折紙——折疊類問題教與學的“腳手架”

摘" 要：折疊類問題是“圖形與幾何”領域中的一類重要問題，由折疊生成的問題通常具有綜合性而顯得比較難解決. 實踐表明，借助折紙活動，搭建解決折疊類問題的“腳手架”，可以有效助力學生成為問題的解決者、提出者、改編者和設計者，逐步突破折疊類問題的教學難點.

關鍵詞：折疊問題；折紙活動；解題策略

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）01-0036-04

引用格式：蔣惠麗，孫朝仁. 折紙——折疊類問題教與學的“腳手架”［J］. 中國數學教育（初中版），2025（1）：36-39.

折疊類問題的實質是圖形的軸對稱，是“圖形與幾何”領域的重要內容. 由折疊產生的問題具有一定的綜合性，是初中階段的一個難點問題. 折疊問題中呈現給學生的圖形是最終疊的結果，而沒有折的過程. 當折痕發生變化時，折疊的結果就變得復雜，這也使得解決折疊問題更加困難.

本文所涉及的內容是在學完蘇科版《義務教育教科書·數學》八年級（以下統稱“蘇科版教材”）第二章“軸對稱圖形”、第三章“勾股定理”、第四章“實數”、第九章“中心對稱圖形——平行四邊形”等知識后，筆者開設的一節專題復習課. 本節課結合折紙的數學實驗活動，通過折一折、看一看、想一想、悟一悟等環節，為學生搭建了折疊類問題的“腳手架”，讓學生感受折疊前后圖形變化的過程，從而幫助學生直觀認識折疊后的結果，較好地突破折疊類問題這一教學難點.

一、折紙助力學生成為問題的解決者

折疊類問題的綜合性比較強，難度比較大. 有些學生對此有一定的畏難情緒. 基于此，筆者選擇了一道關于折疊問題的基礎題，力求讓所有學生有信心參與到課堂中來.

例" 如圖1，已知矩形ABCD的兩邊長分別為6和10，過頂點B折疊矩形ABCD使得頂點C落在邊AD上，求折痕BE的長度.

[圖1]

有些學生讀題后便能給出解題思路，有些學生則一時難以厘清思路，解決問題的信心不足，但是他們也希望用自己的方法解決部分問題，從而得到大家的認同.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中明確指出：“問題提出應引發學生認知沖突，激發學生學習動機，促進學生積極探究……增強認識真實世界、解決真實問題的能力，樹立學好數學的自信心，養成良好的學習習慣.”基于此，為了增強學生學習數學的自信心，筆者將原問題改為：“你能求出圖中哪些線段的長度？”這樣一改，對于解決原問題有困難的學生來說，雖然他們不能一步到位地解決原問題，但是能引起他們產生新的認知沖突，進而產生新的學習動機，轉而試圖求解圖中另一些線段的長度，使他們努力成為問題的解決者.

學生通過折紙不難發現[BC=BC]，進而在Rt△ABC′中運用勾股定理可以得到AC′= 8，從而有DC′= 2. 這是解決該題最關鍵的一步. 這里的折紙實驗活動就是“腳手架”，使原來思路不清晰的學生逐漸明晰思路. 此時，再引導學生圍繞這些已求出長度的線段，繼續求解未知線段的長度，其關鍵是在Rt△BCE或Rt[△BCE]中求出CE或[CE]的長度（通過軸對稱性質，不難發現兩者相等），繼而轉化到折疊后新生成的Rt[△DCE]中進行求解即可.

在上述問題解決的過程中，教師及時肯定的評價能夠使學生看到自己的進步，激勵學生持續學習，幫助學生樹立學好數學的信心. 這里值得教師注意的是，對學生的評價不僅要關注其學習的結果，更要關注其在學習過程中的變化和發展. 教師可以設計有層次的問題，讓更多學生能有機會描述自己的操作過程，展示自己的求解策略，表達自己對該題的理解.

二、折紙助力學生成為問題的提出者

在例題的基礎上進行變化，將這個矩形沿著對角線折疊（如圖2），求DF的長. 此題對于一部分學生來說也是比較困難的.

[圖2]

師生一起探索此題與例題之間的異同點. 與例題一樣，此題不能直接使用勾股定理求解線段DF的長度；不同的是，新生成的直角三角形兩邊之間不再是一目了然的和差關系. 因此，教師需要引導學生體會其間的關聯，并在探索關聯的過程中鼓勵學生提出新的問題.《標準》明確要求，在真實情境中提出能引發學生思考的數學問題，也可以引導學生提出合理問題. 同時，要求發展學生運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）. 這里的“四能”看似逐級遞進的關系，但事實上，發現和提出問題比分析和解決問題更難. 需要教師注意的是，在教學實踐中，不能因為“更難”而忽視教學. 由此，筆者在變式的基礎上設計了一個開放性問題：“你能提出哪些問題？”這樣，雖然這個問題本身并不出奇，但能讓所有學生在原有經驗的基礎上提出一些他自己發現的并且能解決的問題，或者他自己發現的但目前暫時還不能解決的問題. 尤其是對學習能力比較薄弱的學生，能夠提出問題更加難能可貴. 教師應該及時給予肯定，幫助學生致力于成為問題的提出者.

部分基礎較好的學生仿照例題提出求線段長度的問題. 而對于一些基礎相對薄弱的學生，可以借助折紙這一“腳手架”，通過折疊手中的矩形紙片嘗試提出問題. 這時，學生很容易發現按照變式題的要求折疊后的新圖形是個軸對稱圖形，這個發現引發了學生一系列的猜想，并提出很多求證線段相等或者角相等的問題.

在不斷提出問題和解決問題的過程中，學生從圖中發現了兩組全等的直角三角形和一個等腰三角形. 這些發現有助于學生建立新生成的直角三角形邊之間的數量關系，從而突破難點.

三、折紙助力學生成為問題的改編者

數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，引發學生積極思考，鼓勵學生質疑問難，引導學生發現問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理等方法來分析問題和解決問題. 對于學生來說，折紙比較容易，他們也愿意參與折紙活動. 利用一張矩形紙片，學生能折出各種各樣的圖形. 在此過程中，教師可以引導學生觀察、分類、歸納. 例如，有這樣一類矩形的折疊問題，其折痕的一端與矩形的一個頂點重合，而另一端在矩形的一條邊上（如圖3），隨著其中一個折痕端點（點E）位置的變化，圖形也發生著細微的變化. 這一變化過程正是助力學生成為問題改編者的一個契機，或者說是一個載體.

[圖3]

將圖形折疊到某一特定位置，一定會生成一些新的特殊圖形，這是命題者容易捕捉到的一個信息. 根據這一信息，可以命制出一些新的題目來. 為了提高學生學習數學的積極性，不妨把命題的權利交給學生，鼓勵他們在原來的基礎上對例題進行變式研究. 這樣，學生就由以往“被動做題”的角色轉變為現在的“主動命題”，即問題改編者的角色. 在教學實踐中，筆者發現此環節中有許多精彩的生成. 圖4和圖5都是學生的“作品”. 學生分別通過折紙定格折疊的某些特殊時刻發現問題；轉動為靜復制圖形，大膽提出問題；抓住折疊前后的變與不變，嘗試分析問題；回顧解決問題的常用策略，力求解決新的問題.

[圖4] [圖5]

除此以外，一部分學生還折出了另外一類圖形，其折痕不過矩形的頂點，折痕兩端分別在矩形的兩條邊上（如圖6）. 在蘇科版教材八年級下冊的習題中也有這樣一種特殊情況，折疊矩形，使得其兩個頂點重合（如圖7），這是一個常練常考的問題，一般是求折痕的長，對于很多學生而言是有一定難度的. 學生的幾何思維從一個水平向另一個水平的過渡不是平緩的，而是要經歷一個“思維的危機”，這也是數學教育需要考慮的根本性問題之一. 圖7的難點在于折痕不在直角三角形中，這與學生已有的經驗不一致. 但有一點是一樣的，學生能很容易地求解出除折痕以外的其他線段的長度，這為接下來計算折痕的長度奠定了基礎. 學生因為矩形紙片上原折痕AC的存在，還能得到不同的解題方法，這一收獲讓學生備受鼓舞，在活動中表現出更加積極的學習態度，增強了他們解決折疊類問題的信心. [圖6] [圖7]

四、折紙助力學生成為問題的設計者

順應性思考是指將原有的認知經驗應用于新情境時，需調整原有的認知結構或對新舊認知結構加以整合，形成一種思維的飽和狀態，形成能夠包容新舊經驗的更高一級的認知結構，以適應外界的變化. 在矩形紙片的背景下，學生能夠通過改變折痕的位置，改編出一些有創意的題目. 如果沒有“矩形紙片”這一限制性情境，學生是否也能夠適應折疊類問題的解決呢？為此，筆者倡導學生脫離“矩形紙片”這一實際情境，編制并解決其他圖形的折疊問題. 換言之，這樣做的目的是為學生成為問題的設計者構筑一條通道.

在這個環節，學生變身為“設計師”，把紙片裁剪成他們熟悉的各種圖形，如三角形、平行四邊形、菱形、正方形等. 在操作、思考及設計的過程中，學生傾向于折疊特殊圖形，如直角三角形、正方形. 同時，學生把這些圖形轉化成矩形折疊的問題，應用方程模型求解，這其中還迸發出了其他思維方法的火花. 他們發現，折疊一般的平行四邊形時，因其角度的不確定性，很難設計出與邊相關的問題. 因此，有學生嘗試確定平行四邊形一個內角的度數，如60°角. 圍繞特殊角度構造直角三角形，從而把平行四邊形的折疊問題轉化為矩形的折疊問題來設計、改編、解決.

由于折痕和折疊對象發生變化，學生能獲得的圖形也更加豐富. 學生在原有矩形的基礎上大膽創新與實踐，抓住了知識的“生長點”和“延伸點”，學習潛能得以激發，達到了“會一題、通一類”的目的. 在解決折疊問題的過程中，學生還能總結解決問題的基本策略和基本方法，發現問題并大膽提出問題. 也許他們暫時還不能完全解答這些問題，如涉及相似三角形的問題或者與函數有關的知識，但這為對折疊問題進行持續、深入研究埋下了伏筆，為學有余力的學生提供了探索的方向.

“腳手架”只能是輔助工具. 當建筑工程結束時，腳手架也會被拆除. 同樣地，當學生順利渡過解決折疊問題這一思維危機時，也可以無需通過折紙實驗就能解決其他問題. 毋庸置疑，折紙在陪伴部分學生解決折疊類問題時發揮了重要作用.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］鮑建生，周超. 數學學習的心理基礎與過程［M］. 上海：上海教育出版社，2009.

［3］孫朝仁. 關于“教思考”的思考：以“分式”教學設計為例［J］. 中小學教師培訓，2020（12）：46-49.

基金項目：江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年度重點資助項目——初中數學實驗教學支持系統的構建研究（B-a / 2020 / 02 / 42）.

作者簡介：蔣惠麗（1983— ），女，高級教師，主要從事中學數學課堂教學案例研究；

孫朝仁（1967— ），男，正高級教師，江蘇省特級教師，主要從事教育科研管理和初中數學教育研究.