動靜相宜，以“形”見“型”

［摘" 要］ 在解決函數綜合題時，學生往往面臨著參數與不等式的困擾. 在試題教學中，教師借助GeoGebra，引導學生從直觀感知出發，逐步形成猜想，并最終通過邏輯推理，構建一種系統的解決問題的方法. 這種方法能夠有效地促進學生從基礎的直觀想象向更深層次的邏輯推理過渡，從而提升他們的數學抽象素養.

［關鍵詞］ GeoGebra；函數；綜合題；數學抽象素養

引言

函數作為高中數學中的重要內容之一，經常在高考中以綜合題的形式出現，涵蓋基本初等函數、數列、不等式等多個數學知識內容. 由于函數具有高度抽象的特點，學生在解題時常常遭遇困難，尤其是涉及參數，以及證明不等關系時，問題的不確定性增加了解題難度，使學生感到迷茫. 因此，在解決函數綜合題的過程中，教師和學生共同面臨一個難題：如何將抽象的思維過程具象化，激發學生的數學思維，提升他們的學習參與度，并使他們能夠將所學知識遷移到實際應用中.

GeoGebra，通常簡稱為“GGB”，由“幾何（Geometry）”和“代數（Algebra）”兩個詞組合而成. 它是一款功能強大的圖形計算器，將幾何、代數、表格、圖形、統計、微積分等以直觀易用的方式集于一體. 該工具能夠將抽象的數據信息轉換為直觀的圖象信息，實現信息的可視化.

筆者利用“GGB”對高考函數題進行了深入剖析，旨在探討如何利用信息技術強化學生的直觀想象能力，同時培養他們的數學抽象和邏輯推理素養，激發他們的數學學習興趣和參與熱情，幫助他們更深入地理解和應用函數概念.

真題例析

綜合分析 本題以有機結合函數、導數、數列與不等式等知識為特色，主要考查學生在解決復雜問題時靈活應用函數與不等式思想的能力. 本題對數學抽象和邏輯推理素養提出了較高的要求，體現了新高考Ⅱ卷的綜合性和深度.

在現代信息技術的支持下，本題旨在引導學生從直觀想象向邏輯推理過渡. 這種設計更貼近學生的認知習慣，有助于他們更深刻地理解問題，并借助信息技術的輔助，實現對問題解決思路的有效遷移.

接下來，逐一分析這些問題.

1. 第（1）題

在函數f（x）=xeax－ex中，參數的存在導致函數具有多變性. 為了使函數由不確定性變為確定性，通常采用對參數進行特定賦值的方法. 大多數學生傾向于通過對函數求導，進而研究導函數的零點來確定函數的單調區間. 雖然這是一種合理的通用方法，但我們可以通過“GGB”進行優化，具體操作如下（圖1包含以下）：

（1）引入參數滑動條：借助“GGB”的特性，引入一個參數滑動條a，并與輸入框結合使用，以便于直觀觀察圖象隨著參數變化的動態過程. 這有助于學生更清晰地理解函數與參數之間的關系.

（2）運用導數指令：在“GGB”中使用導數指令，觀察導函數零點與參數變化的關系. 這樣可以直觀看到導函數零點與原函數單調性之間的聯系，從而深化學生對通法的理解.

通過這種優化，學生在解決函數單調性問題時，不僅能夠執行常規步驟——求導、找零點、下結論，而且借助“GGB”這個可視化工具，更能直觀洞察參數對函數形態的影響，從而加深對問題的理解，提升解決問題的能力. 這種優化方法有助于培養學生更全面的數學思維能力和解題能力.

2. 第（2）題

第（2）題對參數范圍的求解限定了函數定義域和值域，難度相較于第（1）題明顯有所提升. 學生通常采用最值探究或分離參數的方法，但這種處理方式對學生的思維拓展有一定的挑戰. 為了幫助學生更深入地理解問題并找到解決方案，可以利用信息技術采取以下措施：

（1）借助指令進行可視化：使用“GGB”指令“h（x）=如果（xgt;0，f（x））”，繪制出符合定義域的函數圖象，避免不必要的干擾. 這有助于學生更清晰地觀察函數在限定范圍內的圖象.

（2）輸入指令找上界：在“GGB”中輸入指令，找到限定的上界y=－1，為進一步的視覺觀察做好準備. 通過拖動滑動條a，學生可以初步探索a的臨界值.

在這種情形下，學生會自然產生兩個邏輯推理方向：

方向1：分類討論. 在極值點（或最值點）處，特別是在“ylt;－1”的情況下進行分類討論.

方向2：通過圖象找到特殊值f（0）= －1，同時觀察參數a與圖象的變化，可以進一步考慮函數是否滿足單調性f（x）lt;f（0）. 這種方法也就是充分性的探路.

基于此，邏輯推理的過程將變得更加流暢（詳細的證明步驟這里不再贅述）. 這種優化方法預期能夠幫助學生更直觀地理解問題，并拓展解決問題的深度與廣度.

3. 第（3）題

（1）初探：直接比較.

（2）再探：尋找相關同“型”.

（3）深探：用面積來感知、理解大小關系.

1. 對第（1）題的分析

2. 對第（2）題的分析

感悟

通過對“GGB”的應用，我們發現它能夠將復雜抽象的數學問題可視化，呈現形象生動的圖象，激發學生的好奇心和求知欲，潛移默化地培養學生的核心素養. 此外，“GGB”還可以用于問題的推廣驗證，特別適用于不等式放縮等問題.

1.“GGB”解決函數問題的實施步驟策略

（1）利用滑動條觀察參數變化：利用“GGB”的滑動條功能，實現參數的變化，并觀察函數圖象的變化. 這有助于學生直觀感受參數對函數的影響，從而加深他們對函數行為的理解.

（2）尋找特殊點進行逆向思維：使用“GGB”，學生可以更輕松地尋找到函數的特殊點，進而促進逆向思維的發展. 發現特殊點有助于回到數學問題的原點，深入挖掘問題的本質.

（3）比較“形”的大小來探究“型”：利用“GGB”進行圖形的大小比較，通過可視化手段探究“型”，從而推導出結論. 這種方法不僅注重形式上的比較，同時也培養學生審視結構的能力.

2. “GGB”引導學習路徑，培養邏輯推理

（1）函數問題，抽象為本

將函數問題的抽象性視為解題的核心，強調學生需要運用理性思維進行邏輯推理. 分類討論、參數分離以及二階求導等方法成為解決函數問題的基本工具，培養學生在數學探索中的理性思考能力.

（2）動靜相宜，技術扶持

“GGB”通過完整、反復地呈現函數的動態變化，使得函數的研究更加精細與科學. 這有助于實現數與形的融合，為學生提供直觀體驗，特別是在解決函數性質與其他數學概念結合的問題時，“GGB”具有重要的指導作用. 動態的“型”既包含了運動的變化，也保留了靜態“形”的基本特征.

（3）以“形”見“型”，回歸原點

利用“GGB”可以進行簡潔、直觀的函數圖象與性質的分析. 在運用導數證明函數單調性的過程中，學生從直觀觀察，到問題猜想，再到邏輯推理，逐步建立起對函數綜合問題更深層次的理解，為數學素養的提升奠定了基礎. 在教學中，教師需要在直觀想象、數學抽象、邏輯推理等素養之間找到一個平衡點. 強調直觀教學的同時，也需要加強學生對解題運算和論證的練習，確保學生不僅能夠形象地理解問題，還能夠進行嚴密的數學思考.

參考文獻：

［1］ 周毅鴻，周建玲，彭國富. 洞悉高考考題方向 加強試題融舊創新：對2022年全國數學新高考Ⅱ卷第22題的探析［J］. 中學數學，2023（21）：61-62+95.

［2］ 廖明艷，林瑞記，李紅慶. 對2022年全國新高考數學Ⅱ卷第22題的探究［J］. 中學數學，2022（23）：30-32.

［3］ 李俊強. 函數與導數壓軸題多解研究：以2022年全國數學新高考Ⅱ卷第22題為例［J］. 中學教學參考，2023（11）：4-7.