發展初中生抽象能力的教學實踐

摘" 要：通過組織學生在課堂中自主進行“觀察—思考—表達”的教學實踐，引導學生經歷從現實世界的客觀現象中抽象出數學問題，在數學問題的研究過程中抽象出一般結論，再闡釋與檢驗回到現實世界，形成發展學生抽象能力的有效途徑.

關鍵詞：抽象能力；初中數學；核心素養

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）01-0026-05

引用格式：胡素芬. 發展初中生抽象能力的教學實踐［J］. 中國數學教育（初中版），2025（1）：26-30.

一、問題提出

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）指出，課程目標的確定，立足學生核心素養發展，集中體現數學課程育人價值. 數學課程要培養的核心素養，主要包括會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界. 在義務教育階段，數學眼光主要表現為：抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創新意識. 抽象，通常是指從眾多事物中抽取共同的和本質性的特征，而舍棄其非本質特征的思維過程. 作為數學三大特征之一的抽象性，既是數學研究的對象，又是數學的本質，還是數學發展依賴的基本思想，更是一種關鍵的思維能力.

隨著初中階段學習內容的拓寬和知識的深化，學生所學的數學知識從具體發展到抽象，從文字發展到符號，從靜態發展到動態……而剛剛進入初中的學生自主獲取知識的能力相對較弱，沒有及時調整學習方法，逐漸失去學好數學的信心. 因此，提升學生的抽象能力，對提高學生的數學水平至關重要.

二、抽象的步驟、水平與表現

數學概念的存在形式決定了數學概念的獲得形式，從而決定了數學抽象的本質. 因此，在初中數學教學中開展關于數學抽象本質的討論對于指導數學教學是非常重要的.

抽象是從感性認識出發，通過分析和比較，抽取共同點，撇開差異性內容和聯系，通過綜合得出簡單的、基本的規定過程. 分析、比較和綜合是抽象的基礎，沒有分析、比較和綜合就找不到事物的異同，也不能區分事物的本質屬性和非本質屬性. 在抽象的過程中，分析、比較和綜合相互作用、相互滲透. 抽象的具體過程千差萬別，但都包括分離、提純和簡略三個基本過程，具體如表1所示.

表1" 抽象的三個基本過程

[過程 步驟 分離 分離是指暫時不考慮研究對象與其他各個對象之間的各種聯系. 分離本身就是一種抽象，它是抽象的第一步. 例如，研究某事物的物理現象，就撇開其化學、生物、社會等現象，只把特定的物理現象從總體現象中抽取出來 提純 提純是指在思維中排除那些模糊的基本過程，以及忽略非本質因素，在純粹狀態下對研究對象的性質和規律進行考查. 提純是抽象過程中最關鍵的一步 簡略 簡略是指對提純結果做必要的處理，即對研究結果的一種簡單化表達方式，簡略也是一種抽象，而且是抽象過程中一個必要的環節 ]

核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段有不同表現. 小學階段側重對經驗的感悟，初中階段側重對概念的理解. 初中階段的學生能感悟數學抽象對于數學產生與發展的作用，感悟用數學的眼光觀察現實世界的意義，形成數學想象力，提高學習數學的興趣. 不同階段中抽象能力的內涵不同，主要表現和呈現方式也不同，具體如表2所示.

三、發展抽象能力的教學策略

1. 加強單元教學設計，關注素養導向，整合知識，發展能力，形成素養

（1）把握教學內容之間的聯系，促進抽象能力的整體性發展.

教學內容是落實教學目標、發展核心素養的重要載體. 為實現核心素養導向的教學目標，無論是在概念課中還是復習課中都要重視對教學內容的整體分析，進行單元教學設計，通過思維導圖、知識框圖或者邏輯分析圖等方式幫助學生建立能體現數學學科本質、支撐未來學習的結構化數學知識體系.

加強整體視角下的單元目標設計、活動設計和作業設計，用前后連貫的設計促進知識邏輯一致地發展. 一方面，借鑒數學史的相關材料引導學生了解數學知識的產生與來源，明確數學知識的結構與關聯，領悟數學知識的價值與意義，讓學生逐步體會課程內容與教材內容的編寫意圖；另一方面，強化學生對數學本質的理解，關注概念的現實背景，引導學生從基本概念出發，建立適合自己認知的數學知識結構.

（2）注重教學內容與核心素養的關聯，促進抽象能力的生長和發展.

通過具體教學內容與核心素養之間的關聯及內容主線與素養發展之間的關聯實現教學目標. 在教學過程中，教師不僅要關注學生數學知識的獲得，而且要關注學生數學能力的提升，同時關注學生抽象能力的生長和發展.

2. 創設問題情境，關注過程引導，積累從具體到抽象的活動經驗

（1）問題驅動調動學生的認知.

通過橫向數學化增強數學與現實世界之間的聯系，通過縱向數學化引導學生感受數學與數學內部運作的差異. 教師要選擇盡可能貼近學生生活現實的、具有問題驅動特征的教學情境，有利于學生在經歷從現實情境中抽象出數學知識與方法的過程中發展抽象能力；密切關注學生在學習過程中表現出的目標達成度和思維歷程，注重學生的學習體驗，豐富學生的數學學習經驗，促使學生形成抽象化與形式化的學習成果.

（2）多元變式鍛煉學生的思維.

通過分層次、有步驟地變化核心知識的問題情境改變學生的思維角度，使核心知識的非本質屬性不斷遷移，以揭示其本質屬性，從而通過明確本質、變化外延的方式提高數學課堂教學的有效性.

3. 采取多種形式，關注學法指導，養成抽象思考問題的習慣

（1）積累豐富的數學活動經驗.

采用多種方法幫助學生積累數學活動經驗，是數學教師應放在首位的教學任務. 因此，為有效促進學生在積累數學活動經驗的過程中提高抽象能力，教師可以通過設計教學活動的“做”與“思”過程，使學生在動手、動嘴、動腦等活動中科學積累數學活動經驗. 此外，建立在豐富數字資源（各地錄制的空中課堂、名師面對面的視頻和文本，以及各級教育教學保供資源）基礎上的線上線下融合教學成為研究熱點．教師可以根據課外對于學生具體學習情況的分析備課，課上采用多種教學素材（音頻、視頻、文本、圖片等）進行教學活動、在線測試和情況反饋，引導學生進行知識重構，以新授知識和已有認知的沖突作為學生學習能力的生長點，使學生通過學思兼顧、知行兼備積累直接活動經驗和間接活動經驗，不斷抽象、歸納和理解知識，通過將數學知識應用于實踐，鞏固和深化抽象獲得的知識.

（2）開展主題式學習、項目式學習.

教師可以融合數學與科學、技術、經濟、地理等學科領域的知識和思想方法，讓學生從數學的角度觀察、思考、分析和解決問題，積累數學學習經驗. 結合學生的學習能力和學業要求，通過實施多學科和跨課時的主題式項目式學習，在其他領域與數學領域的多次往返中發展學生的抽象能力，讓學生體會數學的價值，感悟數學與其他領域知識的關聯，豐富學生的學習體驗.

四、基于抽象能力發展的教學過程呈現

接下來，以階段復習課“它有多高”為例，說明如何整合不同章節的知識進行復習課的教學設計與實施，發展學生的抽象能力.

1. 觀察——從現實世界進入數學世界

（1）觀察教材.

在教學中，教師既要尊重教材、用好教材，又不能囿于教材、照搬教材上的內容，應該在精準分析學情的基礎上深入研讀教材和精心重構教材. 多姿多彩、引人入勝的章頭圖能幫助學生了解本章學習的內容、地位和作用，喚起并激勵學生學習的興趣，還能夠激發學生應用數學知識解決實際問題的意識.

例如，滬教版《九年義務教育課本·數學》九年級第一學期（試用本）（以下統稱“滬教版教材”）第二十四章“相似三角形”的章頭圖呈現了古希臘哲學家泰勒斯用測量影子的方法巧妙計算出金字塔高度的場景. 這張圖片既再現了科學和物理中的測量場景，又可以對第二十五章“銳角的三角比”和高中立體幾何的學習起鋪墊作用.

除了重視教材中章頭圖的價值外，還需要適當地觀察目錄. 教師可以利用目錄引導學生厘清相關內容的關系，從而對相關知識進行結構化融合.

例如，如圖1和圖2，滬教版教材第二十五章通過與相似三角形應用相關的測量分析逐漸展示銳角的三角比的形成過程. 引導學生觀察目錄，既能夠和第二十四章的章頭圖前后呼應，又能夠重視這兩章之間的內在聯系.

（2）觀察圖形.

通過圖片呈現學生熟悉的生活情境（如表3），引導學生從現實情境的場景中抽象出幾何圖形，綜合運用數學的知識和方法分析并解決問題，在分析問題的過程中概括一般結論，結合自己的學習經驗形成數學方法和策略.

（3）觀察題目.

認真審題是研究問題的首要環節. 非連續性文本的閱讀有別于語文的快速閱讀和英語的泛讀，需要字斟句酌地讀，仔細揣摩每個字詞所代表的外顯信息和隱藏信息. 對于教材中的例題和習題，學生除了通過圈劃和標記等方式對文本進行獨立精讀，還需要結合圖形深度解讀.

2. 思考——信息加工承接數據處理

（1）梳理數學知識.

本節復習課由如下題目引入，在通過多種解法研究問題之后再進行章頭圖和目錄的對比.

題目" 如圖3，小亮想知道垂直于地面的電線桿AB的高度，他站在該電線桿的影子BC上調整自己的位置，使得他直立時頭頂D的影子恰好落在點C處，此時小亮與電線桿的距離BE為12米，小亮的影子長CE為4米，已知小亮的身高DE為1.7米. 求電線桿AB的高度.

解決這個問題時，可以選用不同的數學知識作為列方程的依據，引導學生將不同解法中的關鍵步驟和蘊含的數學原理進行描述和復習. 通過一題多解發展學生的發散思維，通過多解歸一發展學生的聚合思維，通過比較、分類和概括發展學生不同層次的抽象能力. 如圖4，通過以點帶面地梳理和復習九年級第一學期前兩章的教學章節與具體知識點，再次發展學生的抽象能力.

[測影長

求高度][第二十四章

“相似三角形”][平行線分線段成比

例定理][相似三角形的判定定理和性質定理] [第二十五章

“銳角的三角比”][銳角的正切的定義] [問題][章節][知識點][圖4" 不同解法對應的知識點]

（2）建構幾何圖形.

初中階段幾何圖形的研究一般是按照“定義—性質—判定—應用”的順序開展的，九年級學生已經基本掌握了該研究步驟. 基于把相對復雜的綜合情境抽象出數學問題，對得到的數學結論進行比較，在此基礎上進一步抽象出新的結論——輔助線的作用和常見添法.

本節課中，通過對練習題的四種添加輔助線的方法進行比較（如圖5），引導學生感悟輔助線的作用：一是將分散的幾何元素集中在一起；二是把不規則圖形轉化為規則圖形，把復雜圖形（四邊形）轉化為簡單圖形（三角形）.

（3）發展數學能力.

數學知識的魅力在于應用. 在研究現實問題的過程中，通過將新問題、新情境與已學知識相聯系，把實際問題抽象成數學模型加以解決，不僅可以發展學生的抽象能力，而且有利于學生形成模型觀念和應用意識. 通過問題講解和例題探究，鞏固學生對知識的認知，提升學生的推理能力和運算能力；通過相互交流幫助學生形成模型觀念，提升其綜合應用能力，發展數學核心素養.

3. 表達——從數學世界重返現實世界

通過學生發言、教師板書，學生獨立思考、教師投影展示，學生相互交流和評價，學生自我評價等一系列教學活動，引導學生觀察和思考，恰當、合理地選擇文字語言、符號語言和圖形語言表達自己的觀點、推理的理由和結論的闡釋，深層次發展學生的抽象能力.

五、教學思考

在教學實踐過程中，教師要關注學生的抽象能力，根據教學內容，結合學生的學習情況，把知識和能力打造成提高學生抽象能力的合力.

1. 關注抽象能力的教育教學價值

有的教師常常會省去經驗性抽象的過程，而是從情境中直接理論性抽象成數學對象（或直接進行“去情境化概念”的教學）. 這樣的教學過程既不利于學生對知識的掌握及應用，也不利于激發學生學習的積極性和創新意識.“抽象教學”理論強調經驗性抽象的過程（即從情境中通過相似性識別得出相關的經驗性概念，并形式化成數學概念的過程）. 因此，重視數學概念的教學是提升學生抽象能力的有效途徑.

教師要關注核心素養、基本思想與教學內容特點的對應關系，研究以這些對應關系為課堂教學的出發點和落腳點，如圖6所示. 在整體視角下，教師要對教學目標、學習活動、課后作業等進行單元設計，將學生置身于真實情境中，積極探索抽象能力的教育價值和教學價值.

[數學眼光] [抽象] [數學的一般性][數學思維] [推理] [數學內部] [邏輯的嚴密性][數學語言][模型] [應用的廣泛性] [數學外部][數學外部][圖6" 核心素養、基本思想與數學特點的對應關系]

2. 深析指向學科育人的抽象能力

《標準》指出：“數學教育承載著落實根本任務、實施素質教育的功能．”數學學科育人，要從數學觀念、數學精神和數學品德三個方面挖掘德育素材進行數學育人. 其中，建立在抽象能力基礎上的實事求是和理性求真的理性思考是弘揚數學精神的重要組成部分，批判質疑和重視實證的數學品德也離不開抽象能力.

聚焦學生學習，提升課堂品質，促進課堂轉型是探析數學學科德育的必由之路. 從學生的成長來看，結合已有學習經驗把對現實世界的具體認識進行抽象，這是抽象的認識過程；在不斷更新的情境中將具體化的知識與原有知識進行聯系，這是抽象的內化過程；通過數學思維研究問題、解決問題后將結果運用于實踐，這是抽象的應用過程. 從數學的發展來看，數學概念、定理、公式等知識的深入理解和積累，以及伴隨其產生的思想、思維方法都離不開抽象. 抽象在數學與物理、化學、計算機等其他學科的緊密關系中也有重要作用. 從教學的改進來看，教師應該引導學生感受和體會抽象的數學特征，研究和挖掘抽象的教育特征和教學特征，以抽象作為結合點將數學、教育、教學、教師和學生緊密聯系起來. 如圖7，改變課堂教學，要從“無人”到“有人”再到“育人”，在整體視角下分步實施教學，從而實現學科育人目標.

參考文獻：

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作者簡介：胡素芬（1975— ），女，中學高級教師，主要從事中學數學教學案例研究和數學學科德育研究.