基于可視化實驗探究的初中數(shù)學創(chuàng)課設(shè)計

摘" 要：數(shù)學實驗創(chuàng)課是學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗、感悟數(shù)學思想方法的重要途徑，對提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)具有積極作用. 進行數(shù)學實驗和探究的過程需要與學生學習的知識建立聯(lián)系，讓學生在解決問題的過程中感悟數(shù)學的廣泛應(yīng)用. 對于“π的估計”一課，利用可視化動態(tài)數(shù)學軟件GeoGebra設(shè)計實驗過程，體現(xiàn)一種生成隨機數(shù)的計算方法，體現(xiàn)了隨機觀念和估計思想. 通過讓學生經(jīng)歷自己動手實驗、計算機模擬實驗、驗證結(jié)論的過程，使學生感悟數(shù)學思想，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；GeoGebra軟件；實驗創(chuàng)課；蒙特卡羅方法

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）01-0040-05

引用格式：胡璽舜，佘文娟. 基于可視化實驗探究的初中數(shù)學創(chuàng)課設(shè)計：以“π的估計”為例［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2025（1）：40-44.

數(shù)學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程.《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）指出，數(shù)學核心素養(yǎng)的構(gòu)成包括三個方面，即會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界. 學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，需要通過學科教學和學生的綜合實踐活動來具體實施. 數(shù)學活動課就是其中一項重要的教學活動. 在大數(shù)據(jù)時代，人工智能快速發(fā)展的大背景下，需要運用數(shù)學教育技術(shù)設(shè)計有創(chuàng)意的數(shù)學活動課，而數(shù)學實驗就成為了數(shù)學創(chuàng)課的載體和動力引擎. 在實施數(shù)學實驗的過程中，學生能夠手腦并用、“做思”共生，真正參與數(shù)學實驗活動，實現(xiàn)數(shù)學活動經(jīng)驗的積累，以及數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

一、數(shù)學實驗創(chuàng)課的內(nèi)涵

數(shù)學實驗是指學生在數(shù)學學習過程中產(chǎn)生的操作性、印象性或符號性（虛擬）實驗. 在初中階段，數(shù)學實驗可以理解為按照數(shù)學思維發(fā)展的脈絡(luò)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)計系列活動，引導學生積極主動參與活動，進行批判性思考，在數(shù)學思維活動的引導下驗證猜想或分析得出正確結(jié)論，從而使學生親歷數(shù)學知識的建構(gòu)過程、發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的一種數(shù)學探究活動.

所謂創(chuàng)課，廣義上是指以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新素養(yǎng)為導向的各類課程. 狹義的創(chuàng)課則是指電子創(chuàng)意類課程. 基于數(shù)學實驗的創(chuàng)課可以理解為針對特定的數(shù)學學習內(nèi)容，運用現(xiàn)代教育技術(shù)，借助實驗工具（如紙片、剪刀、計算器、計算機軟件等）創(chuàng)設(shè)數(shù)學實驗，引導學生經(jīng)歷觀察、猜想、推理及論證等數(shù)學基本活動，以探索、理解、驗證數(shù)學知識，解決數(shù)學問題為主要目的的數(shù)學課程. 數(shù)學實驗創(chuàng)課要立足學科知識，借助實驗工具，引導學生探索數(shù)學知識，解決數(shù)學問題，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

二、“π的估計”創(chuàng)課設(shè)計案例

1. 課例背景

用頻率估計概率是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》九年級上冊第二十五章第三節(jié)的知識. 本節(jié)課的主要內(nèi)容包括用頻率估計概率的方法及其合理性的驗證和探究. 在學生學習了這部分內(nèi)容后，有一個實驗與探究——π的估計. 該部分內(nèi)容是利用隨機模擬的方法對π進行估計，同時給出了幾何概型的定義，與前面學習的古典概型定義相對應(yīng). 實驗探究的重點是讓學生理解蒙特卡羅（Monte Carlo）方法的內(nèi)涵，滲透估計思想. 但由于學生對于幾何概型的定義尚不明確，同時親自實驗可能得到的數(shù)據(jù)不夠理想，存在一定的困難. 因此，需要教師借助計算機模擬投點的過程，得到π的估計值.

2. 創(chuàng)課設(shè)計思路

在數(shù)學實驗創(chuàng)課的設(shè)計過程中，教師要充分重視學生的主體性，引導學生帶著思考參與活動，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng). 對“π的估計”這一課例，沿顯性和隱性兩條主線設(shè)計，如圖1所示.

在顯性層面，學生根據(jù)教師創(chuàng)設(shè)的問題情境，先觀察實驗探究，激發(fā)興趣，引發(fā)思考；進而提出問題，設(shè)計方案，動手操作實驗，嘗試解決問題；再從操作過程中提煉蒙特卡羅方法原理，利用計算機軟件模擬實驗，進一步深化學生的認知；最后，對一系列活動和實驗進行總結(jié)和反思，提煉整節(jié)課的核心內(nèi)容. 在隱性層面，數(shù)學實驗創(chuàng)課的設(shè)計要注重學生數(shù)學活動經(jīng)驗的積累及核心素養(yǎng)的發(fā)展，在各個環(huán)節(jié)中積累“觀察”的經(jīng)驗，通過觀察實驗，初步體會實驗原理；進而積累“做”的經(jīng)驗，學會根據(jù)原理進行實際操作，解決實際問題；最后，積累“抽象”的經(jīng)驗，真正內(nèi)化知識，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

為實現(xiàn)上述目標，本節(jié)課選擇GeoGebra軟件作為貫穿始終的實驗工具. GeoGebra軟件是近十年在國內(nèi)興起的新一代動態(tài)幾何軟件，具備強大的數(shù)學研究和教學展示功能，其畫面簡潔、操作便捷. GeoGebra軟件的界面有多個操作區(qū)，在幾何和代數(shù)同步變化的演示上具有突出優(yōu)勢，可以同時呈現(xiàn)數(shù)與形的對應(yīng)變化. 不僅如此，GeoGebra軟件還有統(tǒng)計和概率操作區(qū)，融合Excel的部分功能，可以很方便地統(tǒng)計學生的實驗數(shù)據(jù). 在GeoGebra軟件的支持下，顯性和隱性這兩條主線得到相互促進，從而使學生在數(shù)學實驗創(chuàng)課的學習過程中達成積累活動經(jīng)驗、發(fā)展核心素養(yǎng)的目標.

3. 創(chuàng)課設(shè)計教學環(huán)節(jié)

（1）創(chuàng)設(shè)情境，導入實驗.

情境：π是數(shù)學中一個具有獨特魅力的數(shù). 歷史上有多位數(shù)學家采用不同的方法在探尋π值的路上做出了許多貢獻，如迭代法、夾逼法等. 其中有一個非常有意思的試驗叫作“蒲豐投針”，是利用概率知識估計出π的值. 法國數(shù)學家蒲豐（Buffon）提出的“投針”問題是指在平面上畫有一組間距為a的平行線，將一根長度為l[l≤a]的針任意擲在這個平面上，求此針與平行線中任意一條線相交的概率. 這一概率通過證明是與π有關(guān)的. 因此，許多數(shù)學家開始了大量的“投針”試驗. 現(xiàn)在，我們有了計算機，不再需要人力重復“投針”了，計算機就可以完成這樣的工作. 下面我們在GeoGebra軟件中進行“投針”試驗，同時估計π的值（如圖2）.

師生活動：教師在創(chuàng)設(shè)了“蒲豐投針”的情境后，利用GeoGebra軟件模擬這項試驗，試驗次數(shù)可以由學生指定. 在“投針”過程中，讓學生體會估計的π值發(fā)生的變化.

師：同學們，這項試驗中蘊含了大量概率論知識. 雖然我們現(xiàn)在掌握的知識有限，不能理解其中的原理，但是我們可以由此獲得啟發(fā)，設(shè)計新的試驗，嘗試自己動手估計π的值.

【設(shè)計意圖】利用“蒲豐投針”試驗創(chuàng)設(shè)情境，目的在于激發(fā)學生的學習興趣，通過GeoGebra軟件的可視化效果，讓學生體會“投針”過程的隨機性和大量重復的過程，初步體會蒙特卡羅方法蘊含的隨機模擬思想. 由此引發(fā)學生思考：為什么通過這樣的隨機投針試驗計算概率后，竟然能夠估計出π的值？在導入后續(xù)環(huán)節(jié)試驗目的的同時，讓學生帶著問題和思考深入學習.

（2）問題驅(qū)動，操作試驗.

問題1：同學們，剛剛的“投針”試驗和前面我們做過的擲硬幣試驗有哪些相同點和不同點？

問題2：你能總結(jié)一下“投針”試驗的特點嗎？

問題3：該如何計算“投針”試驗中的概率呢？

【設(shè)計意圖】上述3個問題旨在引導學生從“等可能事件”和“試驗結(jié)果是否有限”兩個角度分析“投針”試驗，從而引發(fā)學生的認知沖突.“投針”試驗和擲硬幣試驗同樣都是等可能事件，但投一根針在平面內(nèi)位置的可能性是無限的，這與古典概型的定義矛盾. 教師要引導學生思考該如何計算概率，為后續(xù)學習幾何概型作鋪墊.

問題4：同學們，在我們的生活中也有與“投針”問題相似的情況，如擲飛鏢游戲. 圖3是一個七等分圓盤，如果隨意向其投擲一枚飛鏢，飛鏢落在圓盤中任何一個點上，同樣是等可能事件. 但圓盤上包含無數(shù)個點，說明試驗結(jié)果是無限的. 你能說出飛鏢落在紅色區(qū)域的概率有多大嗎？

追問：你是怎樣得到結(jié)果的？

【設(shè)計意圖】從“投針”試驗到類比生活中常見的擲飛鏢游戲，可以調(diào)動學生頭腦中已經(jīng)形成的認知結(jié)構(gòu)，自然地給出幾何概型的定義：一般地，如果在一次試驗中，結(jié)果落在區(qū)域D中的每一點都是等可能的，用A表示“試驗結(jié)果落在區(qū)域D中的一個小區(qū)域M中”這個事件，那么事件A發(fā)生的概率為[PA=M的面積D的面積].

問題5：同學們已經(jīng)掌握了幾何概型的定義，那么能否利用已知的面積公式，仿照“投針”試驗，設(shè)計一個新的試驗，嘗試估計π的值呢？

問題6：圖4是一個正方形及其內(nèi)切圓，隨機地向正方形內(nèi)投米. 若只投一粒米，則落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率是多少？上述概率與圓周率π的關(guān)系是什么？

【設(shè)計意圖】上述問題旨在引導學生利用已知圖形的面積公式之間的聯(lián)系，構(gòu)造出計算π值的概率算式. 在教學過程中，可以根據(jù)學生的實際情況，引導學生設(shè)計試驗.

操作試驗：隨機撒一把米到畫有正方形及其內(nèi)切圓的白紙上，統(tǒng)計并計算落在圓內(nèi)的米粒數(shù)m與正方形內(nèi)的米粒數(shù)n的比[mn]，并得到π的估計值.

根據(jù)幾何概型可知，計算出的頻率[mn]表示的是[π4]，從而可以將米粒數(shù)的統(tǒng)計結(jié)果與π的估計值相對應(yīng).

師生活動：教師將全班學生分成10組，讓學生分別進行試驗，并將各組的統(tǒng)計結(jié)果匯總到GeoGebra軟件的表格區(qū)中，繪制出折線圖，如圖5所示. 可以發(fā)現(xiàn)，各組得到的頻率不盡相同，有些組的差異稍大.

【設(shè)計意圖】模擬試驗結(jié)果可以看出，這種隨機性與學生前面學習的用頻率估計概率的知識有關(guān)，是學生已經(jīng)掌握的知識. 由此教師引發(fā)學生思考：投的米粒數(shù)越多，得到的估計值就更加穩(wěn)定地接近于π的值，從而采用計算機模擬的方法進行驗證.

（3）提煉原理，模擬實驗.

在學生經(jīng)歷了撒米試驗后，教師可以提出這一隨機模擬計算方法的核心稱為蒙特卡羅方法. 這種思想的產(chǎn)生正是源于“蒲豐投針”試驗. 這一試驗開創(chuàng)了幾何概型的先河. 這也是最早用隨機數(shù)處理確定性數(shù)學的例證. 蒙特卡羅法，又稱計算機模擬方法，是一種基于計算機產(chǎn)生隨機數(shù)的計算方法. 它的核心思想是不確定的計算，即一種近似估計，體現(xiàn)了對數(shù)據(jù)的一種估計思想，在軍事、經(jīng)濟、工程等眾多領(lǐng)域中都有它的身影. 進而利用GeoGebra軟件模擬大量重復的撒米過程（如圖6），得到更加精確的π的估計值.

【設(shè)計意圖】此環(huán)節(jié)旨在讓學生體會利用計算機模擬試驗可以規(guī)避人為操作的誤差，節(jié)省時間，同時讓學生感悟蒙特卡羅方法的合理性.

（4）總結(jié)反思，提升素養(yǎng).

教師可以設(shè)計如下的實驗反思單.

① 通過本節(jié)課的學習，我有哪些收獲？遇到了什么樣的困難？是如何解決的？

② 通過本節(jié)課的試驗，我知道了哪些關(guān)于概率的知識？

③ 應(yīng)用這些知識，我可以解釋或解決生活中的哪些問題？

④ 通過試驗，我掌握了哪種數(shù)學思想方法？可以將它推廣到實際生活中嗎？

【設(shè)計意圖】該環(huán)節(jié)旨在引導學生關(guān)注自己通過數(shù)學實驗收獲了什么. 這里的收獲不僅是知識層面的，還有如何用數(shù)學思維分析問題、解決問題，展現(xiàn)學生個性化的總結(jié)成果.

三、數(shù)學實驗創(chuàng)課的實施建議

初中數(shù)學實驗創(chuàng)課中，教師要合理地利用數(shù)學教育技術(shù)設(shè)計教學過程，為學生提供有效的實驗和探究方法，呈現(xiàn)直觀的研究結(jié)果，從而在活動經(jīng)驗的積累中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 教師在教學過程中需要做好如下幾個方面.

1. 重視學生的數(shù)學活動經(jīng)驗的獲得

初中數(shù)學課程逐步實現(xiàn)教學目標從“雙基”“兩能”到“四基”“四能”的轉(zhuǎn)變. 其中，“四基”是在“雙基”的基礎(chǔ)上增加了基本思想和基本活動經(jīng)驗，而“四能”是在“雙能”的基礎(chǔ)上增加了能發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力. 這是課程改革與時俱進的必然要求，是發(fā)展核心素養(yǎng)在教學中的落腳點. 因此，教師在進行數(shù)學實驗創(chuàng)課的設(shè)計時要重視學生的數(shù)學活動經(jīng)驗的獲得過程.

教師在設(shè)計數(shù)學實驗創(chuàng)課的各個環(huán)節(jié)時，要盡量選擇貼近學生生活實際的情境，讓學生能夠?qū)栴}的背景有所了解，同時可以讓學生自己動手操作，在“做中學”，從而促使學生逐漸掌握數(shù)學思想方法和研究方法，在此過程中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 例如，平面圖形的鑲嵌可以先由水立方的實際背景引入，再由學生自主動手對不同邊數(shù)的平面圖形進行鑲嵌，在數(shù)學活動中對結(jié)論進行歸納.

以本節(jié)課為例，在進行π的估計時，讓學生親自用大米進行試驗，感受投的點數(shù)不同對估算結(jié)果的影響，再利用計算機進行模擬試驗，估計π的值. 在此過程中，學生親自感受到數(shù)據(jù)的隨機性，形成估計思想，發(fā)展數(shù)據(jù)觀念.

2. 重視學生在活動課上的成果點評

在利用數(shù)學實驗方法解決問題的教學過程中，學生思想上沒有了束縛，可以自由發(fā)揮他們的想象力，往往能得出很多不同的方法，在實驗活動中不斷嘗試，讓思維方法更深化、方案更優(yōu)化，體會解決問題的方法的多樣化. 教師則應(yīng)注重對學生經(jīng)過思考得出的問題及解決問題的方法進行客觀、鼓勵性點評，引導學生對自己整節(jié)課的表現(xiàn)和收獲進行總結(jié). 在反思中，幫助學生得出整節(jié)課蘊含的數(shù)學思想方法，以及本節(jié)課在哪些方面發(fā)展和提升數(shù)學核心素養(yǎng). 本節(jié)課中，在學生用米粒進行模擬投點時，教師對學生試驗探究的過程進行點評分析，指明學生的試驗過程的不足之處，結(jié)合試驗的理論依據(jù)對本節(jié)課落實培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)進行總結(jié)和提升.

3. 重視數(shù)學實驗工具的設(shè)計

數(shù)學實驗創(chuàng)課的開展要合理融合信息技術(shù). 由于大多數(shù)數(shù)學實驗創(chuàng)課與實際生活密切相關(guān)，并非理想化情境，因而不具有抽象性. 在課堂上，教師很難僅用語言表達就能達到預期效果，需要借助計算機軟件輔助教學. 例如，本節(jié)課在探究圓周率π的過程中，先利用GeoGebra軟件生成隨機投點的過程，再利用已有的幾何概型計算公式得到相應(yīng)結(jié)論，比教師單用枯燥的語言描述更加生動、形象.

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作者簡介：胡璽舜（1991— ），男，中學一級教師，主要從事中學數(shù)學教育、解題研究；

佘文娟（1990— ），女，中學高級教師，主要從事中學數(shù)學教育、課程與教學論研究.