尺規(guī)作特殊圖形的構(gòu)圖思路探析

摘" 要：以2024年中考江蘇南京卷第26題為例，通過結(jié)構(gòu)分析、模型聯(lián)想，探析不同作圖方法的構(gòu)圖思路，挖掘試題中蘊(yùn)含的教學(xué)價(jià)值，并借助變式拓展，深研此類作特殊圖形的問題，揭示其通性通法，促進(jìn)對(duì)作圖研究和推理教學(xué)的思考.

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖；構(gòu)圖思路；通性通法

中圖分類號(hào)：G633.6" " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " " 文章編號(hào)：1673-8284（2025）01-0053-05

引用格式：郭源源. 尺規(guī)作特殊圖形的構(gòu)圖思路探析：從2024年中考江蘇南京卷第26題談起［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（1）：53-56，64.

尺規(guī)作圖是數(shù)學(xué)文化長(zhǎng)廊中一顆璀璨的明珠，它以直觀的方式、開放的思路、嚴(yán)密的邏輯成為數(shù)學(xué)教學(xué)中獨(dú)具一格的教學(xué)內(nèi)容. 在眾多作圖題中，有一類題為作已知圖形的特殊圖形，它對(duì)圖形特征的分析要求更縝密，對(duì)構(gòu)圖的思路要求更靈活，不僅可以考查學(xué)生對(duì)基本模型的掌握程度，還可以考查學(xué)生的發(fā)散思維能力，給人一種簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單之感. 以2024年中考江蘇南京卷第26題為例，對(duì)這類作圖題的解法、結(jié)構(gòu)和拓展進(jìn)行探析，供同行研究參考.

一、試題呈現(xiàn)

題目 （1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊AB，CD上，連接EF. 求作GH，使點(diǎn)G，H分別在邊BC，AD上（均不與頂點(diǎn)重合），且[GH⊥EF].

（2）已知點(diǎn)P，Q，R，S的位置如圖2所示，若它們分別在一個(gè)正方形的四條邊上，用兩種不同的方法求作正方形過點(diǎn)P的邊所在的直線.

（要求：① 用直尺和圓規(guī)作圖；② 保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.）

[圖1] [圖2]

二、解法探究

該題第（1）小題較為基礎(chǔ)，本文只探究第（2）小題的作法.

1. 關(guān)聯(lián)問題，聯(lián)想“十字形”構(gòu)圖

由第（1）小題的作圖可以發(fā)現(xiàn)正方形中的“十字形”模型，即只要[GH⊥EF]，則有[GH=EF]；同樣，只要滿足[GH⊥EF]且[GH=EF]，也容易證明四邊形ABCD是正方形. 由此，對(duì)于第（2）小題，只需要瞄準(zhǔn)“十字形”構(gòu)圖，就一定能作出正方形，從而產(chǎn)生作法1.

作法1：如圖3，連接QS，過點(diǎn)R作[RP′⊥QS]且[RP′=QS]，得到點(diǎn)P′. 連接PP′，直線PP′即為所求.

[圖3]

需要說明的是，圖中給定的4個(gè)點(diǎn)P，Q，R，S并不是標(biāo)準(zhǔn)的“十字形”，所以部分學(xué)生看到PR與QS不垂直，就避開了這種思路. 其實(shí)，此思路還可以通過“弱化條件”來理解，弱化點(diǎn)P，只剩點(diǎn)Q，R，S，由這3個(gè)點(diǎn)搭建出“十字形”，然后只要作垂直圍成四邊形，則此四邊形一定是正方形，而這樣的正方形有無數(shù)個(gè)，最后考慮正方形還要過點(diǎn)P，所以直線PP′即為所求. 同理，還可以先作正方形過其他3點(diǎn)的邊所在的直線，再通過垂直或平行確定過點(diǎn)P的邊所在的直線.

2. 基于給定的點(diǎn)，計(jì)算線段長(zhǎng)度，量化構(gòu)圖

由給定的4個(gè)點(diǎn)，可以聯(lián)想哪些元素是確定的. 容易想到的就是線段PR，QS的交點(diǎn)O確定，線段OP，OR，OQ，OS確定. 如圖4，若能圍成正方形，則[OM+ON=QS]，[OMON=OPOR]，可以得到[OM=QS ? OPPR]，即OM為定長(zhǎng). 故只需要構(gòu)造相似三角形得到OM的長(zhǎng)，截取OM的長(zhǎng)即可確定點(diǎn)M，從而產(chǎn)生作法2.

[（a）] [（b）][圖4]

作法2：如圖4（a），連接PR，QS，PR與QS交于點(diǎn)O. 如圖4（b），作與圖4（a）中線段PR和線段QS等長(zhǎng)的線段，使點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，連接RS，過點(diǎn)O作[OT∥RS]交QS于點(diǎn)T，則QT即為OM的長(zhǎng). 如圖4（a），過交點(diǎn)O作QS的垂線，并截取[OM=QT]. 連接PM，直線PM即為所求.

需要說明的是，這種作法仍然用到了“十字形”模型，只是將作法1中作點(diǎn)R處的RP′換成作點(diǎn)O處的OM，屬于“十字形”等長(zhǎng)的比例化作圖. 考慮到點(diǎn)O也是一個(gè)特殊的位置，從此處突破具備合理性，故將此作法單獨(dú)列出.

3. 嘗試畫圖，利用歸納猜想發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)構(gòu)圖

若過Q，R，S這3個(gè)點(diǎn)畫正方形（點(diǎn)Q，R，S要分別落在正方形的三邊上），則有無數(shù)個(gè)正方形滿足要求，猜想這些正方形的規(guī)律. 如圖5，嘗試多畫一些經(jīng)過點(diǎn)Q，R，S的正方形，就可以發(fā)現(xiàn)這些正方形的第四條邊都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)M，從而產(chǎn)生作法3.

[圖5]

作法3：如圖5，過點(diǎn)Q，R，S任意作兩個(gè)正方形，這兩個(gè)正方形的第四條邊交于點(diǎn)M，連接PM，直線PM即為所求.

雖然尺規(guī)作圖的方法最終要回歸到“明理”的要求上去，但產(chǎn)生作法的思維過程則更直觀、感性和活潑. 盡管此作法有點(diǎn)“猜”的味道，但對(duì)于探究性問題，在不清楚結(jié)論的情況下，經(jīng)歷“嘗試—?dú)w納—猜想—證明”的過程是符合認(rèn)知邏輯的. 所以尺規(guī)作圖的思路可以從“有理”開始，也可以從“無理”開始.“有理”重依據(jù)，“無理”重直觀，各具優(yōu)勢(shì). 這也是尺規(guī)作圖題的魅力所在. 作法3的最終證明等價(jià)于作法1中“十字形”模型的證法，但它的思路是從“無理”到“有理”的過程，是合情推理的體現(xiàn). 這種解決問題的思維方式是值得推薦的.

4. 緊扣直角，利用正方形對(duì)角線性質(zhì)構(gòu)圖

若能作出四邊形PQRS的外接正方形，則四條邊向外所對(duì)的角一定為直角，易聯(lián)想到圓周角定理，故分別以PQ，QR，RS，SP為直徑作圓，這樣過點(diǎn)P任意畫一條直線，與圓相交后順次圍成的四邊形一定是矩形. 若能再?gòu)?qiáng)化“對(duì)角線平分對(duì)角”，矩形即可變?yōu)檎叫危灾恍鑼?duì)角線過[PQ]和[RS]的中點(diǎn)，就能達(dá)成這樣的效果，即產(chǎn)生作法4.

作法4：如圖6，分別以PQ，RS為直徑作圓，作出[PQ]，[RS]的中點(diǎn)M，N，作直線MN交PQ為直徑的圓于點(diǎn)A，直線PA即為所求.

[圖6]

值得一提的是，以PQ為直徑的半圓有兩個(gè)，都具有中點(diǎn)，但試題中要求P，Q，R，S皆為正方形邊上的點(diǎn)，不可以在邊的延長(zhǎng)線上，所以[PQ]，[RS]的中點(diǎn)M，N只能在正方形的內(nèi)部. 若從以PS，QR為直徑作圓突破，方法亦是同理.

5. 弱化條件，借助旋轉(zhuǎn)變換和相似構(gòu)圖

作已知四邊形的外接正方形，能否反過來想呢？即給定一個(gè)正方形，能否作一個(gè)內(nèi)接四邊形與已知四邊形相似呢？這兩個(gè)問題是等價(jià)的. 若能作出，則根據(jù)角度關(guān)系即可得到過點(diǎn)P的邊所在的直線.

借助“弱化條件 + 旋轉(zhuǎn)變換”是可以作出的. 先弱化點(diǎn)P這個(gè)條件，則能作出無數(shù)個(gè)過點(diǎn)Q，R，S的正方形，只要任意作一條過點(diǎn)R的直線，再分別過點(diǎn)Q，S作過點(diǎn)R的直線的垂線，然后截取鄰邊相等即可得到圖7中的正方形A′B′C′D′. 接下來要尋找到相似中心，讓點(diǎn)Q，R，S在三邊上動(dòng)起來時(shí)，能確保四邊形PQRS的形狀不變. 由于點(diǎn)Q的路徑與點(diǎn)R的路徑方向夾角為90°，點(diǎn)R的路徑與點(diǎn)S的路徑方向夾角也為90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)相似可知點(diǎn)Q，R的路徑夾角與∠QOR相等（點(diǎn)O為相似中心）. 故[∠QOR=90°]. 同理，[∠SOR=90°]. 根據(jù)以上分析，過點(diǎn)R作QS的垂線，垂足即為相似中心O. 只需要以點(diǎn)O為中心旋轉(zhuǎn)，就可以將點(diǎn)P轉(zhuǎn)移到邊A′D′上，即作[∠OPP′=][∠OQB′]，PP′交A′D′于點(diǎn)P′，然后點(diǎn)Q′，R′，S′的位置就能隨之確定，即內(nèi)接四邊形P′Q′R′S′可作. 最后由∠OP′D′確定，只需要作[∠OPD=][∠OP′D′]，則PD即為原題中所求直線. 由于此作法弧線痕跡太多，會(huì)影響學(xué)生對(duì)圖形的理解，此作法中只作思路說明.

[圖7]

作法5：如圖7，作正方形A′B′C′D′，使點(diǎn)Q，R，S分別在邊A′B′，B′C′，C′D′上. 過點(diǎn)R作[RO⊥][QS]，垂足為點(diǎn)O. 作[∠OPP′=∠OQB′]，PP′交A′D′于點(diǎn)P′. 作[∠OPD=∠OP′D′]，直線PD即為所求.

此作法與前4種作法相比，難度較大，需要學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)變換有深刻的理解，特別是對(duì)動(dòng)點(diǎn)路徑與相似中心的關(guān)系理解. 至于點(diǎn)Q，R的路徑夾角為什么與∠QOR相等（點(diǎn)O為相似中心），在文獻(xiàn)［2］中已證明. 如何根據(jù)路徑方向或路徑長(zhǎng)的比尋找相似中心，在文獻(xiàn)［3］中也已說明，這里不再贅述. 至于此四邊形相似的證明，可以轉(zhuǎn)化成三角形，只需要證明點(diǎn)Q，R動(dòng)起來時(shí)，△QOR的形狀不變即可，借助“旋轉(zhuǎn)雙相似”很容易證明，讀者可自行嘗試.

三、試題評(píng)價(jià)

1. 低起點(diǎn)，高立意——緊貼課程標(biāo)準(zhǔn)，立足素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將尺規(guī)作圖置于點(diǎn)、線、面、角、三角形、四邊形、圓等基本幾何圖形之后，尺規(guī)作圖內(nèi)容也被列在一起集中呈現(xiàn)，成為了一種學(xué)習(xí)任務(wù)，其在幫助學(xué)生理解幾何概念與實(shí)際操作等方面的功能被削弱.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）采用了“化整為零”的方法，將尺規(guī)作圖融入線段、角、三角形等幾何研究對(duì)象中，目的是讓學(xué)生通過具體的操作活動(dòng)，經(jīng)歷幾何對(duì)象的圖形構(gòu)造過程，理解圖形的組成元素之間的關(guān)系與結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀. 所以《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在初中階段的“尺規(guī)作圖”部分新增了以下表述：通過尺規(guī)作圖等直觀操作的方法，理解平面圖形的性質(zhì)與關(guān)系；經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，增強(qiáng)動(dòng)手能力，能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象能力. 由此可見，尺規(guī)作圖不再是一種顯性的學(xué)習(xí)任務(wù)，而是一種理解幾何元素之間“確定性”關(guān)系、剖析圖形特征、構(gòu)圖等隱性功能的體現(xiàn).

作為幾何解答題，上述中考試題第（1）小題起點(diǎn)低，第（2）小題思維含量較高，兩道小題都采用了尺規(guī)作圖的考法. 整道試題看似從頭到尾沒有提到圖形的性質(zhì)、判定、元素關(guān)系等字面證明，仔細(xì)分析，卻又發(fā)現(xiàn)處處都指向圖形特征、性質(zhì)、判定、元素關(guān)系的推理. 這種將推理化“有形”為“無形”的考法，形式新穎，大道至簡(jiǎn)，立意高遠(yuǎn)，彰顯了尺規(guī)作圖作為一種探究方法與認(rèn)知策略的學(xué)習(xí)價(jià)值，以及對(duì)于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要性.

2. 重關(guān)聯(lián)，促聯(lián)想——結(jié)構(gòu)精致，考查思維

數(shù)學(xué)的思維是重邏輯的，數(shù)學(xué)試題也應(yīng)該是蘊(yùn)含邏輯的，特別是問題串之間應(yīng)有緊密的關(guān)聯(lián)，但這種關(guān)聯(lián)要把握“搭臺(tái)階的尺度”. 臺(tái)階太高，思維跟不上，就變成了無效關(guān)聯(lián)；臺(tái)階太低，“投喂”太明顯，思維含量低，就變成了低效關(guān)聯(lián). 因此，盡管該題與“十字形”有關(guān)聯(lián)，但第（1）小題并沒有要求學(xué)生直接證明正方形和“十字形”的關(guān)系，而是采用了“作垂直”的考法，借助作出的圖形，通過幾何直觀喚醒學(xué)生相關(guān)的知識(shí)儲(chǔ)備，促進(jìn)學(xué)生聯(lián)想模型，為第（2）小題的作法打好鋪墊，整個(gè)流程條理清晰，關(guān)聯(lián)也恰到好處. 同時(shí)，第（1）小題的垂直構(gòu)造方法有很多，如作垂直、作線段垂直平分線、截長(zhǎng)構(gòu)造“十字形”、構(gòu)造全等三角形、作外接圓等，這些都能達(dá)成目標(biāo)，入口很寬，方法多樣；第（2）小題既有前一小題垂直的影子，也注重了條件的隱含性，考查了學(xué)生的模型聯(lián)想能力、關(guān)聯(lián)構(gòu)圖的能力和問題解決的能力，每一處都在考查學(xué)生思維的層次性. 該題結(jié)構(gòu)非常精致，作圖從不唯一到唯一，從直接作圖到分析構(gòu)圖，從顯性技能到隱性能力，重關(guān)聯(lián)，促聯(lián)想，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，起到了良好的導(dǎo)向作用.

3. 借多法，巧分層——注重選拔，凸顯價(jià)值

中考兼具“兩考合一”的功能，既要重視基礎(chǔ)，也要重視選拔. 每一道試題的命制，既要讓大部分學(xué)生能入手得到分，也要讓思維層次更高的學(xué)生得更多的分，所以區(qū)分度很關(guān)鍵. 為了有效區(qū)分不同學(xué)生的思維層次，第（2）小題要求用兩種不同的方法作圖. 第一種作法指向第（1）小題的“十字形”模型，是學(xué)生模型聯(lián)想能力和關(guān)聯(lián)構(gòu)圖能力的體現(xiàn)，屬于“從有到有”；第二種作法沒有任何指向，要學(xué)生想方設(shè)法自行另辟蹊徑解決問題，是學(xué)生發(fā)散思維能力和問題解決能力的體現(xiàn)，屬于“從無到有”. 在第（1）小題到第（2）小題中的兩種作法中，從簡(jiǎn)單作圖到聯(lián)想轉(zhuǎn)化，再到發(fā)散創(chuàng)造，難度逐漸上升，兼顧了不同學(xué)生的思維層次，讓試題具有一定開放性的同時(shí)，也達(dá)成了選拔的功能，凸顯了試題“兩考合一”的價(jià)值.

四、教學(xué)啟示

1. 明確課程目標(biāo)，領(lǐng)悟尺規(guī)作圖的價(jià)值

史寧中教授曾提出，用幾何解釋代數(shù)的基本理論工具是幾何作圖，幾何作圖蘊(yùn)含著幾何證明，對(duì)培養(yǎng)幾何直觀是非常有利的.《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)化了尺規(guī)作圖和幾何直觀，它的價(jià)值主要表現(xiàn)在以下方面. 首先是培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力. 尺規(guī)作圖是將數(shù)學(xué)推理與問題解決相融合，讓推理貫穿整個(gè)過程，在解決問題過程中借助尺規(guī)作圖進(jìn)行分析、構(gòu)圖、判斷、驗(yàn)證、推理，尤其是解題過程中遇到困難時(shí)，需要利用尺規(guī)作圖厘清條件，這是明確問題解決的關(guān)鍵. 其次是建構(gòu)幾何知識(shí)體系.《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》為落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)，提出課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的要求，重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化整合，而尺規(guī)作圖恰恰可以有效實(shí)現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，建構(gòu)幾何知識(shí)體系，利用尺規(guī)用多種方法作圖，如作角平分線、作平行線、作等腰三角形、作平行四邊形等，借助尺規(guī)可以將所有相關(guān)知識(shí)緊密聯(lián)系起來，形成聯(lián)想鏈，使得知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化. 最后是拓寬幾何探究路徑. 作圖的本質(zhì)還是回歸到幾何圖形的性質(zhì)和圖形元素之間的關(guān)聯(lián)，所以尺規(guī)作圖是在幫助學(xué)生感知構(gòu)圖的合理性，幫助學(xué)生理解圖形的結(jié)構(gòu)特征，助力學(xué)生感悟圖形的存在性和確定性. 其實(shí)構(gòu)圖的過程就是解題的過程，因此它拓寬了幾何問題的探究路徑.

2. 瞄準(zhǔn)思維生長(zhǎng)，回歸尺規(guī)作圖的要位

既然《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)化了尺規(guī)作圖，那么教師有必要思考該如何教學(xué)尺規(guī)作圖. 作圖的思考策略往往可以分為兩大類. 一類是“從有到有”，即基于基本模型進(jìn)行作圖，如原題中的作法1和作法2；另一類是“從無到有”，就是沒有基本模型，先畫草圖，緊扣關(guān)鍵特征，執(zhí)果索因，將幾何元素先后確定，如原題中的作法3、作法4和作法5. 不管是哪一類，它的難點(diǎn)都不在于程序化的操作本身，而在于作圖之前對(duì)目標(biāo)圖形的認(rèn)識(shí)、拆解、分析、推理的過程. 因此，筆者認(rèn)為，尺規(guī)作圖的要點(diǎn)在于作圖前的分析過程，其價(jià)值勝過作圖，是作圖中至關(guān)重要的環(huán)節(jié). 教師要引領(lǐng)學(xué)生厘清已知條件與目標(biāo)圖形的關(guān)系，并經(jīng)歷以下的思維過程：（1）假設(shè)存在，畫出草圖，剖析圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）結(jié)構(gòu)聯(lián)想，關(guān)聯(lián)模型，聯(lián)想到常見的幾何圖形的性質(zhì)或基本模型上；（3）基于確定，嘗試構(gòu)圖，構(gòu)思各元素確定的先后次序，初步規(guī)劃作圖步驟；（4）若條件復(fù)雜，圖形難以確定，則借助弱化條件，再利用變換關(guān)聯(lián)目標(biāo)圖形，還可以借助量化長(zhǎng)度，利用計(jì)算出的線段長(zhǎng)構(gòu)圖，從而確定點(diǎn)的位置. 總之，整個(gè)過程中，要將教學(xué)發(fā)力點(diǎn)落在作圖思路的形成上，注重整個(gè)思維生長(zhǎng)的過程，既要讓學(xué)生“知其然，知其所以然”，更要“何以知其所以然”. 因此，教學(xué)中可以將尺規(guī)作圖和推理能力核心素養(yǎng)相結(jié)合，并依此促進(jìn)推理能力教學(xué)的優(yōu)化，這種方式具有一定的前瞻實(shí)踐意義.

參考文獻(xiàn)：

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［2］郭源源. 旋轉(zhuǎn)位似“似”成雙" 定點(diǎn)定形“軌”一致［J］. 教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2020（10）：11-15.

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基金項(xiàng)目：江蘇省“十四五”教育科學(xué)規(guī)劃課題——培育學(xué)生系統(tǒng)思維的初中數(shù)學(xué)章統(tǒng)領(lǐng)課教學(xué)研究（D/2021/02/24）.

作者簡(jiǎn)介：郭源源（1988— ），男，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)和解題教學(xué)研究.