關于立體幾何中探究點的位置的教學指導

［摘" 要］ 探究點的位置是立體幾何中的常見問題和關鍵環節. 在具體解析時，可以采用猜想證明法、直接探究法和設點解方程法. 研究者深入剖析這三大解法，并結合實例指導學生強化應用，同時提出相應的教學建議.

［關鍵詞］ 立體幾何；點的位置；三大解法

方法綜述

立體幾何問題常涉及探究點的位置，學生只有在確定點的位置后才能進行后續的分析推理. 在綜合性問題中，這些關鍵“點”的位置通常難以確定，學生解題時常感到迷茫，無從下手，解題思維停滯，造成無法解題或錯解. 實際上，立體幾何中的這些關鍵“點”，需要結合與之相關的點、線、面來確定，常用的方法技巧有猜想證明法、直接探究法和設點解方程法.

在實際教學中，筆者建議分為三個環節進行分析和指導：環節一，深入解讀方法概念，指導學生明確其使用情境，并構建相應的解題策略；環節二，結合實例進行解題指導，特別強調運用對應方法來探究“點的位置”；環節三，通過解題后的反思，引導學生總結思考過程，從而深化對方法的應用.

方法探究

上述列舉了立體幾何中探究點位置的三種方法，教師需引導學生理解這些方法，并掌握其使用技巧. 下面開展方法講評，以及解題應用指導.

方法探究一 猜想證明法

猜想證明法是立體幾何探究點位置的常用方法，顧名思義，該方法的使用邏輯為：先猜想，再證明. 顯然，點位置的猜想并非毫無根據，而是基于題設條件，點、線、面之間的相互關系，所作出的合理推斷. 該方法常用于涉及等分點的問題中，例如中點或1∶2等分點.

建議引導學生采取兩步解題策略：第一步，分析題設條件，提取特殊關系，根據條件猜想點可能位于的特殊位置；第二步，整合條件，探索分析，證明猜想.

綜上可知，側棱PA上存在點E，使得BE∥平面PCD，此時點E為PA的中點.

方法探究二 直接探究法

直接探究法，即根據問題條件、計算分析直接確定點位置的一種方法. 該方法的計算分析過程相當復雜，通常需要進行代數運算，其中涉及高中階段的知識和定理，例如正弦定理、余弦定理以及三角函數、相似三角形等知識.

直接探究法的解析過程通常分為三個步驟：首先，解析條件，以理解立體幾何圖形；其次，關注特殊條件，根據位置關系提取或構建模型；最后，基于模型進行運算推理，結合性質定理來計算，最終確定點的位置.

反思總結 上述探究立體幾何中滿足特定條件的點位置，采用的是直接探究法. 通過分析并提取其中的特殊關系——三角形相似，構建線段比值關系，從而直接計算出線段的長，完成點位置的確定. 利用直接探究法確定點位置，解析過程側重于推理和運算，是對三角形性質定理的綜合運用，通常采用解三角形的方式來推導線段的長. 教學中建議指導學生加強解三角形的練習，靈活運用正弦定理、余弦定理以及三角函數、相似三角形等知識.

方法探究三 設點解方程法

在立體幾何中探究點的位置時，設點解方程法也是一種常用的技術. 這種方法的關鍵在于設定未知點的坐標，然后利用線段關系來構建與坐標參數相關的代數方程，并通過解方程找到點的確切位置. 設點解方程法適用于能夠建立空間直角坐標系的問題，通過空間向量來設定并構建方程.

分析指導 本題以四棱柱為背景，設定了垂直、平行、等長線段、中點等條件. 題設兩問，其中第（2）問為核心之問，探究是否存在滿足條件的點M，適合運用設點解方程法來求解.

過程解析 以點A為原點，按照圖4建立空間直角坐標系.

反思總結 采用設點解方程法探究點M的坐標，首先需要構建一個空間直角坐標系，是對向量、方程知識的綜合運用. 在指導教學中，需要引導學生注意兩點：一是設點時，注意參數的取值范圍，以避免產生多個解；二是設點時，根據實際情況設定未知數個數，以盡可能減少計算量.

教學思考

在立體幾何中，探究點的位置是一個常見的問題，它經常作為解析過程中的關鍵環節出現. 上述總結的三大解法可高效確定點的位置. 在教學中，教師應當詳細闡釋各種解法，制定出解題策略，并指導學生靈活運用. 下面提出幾點建議.

1. 關注適用場景和步驟講解

上述所探究的猜想證明法、直接探究法和設點解方程法均可用于確定點的位置，但它們各有優劣，適用于不同類型的問題. 在教學中，教師應針對每種解法進行詳細講解，并明確指出其適用的題型和操作步驟. 以猜想證明法為例，它適用于涉及特殊點或特殊線段關系的問題，實際應用時按照“先猜想，再證明”的步驟.

2. 關注解析細節的指導

三種探究點位置的方法具有普遍適用性，其難點在于條件的整合和細節的把控. 學生在應用時常常難以掌握推理的細節，感到無從下手. 這時就需要教師進行合理的引導，指導學生根據題設條件和邏輯關系進行分析和推理. 例如，在運用直接探究法時，學生可以根據特征條件提取特殊模型，隨后利用模型的屬性解三角形，進而求得參數的值.

3. 關注思維能力的提升

教師應關注學生思維能力的提升，引導他們反思解題過程，總結方法應用的細節，并深入理解相應策略. 同時，教師應適度引導學生發散思維. 在解題過程中，教師應針對解題思維的關鍵環節進行啟發式引導. 例如，在運用設點解方程法時，引導學生掌握空間向量的“設點、解點”技巧，并深入探討異面直線夾角問題的解法.

結束語

解決立體幾何中點的位置問題的三種方法各有千秋. 教師應根據每種方法的特點進行有針對性的講解，并通過實例來培養學生的應用能力. 在解析過程中，教師應注意引導學生發散思維，使學生在掌握方法的同時提高思維能力，并培養勤于思考、敢于猜想和論證的良好思維習慣.