HPM視角下“復數”同課異構的實踐與思考

［摘" 要］ HPM視角下的數學教學不僅能揭露知識的形成與發展過程，還能有效驅動學生的學習動機，為他們提供豐富的探索機會，使課堂充滿文化氣息、探究之趣. 文章以兩位教師執教“復數”一課為例，從復數的形成背景入手，分別從宏觀的四個教學環節設計與微觀的史料運用的貼合性、史料融入的多元性以及史料應用的自然性等角度，對兩位教師的教學方案談一些拙見.

［關鍵詞］ HPM；同課異構；復數

HPM是指數學史和數學教育之間的關系. 基于HPM視角展開教學，不僅可以追溯知識的起源，還能讓學生體驗知識的發展歷程. 實踐發現，基于HPM視角實施課堂教學，能促使學生從本源上掌握知識的來龍去脈，有效落實新課標對發展個人關鍵品格的要求，從真正意義上促進學生核心素養的發展［1］. 本文以兩位教師執教“復數”一課為例，揭示基于HPM視角實施教學所帶來的利好.

復數形成背景

綜上所述，虛數并不是基于解一元二次方程而來的，而是在解二元二次方程組或三次方程時自然生成的，引起了數學家們的重視. 盡管人們對一元二次方程的判別式Δ＜0時，可能會“無視”無根的情況，但這種態度并不適用于一元三次方程. 例如，邦貝利在解決三次方程時發現，盡管解中包含實根，但按照求根公式推導，均涉及復數的平方根；再看萊布尼茨遇到的情況，未知數之和雖然是實數，但構成這個實數的兩個數卻不是實數. 正是實數與非實數之間的這種矛盾關系，激發了數學家對虛數的深入研究.

鑒于此，教師在教授復數時，可以利用數學史的背景來構建教學情境，引導學生在類似的歷史背景中體驗矛盾和沖突，從真正意義上驅動學生的學習動機.

整體視域比較兩節課

如表1所示，甲、乙兩位教師分別從情境創設、概念探索、實際應用與歸納總結四個環節展開教學，但在每一個環節的設計上又有所區別.

兩位教師均基于HPM的視角設計了教學方案，但具體教學方法又不一樣，教師甲由“10拆為不同乘積的數”為起點，揭露了數系的發展史，學生跟著這個節奏自然而然地進入了實數域的擴充中，整個過程充滿了樂趣；教師乙則再現了萊布尼茨所發現的矛盾，有效激起了學生的認知沖突. 在探索復數代數的環節，教師甲采用了類比法，而教師乙則通過造數活動來引導學生深入理解復數代數. 關于虛數的應用，教師甲并未展示其實際應用案例，而教師乙通過微視頻揭示了復數在物理領域中的應用實例.

從兩位教師教學的相似點來分析，他們均捕捉到了解決萊布尼茨與卡丹問題的核心，即導致方程無解的主要原因在于“負數無法開平方”. 解決這個問題最好的辦法就是讓負數可以開平方，由此導出虛數i. 在應用層面，兩位教師都通過典型例題來鞏固和加強學生的理解.

微觀視域比較兩節課

1. 史料引用的貼合性

基于HPM的視角設計教學方案，首先需確保史料的科學性，在此基礎上加以適當的剪裁與加工，使史料更貼近課堂，成為教學的催化劑. 從虛數的引入環節來分析，兩位教師均對三次方程求根公式的復雜性表示擔憂，因此沒有選擇這個材料介入課堂，而是結合學生的認知經驗選擇了學生容易接受的二元二次方程組作為課題引入的切入點.

基于上述分析，教師乙的導入方法更能說明為什么要擴充數系，引入虛數. 尤其是微視頻的展示，讓學生從真正意義上理解了“虛數不虛”，而且還大有作用. 進一步證明了虛數的重要性，讓學生發自內心地去探索什么是虛數，提高了學生學習的積極性. 當然，教師甲所設計的拆數游戲，也讓課堂充滿了活力. 總體而言，這兩位教師所使用的史料均基于科學證據，與歷史事實相符，值得肯定. 然而，在數系擴展的順序方面，他們應更加嚴謹，明確區分數的發展邏輯順序和歷史順序，避免將兩者混淆.

2. 史料融入的多元性

將數學史有機地融入課堂，可采用附加式、順應式、復制式與重構式的方法. 教師甲選擇附加式的方法向學生闡述了數系擴充的過程，再以順應式的方法帶領學生應用數學史，而后探索拆數游戲，并以復制式的方法向學生揭露了虛數定義的由來. 教師乙以復制式的方法用萊布尼茨問題激活課堂，再以附加式的方法帶領學生理解并應用數學史，讓學生感知數系擴充是因為數學內部與社會發展的需要，并以重構式的方法設計造數活動，促使學生理解復數的代數表達式. 課堂尾聲，以微視頻的方式展示，屬于附加式的融入法.

由此可見，兩位教師在數學史融入教學的方法上都相當多樣化. 除了教師乙未涉及順應式方法外，其他幾種方法都被兩位教師所采用. 因此，在這一方面，兩位教師都做得相當到位.

3. 史料應用的自然性

將數學史融入數學教學，需要從授課內容的歷史發展順序、知識的邏輯順序、學生認知發展規律等方面著手，遵循“自然”的原則，可讓課堂深入人心.

（1）教師甲的教學

評析 這位教師以順應式的方法對卡丹的問題進行了改編，為生活與數學建立了聯系，讓HPM視角下的課堂顯得更加流暢，也為接下來探索數系擴充的問題夯實了基礎. 顯然，拆數活動的應用成功引入了虛數，讓課堂充滿了靈活性，有效激發了學生的學習動機. 然而，此過程對“拆解后的兩個數之和為實數，但這兩個數卻不是實數”缺乏深入探索.

（2）教師乙的教學

評析 以布萊尼茨所遇到的問題激發學生的認知矛盾，并借助幾何畫板的演示進一步激發學生的認知沖突，這種教學方法將情感渲染到極致，使得HPM的融入更加自然. 然而，在此過程中，關于史料問題的引入缺少了一些問題基礎，整個過程有些突兀. 如果教師能結合學情，順應學生的思維來改編史料，可讓課堂更加生動.

探索發現，以虛數形成的歷史順序作為課堂引入，比借助方程引入虛數的定義更符合學生的認知特征. 這兩位教師都在了解學情的基礎上再現了虛數的歷史，促使數系的擴充史與學生的心理發展有機地融合，彰顯了數學課堂的自然與淳樸.

思考與感悟

從上述對比分析來看，兩位教師基于HPM視角執教的“復數”課程既科學又有趣，且具有創新性. 然而，美中不足的是兩位教師未能清晰地區分數系擴充的邏輯順序與歷史順序. 教師乙所使用的史料能更有效地揭露引入虛數的必要性，尤其是微課的運用，為課堂注入了活力，加深了學生對虛數的理解.

通過類比分析，筆者認為基于HPM視角實施教學，首先，必須精選史料，并在不同環節采用多樣化的方式進行融合，這樣才能真正順應學生的思維模式，使課堂內容更貼近學生的生活實際；其次，必須端正對待史料的態度，以科學的方法審視史實，切勿為了追求教學效果而歪曲歷史；再次，必須展現數學史的教育價值，例如虛數的形成就經歷了復雜的歷史進程，數學家們艱辛的探索歷程不僅具有教育價值，而且對培養學生的個人品質具有重要意義.

總之，HPM視角下“復數”同課異構的實踐與研究給筆者帶來了很大的啟示，使筆者充分認識到數系擴充的過程是數學發現與創造的過程，是人類社會文明發展的客觀需要. 作為教師，應學會選擇史料素材，從多維度將史料滲透在教學的方方面面，這是發展學生關鍵品格的重要舉措.

參考文獻：

［1］ 孫雨琴，婁慧敏，朱哲. HPM視角下高中數學課堂教學的特點初探：基于“橢圓的定義”的同課異構教學案例分析［J］. 中學數學月刊，2018（11）：45-48.