數(shù)學問題鏈教學的預設與生成

［摘" 要］ 研究者基于數(shù)學問題鏈教學的內(nèi)涵與特征，以“圓錐曲線中的定值、定點問題”為主題設計一節(jié)高三復習課，旨在明晰這類問題的解題方法和理論基礎(chǔ)；同時，在預設與生成中反思問題鏈教學的功能、設計原則和價值訴求．

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；問題鏈；教學設計

“三年課程兩年完成”是當前高中教育最常見的現(xiàn)象. 在高三復習階段，如何應對由于高一、高二階段趕進度而引發(fā)的課堂內(nèi)容不充分、教學體系不完整、知識掌握不深入等問題？僅僅依賴教師對厚重的一輪復習資料進行逐字講解顯然是不足夠的.

“數(shù)學問題鏈教學”源于唐恒鈞教授、張維忠教授等人的研究成果. 其內(nèi)涵在于教師通過課堂上師生互動的方式，呈現(xiàn)預先設計的、邏輯連貫的數(shù)學問題，以此激發(fā)學生進行高層次的思維活動. 這種教學方法是問題式教學法的進一步發(fā)展和提升. 基于問題鏈教學的內(nèi)涵與特征［1］，筆者設計了一節(jié)高三復習課，專注于圓錐曲線中的定值、定點問題. 旨在通過構(gòu)建邏輯嚴密的問題鏈，復習高考核心考點，同時引導學生體驗數(shù)學的思維過程，從而提高他們的數(shù)學運算和邏輯推理等關(guān)鍵能力.

在高考的圓錐曲線解答題中，經(jīng)常會出現(xiàn)涉及斜率之積、斜率之和的定值、定點問題. 這類問題由于算法難以想到、計算量龐大等原因，常常讓許多考生感到畏懼. 高考題目往往源于課本例題和習題的改編，通過引導學生從課本出發(fā)，經(jīng)歷從特殊到一般的思考過程，以及從正向到逆向的數(shù)學思維模式，不斷通過變式深化對問題的理解，直至接近高考真題的難度，從而實現(xiàn)課堂教學目標.

起點問題

1. 預設

如圖1所示，設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0）．直線AM，BM相交于點M，且他們的斜率之積是－４/9，求點M的軌跡方程． （選自人教A版高中數(shù)學選擇性必修一）

2. 生成

師：在日常處理圓錐曲線解答題時，你們覺得最困難的部分是什么？

生1：我聽得懂老師的講解，但自己卻難以找到解題思路.

生2：計算量太大，不想繼續(xù)計算了.

師：確實，難以想到解題思路和難以完成計算是解決圓錐曲線問題的兩大難點. 今天，我們將針對圓錐曲線中的定值、定點問題進行深入探討.

師：請大家一同關(guān)注這個選自教材的例題，除了將它作為軌跡問題進行分析外，你們還有何其他發(fā)現(xiàn)？

生3：橢圓的第三定義.

生4：橢圓上任意一點（不與橢圓的左、右頂點重合）與橢圓的左、右頂點連線的斜率之積是一個定值.

評注 無論是在人教A版高中數(shù)學選修2-1（老版）還是在人教A版高中數(shù)學選擇性必修一（新版）中，這個例題都存在. 在講授新課時，教師通常會利用這個例題向?qū)W生介紹橢圓的第三定義. 從課本中的這個例題出發(fā)，可以自然地過渡到本節(jié)課的主題；同時，在設計問題鏈時，將此類問題作為起點問題也是恰當?shù)?

延伸問題

1. 預設

評注 本教學環(huán)節(jié)設計的三個問題層層遞進，從探討橢圓中的最長弦開始，過渡到經(jīng)過橢圓中心的任意弦，最終深入到橢圓中經(jīng)過定點的任意弦. 這一過程從特殊情形出發(fā)，逐步擴展到一般情況，通過使用幾何畫板輔助探究，生動展現(xiàn)了數(shù)學思維的一般方法.

2. 生成

評注 在構(gòu)建問題鏈的過程中，教師不僅要注重操作方法，更應深入探討其原因，以及如何更高效地實現(xiàn). 這實際上是在引導學生深入探究數(shù)學問題的核心，思考算法及其背后的原理. 例如，為何要這樣設定直線方程？直線過定點問題的本質(zhì)是什么？這一系列問題直擊思維的核心，使得課堂成為知識的“生成”之地，而不僅僅是知識的“呈現(xiàn)”之所.

同時，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)不是給出解題思路后放手讓學生自行計算，而是在選擇運算法則、設計運算程序、反思算理上下功夫. 通過優(yōu)化學生的計算過程，引導他們體驗“整體化簡”在減少計算量方面的優(yōu)勢，并思考其背后的計算原理，理解這些原理是可以遷移應用的. 這樣，學生在未來的學習中能夠從模仿逐步過渡到“再創(chuàng)造”.

觸摸高考

1. 預設

評注 問題4的第（2）問與本高考題的第（2）問幾乎一致. 通過分解問題，可以降低題目的難度；同時，將上一環(huán)節(jié)問題中的條件與結(jié)論互換，將定值問題轉(zhuǎn)變?yōu)槎c問題，這體現(xiàn)了研究問題的連續(xù)性和邏輯性，讓學生充分體驗研究數(shù)學問題的通用方法.

2. 生成

師：同學們表現(xiàn)得非常出色！實際上，這個題目就是2020年高考山東卷的第22題. 大家比較一下問題4和這個高考題，可以發(fā)現(xiàn)老師只是增加了一個關(guān)于過定點的問題. 在為大家搭建了一個“腳手架”之后，高考題的第（2）問就迎刃而解了. 因此，在解決問題時，大家要注重分析問題的本質(zhì).

提煉問題

問題5 在問題4的條件下，求A點到直線MN的最大距離（最值問題）.

問題6 本節(jié)課主要探討以橢圓為載體，研究斜率之積為定值的定值、定點問題，思考在雙曲線、拋物線中是否存在類似的結(jié)論.

問題7 人教A版高中數(shù)學選擇性必修一的第109頁、第139頁和第145頁分別提出了斜率之商、差、和為定值的軌跡問題. 請參照本節(jié)課研究斜率之積為定值的方法，深入探究這些問題.

評注 課后布置的三個問題旨在深化學生對本節(jié)課所學知識的理解，通過變換問題形式、擴展研究對象和視角，模擬數(shù)學問題研究的常規(guī)流程，有效提高學生深入分析問題的能力，這是學生深入掌握知識的必經(jīng)之路.

幾點反思

1. 設計問題鏈，實現(xiàn)“化零為整”

問題鏈教學不僅適用于新授課，同樣適用于高三復習課. 在課前預設關(guān)聯(lián)有序的問題鏈，可以將分散的考點串聯(lián)起來，實現(xiàn)“化零為整”的效果．盡管一輪復習資料將知識點劃分為若干大專題，但這些考點之間的聯(lián)系并不緊密. 學生在題海戰(zhàn)術(shù)中被動接受知識，缺乏主動形成普遍觀念的思維能力. 本專題是高考的熱點同時也是難點，課堂上學生往往只是被動地觀察幾個典型例題的解答過程，卻并不理解為何要采取這樣的解題方法. 通過設計逐步深入的問題鏈，可以幫助學生主動構(gòu)建起對某一類考點命題邏輯的理解.

2. 根據(jù)“三種關(guān)聯(lián)、四種思維”設計問題鏈

唐恒鈞教授等人認為，數(shù)學問題鏈的設計要強調(diào)“三種關(guān)聯(lián)、四種思維”，即可以從表層信息關(guān)聯(lián)、方法關(guān)聯(lián)、視角關(guān)聯(lián)等方面設計推廣鏈、特殊鏈、類比鏈、逆向鏈等問題鏈［2］． 例如，在本節(jié)課中，學生通過多種方法解決同一個問題；互換條件和結(jié)論，探究逆命題；嘗試從研究橢圓的角度去探索雙曲線，并且從斜率之積為定值的角度出發(fā)，研究斜率之商、和、差為定值的問題，等等. 這些問題有效地激發(fā)了學生的思維，符合數(shù)學的思考方式，并為學生未來解決數(shù)學問題提供了多種可行的視角.

3. 問題鏈教學設計指向素養(yǎng)的形成

過去我們重視能力的培養(yǎng)，現(xiàn)在則更加注重素養(yǎng)的提升. 能力通常指的是個體解決問題的能力，它關(guān)注的是結(jié)果，而素養(yǎng)則不僅包括解決問題的能力，還包括自發(fā)地運用數(shù)學視角和工具來審視問題的意識，它關(guān)注的是過程. 問題鏈是根據(jù)數(shù)學思維邏輯設計的一串關(guān)聯(lián)有序的問題，它在幫助學生解決問題的同時，也使學生沉浸于數(shù)學的思維模式中. 學生在理解“是什么”的同時，也理解了“為什么”，并且能夠在類似的情境中遷移課堂上學到的清晰的算理. 而這種遷移能力，正是素養(yǎng)形成的核心價值所在.

參考文獻：

［1］ 唐恒鈞，張維忠． 數(shù)學問題鏈教學的內(nèi)涵與特征［J］． 教育研究與評論（中學教育教學），2021（1）：8-12．

［2］ 唐恒鈞，黃輝． 數(shù)學問題鏈教學設計與實施的三個關(guān)鍵［J］． 中學數(shù)學（高中版），2020（5）：78-80．