關于導數與不等式中的同構探究

［摘" 要］ “同構”在導數與不等式問題中較為常見，利用“同構”可以簡化解題過程. 因此，在教學中，教師可以利用“同構”引導學生開展知識探究，歸納總結題型和解題方法，并指導學生探究解題之道.

［關鍵詞］ 同構；導數；不等式；思想方法

走進典例，探究解讀

1. 例題探究

2. 解后剖析

同構探索，知識總結

在不等式與導數綜合題中，常見同構情形，因此可以利用同構來簡化解題過程. 挖掘同構時可以借助整體代換、換元等方法技巧，將其轉化為結構一致的代數式. 在實際教學中，教師應引導學生深入探索同構，總結歸納常見的同構情形，生成相應的轉化策略. 下面結合高考常見考查方式，探索兩類同構.

1. 結構一致性同構

結構一致性同構，同上述例題所示，其特點就為結構一致，常以雙變量形式出現，當把其下標相同的雙變量移動到一起時，每個變量的結構作用均相同. 高考實際考查時常以構造函數比較大小或不等式關系的形式出現，教學中需要引導學生探索下面三種情形.

2. 指對數同構

在處理混合不等式時，可能遇到指對數同構的情形，使用常規方法進行計算過于煩瑣. 在這種情況下，關鍵在于理解其內在結構，并將其轉換為f［g（x）］gt;f［h（x）］的形式，其中f（x）為外層函數. 因此，在教學中，需要引導學生掌握指對數常見的變形技巧.

技巧1 直接變形.

對于不等式無法直接變形同構的情形，則需要引導學生掌握“先拼湊，再變形”的方法，即先湊常數、湊參數或湊變量，如兩側同乘x，同加x，等等，再用上述技巧變形. 以下面兩種情形為例：

題型探索，思路引導

總結完同構知識后，引導學生整合導數與不等式同構的常見問題情形，并指導學生充分應用同構知識來構造函數，以解析問題. 教學中引導學生構建分步策略——分兩步：

第一步，整理并變形不等式，挖掘其中的同構情形；

第二步，根據同構情形構造函數，利用函數性質求解問題.

1. 導數中結構一致的同構

2. 函數零點的同構

探究解讀 在解析函數零點問題時，同樣需要掌握函數的同構特性，利用整體代換來簡化函數結構. 教學中需要指導學生掌握函數零點的轉化策略，即將“函數零點”轉化為“兩函數的交點”，通過分析函數性質和繪制圖象來求解問題.

3. 多變量關系的同構

探究解讀 上述探究與多函數相關的不等式恒成立最值問題，其中最關鍵的一步為利用同構方法來構建g（x）與f（x）的關系. 該種情形較為隱蔽，教學中需要指導學生明晰多變量關系的同構思路：第一步，分析兩個函數的解析式，從整體視角進行審視；第二步，將其中一個函數設定為“元變量”，并將其整體代入另一函數中，從而實現函數變量關系的同構.

解后反思，教學建議

1. 解讀同構，歸納知識

在高中復習備考階段，教師要重視解法技巧的總結與指導. “同構”是導數與不等式問題中常見的情形，合理利用同構技巧可以簡化函數或導數的結構，便于后續進行轉化與構建. 教學中需要注意兩點：一是結合實例解讀同構，使學生明晰同構的內涵；二是歸納總結知識，包括同構情形、同構方法技巧，據此形成相應的解題策略.

2. 應用探究，過程引導

對于學生而言，“同構”是較為陌生的知識點，對其方法技巧也不熟悉. 因此，在完成對同構的總結和歸納后，需要結合常見的題型進行解題指導，幫助學生深入挖掘同構方法技巧，并巧妙地將其應用于問題轉化. 在解題引導的過程中，教師需注意思維引導，按照“結構分析→同構提取→同構轉化→分析求解”的流程引導學生解讀題目條件，并利用“同構”來解決問題. 同時，所選問題應盡可能覆蓋高考中所有“同構”題型，以多樣化的方式展現“同構”現象.

3. 滲透思想，提升能力

深入分析上述解析過程發現，在使用“同構”轉化處理問題的過程中，隱含了眾多數學思想方法，如整體代換、函數構造、轉化與化歸、數形結合、分類討論等. 這些數學思想方法可綜合運用來構建解題思路. 因此，在教學中，教師需要合理滲透數學思想方法，引導學生感知這些思想方法的內涵，并掌握運用這些思想方法的策略. 鑒于數學思想方法的抽象性，教師可以結合實例進行有針對性的講解，直觀呈現數學思想方法在解題過程中的作用.

寫在最后

“同構”在導數與不等式問題解決中頻繁出現，教師在教學過程中可以設計專門的探究課題，進行同構解讀、知識歸納以及應用探究. 指導學生明晰常見的題型及其相應的同構策略，并結合實例加深理解. 同構過程涉及眾多數學思想方法，通過合理地滲透這些數學思想方法，可以提升學生的綜合解題能力.