立足“三個理解”發展核心素養

［摘" 要］ 基于“三個理解”的數學教學，即理解學生，將學生的長期發展放在首位；理解教學，發揮教學的內在力量；理解數學，挖掘數學內容所蘊含的價值觀資源，以促進學生的理性精神與關鍵品格的發展. 研究者以“正弦函數、余弦函數的圖象”教學為例，從“自然引入主題”“概念同化概念”“問題驅動探索”“辨析作圖原理”四個方面展開研究，并有針對性地分享一些思考與感悟.

［關鍵詞］ 三個理解；數學教學；函數圖象

“三個理解”（理解數學、理解學生、理解教學）理念由章建躍教授提出，該理念歷經歲月的洗禮，對新課改背景下的數學教學依然具有重要的指導意義. 實踐證明，理解數學能夠確保教學方向的正確性，理解學生能夠提升教學的針對性，而理解教學則能使課堂更加生動活潑. 那么，關于“正弦函數、余弦函數的圖象”的教學，能否在“三個理解”的基礎上進行呢？這是一個值得深入研究的問題.

教學過程設計

1. 自然引入主題

師：在之前的學習中，我們已經掌握了指數函數與對數函數的相關知識，關于這兩類函數的探索主要遵循以下路徑（多媒體展示）：運算→性質（概念→圖象→性質）→應用. 本節課將基于大家已掌握的知識、經驗和研究方法，深入探討三角函數的圖象及其性質.

設計意圖 在回顧舊知的基礎上，引導學生從更高層次的視角分析三角函數章節的內容，將三角函數與指數函數（或對數函數）等初等函數的知識聯系起來，從方法層面構建起一般化的研究思路，凸顯研究過程的連貫性特征. 這種結合舊知回顧和開門見山的導入方式簡潔明了，能夠使學生的思維從基礎出發，迅速觸及教學內容的核心.

2. 概念同化概念

借助函數的概念來同化正弦函數和余弦函數的概念. 通過多媒體展示圖1，引導學生回顧三角函數的定義：一般地，任意給定一個角α∈R，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標，無論是橫坐標還是縱坐標，都是唯一確定的. 所以，點P的橫坐標、縱坐標都是角α的函數.

當角α的終邊繞坐標原點旋轉時，可以觀察到三角函數值呈現出周期性的重復. 為了讓學生直觀感知這一周而復始的現象，教師借助幾何畫板進行演示，為后續將正弦函數的圖象從R上轉換到［0，2π］上奠定基礎.

師生活動：在教師的引導下，學生總結出以下結論. 任意實數x都唯一對應一個sinx或cosx，從函數的定義出發，明確取正弦值、余弦值構建的對應關系都是函數關系. 將y=sinx，y=cosx分別稱為正弦函數和余弦函數，它們的定義域均位于實數集R上.

設計意圖 借助函數的定義同化三角函數的定義，為提煉一般性的研究方法創造條件. 幾何畫板的應用使得原本抽象的周而復始現象變得直觀，為培養學生的數學直觀想象能力打下了堅實的基礎.

3. 問題驅動探索

師：大家是否還記得，在之前的學習中，我們研究函數時所使用的一般思路嗎？

生1：一般從定義出發，先研究函數的圖象，隨后研究函數的性質.

生2：也可以從定義出發，先研究函數的性質，再研究函數的圖象.

師：確實存在兩種研究思路，通常在新課授課時我們采用生1提出的研究思路，在解題教學中則會采用生2提出的研究思路. 本節課，我們將按照生1提出的研究思路，對正弦函數、余弦函數的圖象進行分析. （教師在此并未回避生2提出的研究思路，為后續探索正切函數的性質和圖象做鋪墊.）

設計意圖 在開始正式研究之前，引導學生明確研究思路，可以為課堂教學提供指導，讓學生初步認識到“方法比知識更重要”.

4. 辨析作圖原理

問題1 繪制函數圖象一般遵循怎樣的過程？

生（眾）：列表—描點—連線.

問題2 現在請以同桌為一組，自行構建一個函數以繪制圖象，溫習一下“列表—描點—連線”的過程.

設計意圖 回顧繪制函數圖象的過程，為正弦函數、余弦函數的圖象的探索夯實方法基礎.

問題3 在確定正弦函數的定義域為R的情況下，若要清晰地描述正弦函數的變化規律，需要畫出多少個單位長度的圖象？請說明理由.

生3：至少需要畫出2π個單位長度的圖象，可借助誘導公式sinx=sin（2kπ+x），k∈Z來闡明理由.

師生活動：有學生提出，可以從［0，2π］上取5個特殊的點來繪制圖象. 教師依據學生的思路，對這些點所構成的曲線（出現多樣性）進行提問.

問題4 通過觀察發現，由這5個點連接起來的曲線呈現出了不同的形狀，那么，哪種情況更接近真實的正弦函數的圖象呢？若要得到更精確的圖象，我們應該如何操作？

生（眾）：需要增加更多的點.

師：這是個不錯的建議. 現在請大家在兩點之間選取3個點，將這兩點間的距離分成4等份，從而將原來的5個點增加至17個點，然后“列表—描點—連線”.

設計意圖 雖然學生能順利說出“列表—描點—連線”的基本步驟，但在實際應用中，點的選擇方法和數量會直接影響所繪制的圖象的精確度. 因此，鼓勵學生自主選點并加密，可進一步突出“數形結合”在探索函數圖象中的作用.

問題5 觀察表1可以發現，有些點的縱坐標屬于無理數的范疇，而有些數值則難以估算. 面對這種情況，我們應該如何處理呢？例如，我們該如何精確地確定點π/8，sinπ/8的位置？

設計意圖 部分學生在課前預習過，會提出應用三角函數線進行作圖的想法. 為了讓學生心悅誠服，必須揭露知識的來龍去脈. 因此，為學生提供充分的時間和空間，讓他們理解為何使用三角函數線作圖是至關重要的. 如此設計，能夠進一步激發學生的探究興趣，讓他們深刻認識到使用三角函數線作圖的重要性和必要性.

問題6 眾所周知，想要獲得精準的函數圖象，關鍵在于函數值與自變量的準確度. 目前面臨的困難是難以從代數角度獲得精確的函數值. 如果轉變思維，我們可從哪些角度去探尋精確的函數值呢？追溯到三角函數的“發源地”，或許能找到一些啟示.

在這個問題的啟發下，一些學生恍然大悟，立即提出可從幾何角度來刻畫相應的函數值；而另一些學生還未完全理解教師的意圖. 此時，教師提出了一個具體的問題：“在數軸上標出2的位置.”以此激發學生的聯想，引導他們的思維自然過渡到“以形刻數”的層面.

為了增強學生對這個問題的直觀認識，教師借助幾何畫板進行了動態畫圖演示. 以π/8為例，先畫出一個以原點O為圓心的單位圓，然后作出π/8的終邊，與單位圓相交于點P，則sinπ/8為點P的縱坐標. 為了確定點π/8，sinπ/8的位置，將正弦線MP向左平移，直至點M和π/8所對應的點完全重合. 此時，點π/8，sinπ/8的位置就找到了.

問題7 通過探索點π/8，sinπ/8的位置，大家已經掌握了基本流程. 那么，如何精確地定位其他點呢？是否可以快速定位？

設計意圖 精確地定位點的位置對于繪制圖象至關重要，幾何畫板的應用使得這一過程變得更加直觀，從而提升了學生的理解能力. 在一系列問題的引導下，學生不僅獲得了y=sinx在［0，2π］上的圖象，還對圖象上各個點的來源有了清晰的認識.

問題8 大家已經獲得了y=sinx在［0，2π］上的圖象，那么，如何獲得y=sinx在R上的圖象？

問題9 如何獲得y=cosx，x∈R的圖象呢？

設計意圖 鼓勵學生自主討論、辨析和表征，通過平移變換來實施作圖，進一步揭示新知的生成往往依賴于舊知的輔助，理解新舊知識的融合是構建完整認知體系的基礎.

問題10 觀察正弦函數和余弦函數的圖象，是否存在什么特殊的方法能快速掌握它們的特征？

學生通過合作交流，一致認為采用“五點作圖法”能更直觀地理解圖象特征，即“選取5個特殊點→y=sinx，x∈［0，2π］的圖象特征→y=sinx，x∈R的圖象特征”.

思考與感悟

1. 理解學生，明確教學方向

學生是課堂的中心，是知識的接受者. 深入了解學情是教學的基礎，也是所有教學活動的起始點與落腳點. 為了最大化一節課的教學效益，首要任務是深入了解學生的認知水平和他們對知識的實際需求. 例如，我們在設計問題時應考慮設置合理的梯度，讓不同層次的學生都有事可做，都能得到不同程度的提高［1］.

在本節課開始之前，教師與學生進行了交流，發現許多學生有這樣的疑問：我們不是已經學習過正弦函數和余弦函數了嗎？我們已經掌握了用三角函數線來探索三角函數性質的方法，為什么又要從圖象著手重新探索一遍？這兩者之間有什么必然的聯系嗎？實際上，學生在之前學習的三角函數的定義，本質上是對已知概念賦予新的符號表示，即y=sinx，y=cosx，y=tanx，這是數學抽象的一個典型例子. 在繪制三角函數圖象的過程中，回顧這一點可以幫助學生發現三角函數值的來源，從而理解研究三角函數的思路與指數函數或對數函數是一致的.

本節課是三角函數圖象與性質的起始課，與研究指數函數或對數函數的思路進行類比，可提高教學效率. 同時，探索三角函數的性質，必須基于“任意角的終邊旋轉”這一條件，但由此產生的性質難以通過直觀圖象來描述. 那么，如何用直觀的方法來描述這一現象呢？這便突顯了繪制三角函數圖象的必要性和重要性. 因此，從理解學生的角度出發，明確教學方向，可以為學生能力的發展打下堅實的基礎.

2. 理解數學，關注作圖過程

在設計教學方案之前，教師必須對課程內容的背景、概念的內涵與外延、知識點之間的內在聯系，以及教學內容所蘊含的數學思想方法和理性精神有清晰的理解. 教師應明確通過教學能夠培養學生的哪些核心素養. 深入研讀教材、課程標準要求、學科指導意見等是理解教學的關鍵途徑，必要時，教師還應通過查閱相關文獻資料進一步掌握知識的脈絡，為課堂教學做好充分的準備.

就本節課的教學來說，引導學生順利準確地作出正弦函數一個周期內的圖象實屬不易. 實際上，關于本節課的教學，存在不少“偽探究”的現象. 為了幫助學生真正掌握精準作圖的原理與方法，并促進深度學習，建議鼓勵學生先自主嘗試，以發現“困頓”之點，而后再追根溯源，還原整個作圖過程. 這種將學生置于“憤悱”狀態的教學模式，能夠有效激發學生主動探索的欲望.

當然，教師的點撥在這一過程中起著至關重要的作用. 例如，教師需要引導學生理解三角函數的描點過程，以及在平移三角函數線之前，如何在單位圓中劃分角度. 既然選擇使用三角函數線來描點，那么列表時就不必局限于kπ/6（k∈Z），因為三等分角沒有平分角來得容易. 因此，在增加點數時，師生選擇kπ/8（k∈Z）來展開探索. 同時，在x軸上精準找出kπ/8（k∈Z）所對應的點以及均分［0，2π］，都要讓學生知其所以然.

3. 理解教學，突破教學難點

為了充分發揮數學教學在育人方面的職能，教師不僅要理解數學與學生之間的關系，還必須深入理解教學本身. 深入理解教學能夠幫助我們從根本上突破教學的重點和難點，從而提升教學效果. 高效的數學教學活動依賴于師生之間積極的互動和交流，這是一個教學相長的過程. 正如古語所言：“教之道，在于度；學之道，在于悟.”在課堂上恰當地掌握“取舍”的尺度是提高教學效率的關鍵. 部分教師為了讓學生掌握盡可能多的知識，不惜在課堂上用盡各種方法強行灌輸，結果學生無法吸收，反而產生了抵觸情緒. 實際上，根據學生的實際情況和教學條件，精心設計教學內容的取舍，可以增加學生參與討論、辨析和領悟的機會，這才是提升教學活力的根本［2］.

使用描點法作y=sinx，x∈［0，2π］的圖象是本節課的教學難點，教師為學生提供了充足的時間去感知、辨析、體驗、感悟，取得了良好的教學成效. 另外，“五點作圖法”是本節課的教學重點，教師為學生提供了充足的時間去操作，并借助幾何畫板直觀演示，讓整個教學過程充滿生命力.

總之，以“三個理解”為基礎的數學教學，應當聚焦于學生的長遠發展，充分利用數學的內在潛能，深入挖掘數學內容所承載的價值觀資源，培養數學思維和理性精神. 這是一條提升學術能力，發展核心素養的關鍵路徑.

參考文獻：

［1］ 高洪武. 基于“三個理解”教學觀下的概念課設計：“正弦函數、余弦函數的圖像”的教學及反思［J］. 中小學數學（高中版），2014（Z1）：85-88.

［2］ 陳義明. 在教學中踐行“三個理解”：以《基本不等式（第1課時）》的教學為例［J］. 數學通報，2017，56（12）：33-36.