型，求解模型

任務1：設計拱軸線.

學生結合前期的分析與收集的數據，畫出拱線的設計圖，并確定其中的參數. 學生小組合作后派代表上臺展示. 接著，教師組織學生完成前面提出的兩個子任務，并提出問題：如何說明你的設計已經完成？

若是圓弧形，需要確定圓心和半徑；若是拋物線形，則需要建立平面直角坐標系，確定函數表達式. 經過小組研討，學生上臺分享思維成果.

① 圓弧形.

生1：如圖4，記[AB]所在圓的圓心為O，連接AB，作OK⊥GH并延長，分別交AB，CD，[AB]于點L，Q，P，連接OB，OD. 則LB =[12]AB = 4，QD =[12]CD =[12]EF = 1.4，LQ = QK - LK = 1.8. 設OL = x，在Rt△OQD和Rt△OBL中，根據勾股定理，得OQ2 +QD2 = OD2 = OB2 = OL2 + LB2，即[x+1.82+1.42=]x2 + 42. 解得x = 3. 故[AB]所在圓的半徑為5 m.

② 拋物線形.

生2：如圖5，以線段AB的中點O為坐標原點，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，建立平面直角坐標系. 此時，點A的坐標為[-4，0]，點B的坐標為[4，0]，點C的坐標為[-1.4，1.8]. 設拋物線的表達式為[y=ax+4x-4]，將點C的坐標代入，求得a =[-539].

生3：如圖6，以點A為坐標原點，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，建立平面直角坐標系. 此時，點A的坐標為[0，0]，點B的坐標為[8，0]，點C的坐標為[2.6，1.8]. 設拋物線的表達式為y = [axx-8]，將點C的坐標代入，求得a =[-539].

教師繼續通過問題“用兩種不同的建系方法得到了兩個不同的表達式，哪一種正確？”驅動學生思考兩個表達式之間的聯系與區別. 學生發現兩個表達式的二次項系數a都等于[-539]，再次體會到拋物線的形狀不會隨著坐標系的改變而變化，所以確定拋物線的形狀本質上就是求a的值.

【教學說明】用圓弧和拋物線兩種不同的方法建立模型去解決同一個問題，既展現了學生在解決問題過程中思維的發散性和靈活性，也說明了現實問題的解決往往是多途徑的. 反之，通過真實問題的解決，又能進一步加深學生對數學知識的理解.

任務2：建造主拱圈.

利用給定的紅磚模具，先在桌面上搭出一個滿足條件的拱圈截面，然后通過計算，確定施工方案.

假設拱圈厚度是24 cm，建造的材料是紅磚，規格為24 cm × 11.5 cm × 5.3 cm. 所謂的施工方案，就是工人在施工時如何具體操作，如兩塊紅磚是怎么搭的，在哪個地方放多少厚度的水泥，等等. 課堂上，學生呈現了以下作品（如圖7）.

教師組織學生進行相互評價，要求學生在設計圖上嘗試畫出主拱圈，并提問：“對于圓弧形的拱橋而言，這個主拱圈是什么幾何圖形？”當學生回答是“扇環”后，發現此時問題就轉化為如何用矩形去鋪這個扇環.

生4：我們組是按照圖8設計的. 工人在施工時要盡可能做到以下兩點：一是相鄰紅磚有一個頂點貼合；二是相鄰紅磚的另一個頂點需要隔開一定的距離. 這樣就能呈現圓弧形.

如圖9，圓弧形主拱圈的模型已然建立，相鄰紅磚需要隔開多少距離？雖然紅磚是“直的”，扇環是“曲的”，但不妨將[AQ]的長度近似等于紅磚的寬AM，于是兩塊紅磚隔開的距離近似等于[JP]與[AQ]的長度差.

解法1（局部考量）：由相似，可得[JPAQ=OJOA]. 所以[JP-AQAQ=OJ-OAOA=AJOA]. 所以[JP]-[AQ]≈[24500]× 11.5 = 0.552（cm）.

解法2（關注整體）：先求出圓弧的度數，根據弧長算出磚塊數目，然后用弧長差除以磚塊數目，即可得到相鄰距離. 設圓弧的度數為α，則[AB]=[α360]× 2π × OA，[JK]=[α360]× 2π × OJ. 則磚塊數目k ≈[AB11.5]，所以相鄰距離d ≈[JK-ABk]. 代入，得d ≈[AJOA]× 11.5 = 0.552（cm）.

【教學說明】學生對于拱軸線的設計尚且有一定經驗，但對建造主拱圈是完全陌生的，此時更需要學生擁有能夠觀察現實世界的數學眼光，能從生活中汲取靈感，真正促進跨學科實踐. 用紅磚堆砌而成的主拱圈的邊界本質上是多邊形的一部分，當紅磚寬度遠遠小于圓弧半徑時，可以將其近似地看成“圓弧”，實現“化曲為直”的目的，其中蘊含著極限思想.

5. 模型檢驗，總結應用

接下來，教師引導學生對前面建立并求解出來的模型進行比較. 通過幾何畫板軟件模擬畫出圓弧形和拋物線形兩種不同的拱軸線，發現兩者有區別，但沒有明顯的區別，如圖10所示. 也有學生提出“矢跨比”的概念，即“矢高”與“跨徑”之比. 經過計算，得到拋物線形拱的最大高度約為2.05 m，圓弧形拱的最大高度約為2 m，即從矢跨比的角度比較，拋物線形拱稍大些.

由此，學生自然地提出了“跨徑變了怎么辦”“還有沒有其他形狀的拱軸線”“是否可以用楔形磚來代替長方體磚”“拋物線拱圈該怎么造”等問題.

教師讓學生回顧整節課的學習過程. 學生結合板書進行梳理，總結本次項目學習的五個步驟：發現問題，提出問題；分析問題，制訂方案；模型假設，收集數據；建立模型，求解模型；模型檢驗，總結應用.

【教學說明】用學生所學的數學知識與方法嘗試解決拱橋的設計與建造問題，這就是拱橋中的數學. 而本節課架起的是一座真正溝通數學世界與現實世界的橋梁.

三、教學思考

項目式學習本質上是一類以問題解決為導向的實踐活動，實施時需要將目標落實到活動環節及具體的學習任務中.

1. 如何設計合理有效的活動任務

（1）任務應難易適度，有助于學生數學地思考.

促使學生進行有效的數學思考，提升問題解決能力，是項目式學習的重要目標. 因此，驅動性問題要適切，不大不小；活動任務應適度，不易不難，應使得多數學生“跳一跳”都可以完成. 在課堂上，教師啟發學生將“如何造橋”這個問題進行解構，形成“設計拱軸線”和“建造主拱圈”兩個兼具可行性和挑戰性的子任務. 基于較為復雜的真實情境及初中生有限的認知與能力，教師引導學生進行模型假設. 但在假設船截面時，并不是將其看作一條線段，而是抽象成一個矩形；在考慮水位變化時，也不是簡單地把地平面看成是最高水位. 這些假設雖然增加了學生解決問題的難度，尤其是圓弧形拱軸線的情形，但是也更大程度還原了生活實際，促使學生在活動中思考，發展數學核心素養.

（2）任務應指向本質，有助于學生理解數學.

培養學生從日常生活中“看出”數學現象，從數學的角度發現和提出、分析和解決簡單實際問題的能力是目標之一，借助具體任務讓學生進一步感受、理解數學本質也是重要的目標. 在任務1中，當教師追問“如何說明你的設計已經完成”，學生經過思考之后回答：“確定一個圓，就是要確定其圓心和半徑；確定一個拋物線，就是要確定其函數表達式.” 隨后，教師引導學生思考用兩種不同建系方法得到兩個不同的表達式之間的聯系與區別，促使學生體會拋物線形狀不會隨著坐標系的改變而變化，因為形狀本質上是由二次項系數決定的. 而通過任務2的解決，學生又能深切感受到生活中處處可見的“圓弧砌磚”背后的原理是“以直代曲”，蘊含極限思想.

（3）任務應靈活開放，有助于學生探究數學.

項目式學習過程應是學生富有個性的學習過程. 學生在具體活動中應獲得豐富多樣的學習體驗，發展應用意識和創新意識. 例如，學生在討論“造橋需要考慮哪些因素”時，不僅考慮到了生產生活的方方面面，而且還能通過有理有據的分享交流，提出自己的獨到見解，更重要的是在這個過程中學生經歷了觀察、猜測、調查、實驗、測量、推理及合作等學科實踐探究. 又如，教師組織學生利用給定的紅磚模具，嘗試在桌面上搭出一個滿足條件的拱圈截面，這也是整節課的高潮，學生的探究情緒高漲. 對于拱橋類型，從兩種不同的拱軸線設計方案，到兩種不同的主拱圈建造方法，再到最后的模型比較，教師力求給學生創設足夠的探究空間，在對比中不斷優化模型.

2. 需要經歷哪些關鍵的實踐過程

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識. 知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑；初步感知數學建模的基本過程.”而數學建模是一個將實際問題轉化為數學問題，再通過數學方法求解，最后將結果應用于實際的過程. 因此，要發展模型觀念，學生需要經歷以下三個關鍵過程.

（1）發現和提出問題：從生活到數學.

數學源于對現實世界的抽象，用數學的眼光觀察現實世界，發現并提出數學問題是項目式學習的第一步. 事實上，無論是學生還是教師，對這一環節都相對陌生，因為我們總是習慣于做現成的、條件封閉的問題. 即使是最流行的“項目化試題”，也無法讓學生經歷這一過程. 因此，在課堂伊始，教師就應創設較為真實的情境，引導學生觀察現實世界中的現象，識別出可以用數學方法解決的問題；然后將現實問題抽象、簡化以便于數學地處理；最后清晰地表述問題，包括已知條件、未知量和求解目標等. 值得一提的是，即使在同一個情境下，學生也可以從不同角度發現和提出不同的問題.

（2）建立求解模型：從數學到數學.

基于抽象結構，選擇或建構數學模型，借助符號運算、形式推理形成數學的結論和方法，這是一個“用數學的思維思考現實世界”的過程. 對于問題的分析，學生需要調用的可能不僅僅是數學知識，還有其他學科的知識或經驗，有時還要查閱資料，從而找到較為適切的數學概念、原理和模型來描述相應的數學規律. 例如，任務1中拱軸線的設計就建立了拋物線或圓弧模型，而在任務2中建立的是“矩形鋪扇環”模型. 接著，利用收集到的數據確定模型中的參數，運用數學方法求解模型，這里的方法可能包括代數運算、微積分和數值分析等. 當然，還需要根據求解結果和實際需求對模型進行調整和優化.

（3）給出解釋建議：從數學到生活.

項目式學習乃至數學，最終的目標是幫助人們認識、理解和表達現實世界的本質、關系和規律，也就是“用數學的語言表達現實世界”. 事實上，通過我們獲得的數據，建立和求解出來的模型并不一定能完全描述真實問題的規律，但學生應嘗試去解釋各種現象. 例如，拋物線形拱和圓弧形拱差異那么小，在現實中如何判斷；圓弧形主拱圈的建造用到的是“以曲代直”，拋物線形拱圈如何建造；等等. 學生會自然地考慮更多因素，作更多假設，收集更多的數據對模型進行微調和完善. 接著，他們又會提出“還有沒有其他形狀的拱軸線”“是否需要用楔形磚代替長方體磚”“跨徑變了怎么辦”等問題.

項目式學習不僅可以幫助學生理解數學知識的實際應用，也能促進跨學科的學習和研究，培養他們的批判性思維、創新能力和實踐能力. 這種學習方式有助于學生更好地將抽象的數學理論與現實世界聯系起來，架起一座“數學—生活”的拱橋.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］鮑建生，章建躍. 數學核心素養在初中階段的主要表現之七：模型觀念［J］. 中國數學教育（初中版），2022（12）：3-8．