學段視角下中法義務教育知識與數(shù)學核心素養(yǎng)的比較研究

摘" 要：基于中國2022年版和法國2018年版義務教育數(shù)學課程標準，比較分析學段視角下中法數(shù)與代數(shù)領域的知識內容和數(shù)學核心素養(yǎng)，并提出三點教學建議，即“講清算理與算法多樣化，加強對學生運算素養(yǎng)的培養(yǎng)；重視試誤與代數(shù)推理，培養(yǎng)學生的推理能力；建設多維度的問題類型，提升學生的建模素養(yǎng)”.

關鍵詞：核心素養(yǎng)；義務教育；課程標準；數(shù)與代數(shù)；學段視角

中圖分類號：G639" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）01-0057-08

引用格式：張玉環(huán)，陳晨. 學段視角下中法義務教育知識與數(shù)學核心素養(yǎng)的比較研究：以數(shù)與代數(shù)領域為例［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2025（1）：57-64.

一、研究背景

近年來，中外比較教育研究成為國內數(shù)學教育界的熱點之一，其中以美國、日本、英國和澳大利亞為比較對象的研究較多. 但受限于原材料不足、語言翻譯等方面的因素，國內關于中法兩國義務教育比較的研究較少. 在精英教育與大眾教育合理并存的法國，誕生過笛卡兒、費馬等著名的數(shù)學家，因此，比較研究中法數(shù)學教育具有重要意義. 數(shù)與代數(shù)作為義務教育數(shù)學課程的四大領域之一，在學生探索現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系及其變化規(guī)律方面發(fā)揮著不可替代的作用. 法國對數(shù)學核心素養(yǎng)的研究相對成熟，且目前我國鮮少有對中法兩國的數(shù)學核心素養(yǎng)的比較研究. 因此，基于學段視角，應用定量分析與定性分析相結合的方法，對中國《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下統(tǒng)稱“中國《標準》”）和法國《2018年度進步標準》（以下統(tǒng)稱“法國《標準》”）中數(shù)與代數(shù)領域的知識內容和數(shù)學核心素養(yǎng)進行比較，希望能對教師教學提供一些參考.

二、研究設計

1. 研究對象

研究對象為中國和法國最新頒布的義務教育數(shù)學課程標準中數(shù)與代數(shù)領域的內容. 中法《標準》中對義務教育階段的學段劃分不同，法國第一學段為學前教育階段，義務教育階段包含三個學段，分別為第二學段（1 ～ 3年級）、第三學段（4 ～ 6年級）、第四學段（7 ～ 9年級）. 具體見圖1.

2. 研究思路

基于中國《標準》和法國《標準》，以學段為研究視角，量化比較分析中法兩國數(shù)與代數(shù)領域的知識廣度和深度特征. 其中，知識廣度一般指課程內容所涉及范圍的廣泛程度，通常依據知識點個數(shù)的多少進行標識（即知識點的數(shù)量）. 為了平衡知識點，中國《標準》和法國《標準》中符合“行為動詞 + 名詞”模式的知識點被記為一個知識點（如會讀億以內的數(shù)）. 知識深度泛指課程內容所需要達到的思維深度，以最新的布魯姆教育目標分類學為基礎，結合我國義務教育階段對數(shù)學課程內容要求層次的劃分方式，以認知要求維度作為知識深度的核心指標，將其劃分為了解、理解、掌握和靈活運用四個層次，并對應每個知識點由低到高的深度. 若將四個層次的認知要求分別賦予權重[1，2，3，4]，則運用公式（*）可以計算每個知識單元的深度. 然后以中法兩國的義務教育數(shù)學核心素養(yǎng)為主體，對其基本內涵和知識載體進行深入分析.

[S=i=14nidini=14ni=n;i=1，2，3，4]（*）

其中，[di=1，2，3，4]依次表示了解、理解、掌握和靈活運用的認知要求層次；[ni]表示某個知識單元中第[di]層次深度的知識點數(shù)量，[ni]的總和為對應知識單元所包含的知識點的總和.

三、學段視角下中法義務教育階段數(shù)與代數(shù)領域知識內容的比較

中法《標準》均以學段為依據將數(shù)與代數(shù)領域的知識劃分為不同的主題，如圖2所示. 為了便于比較，結合中法《標準》對數(shù)與代數(shù)領域的知識分類，按照數(shù)與運算、數(shù)量關系、式與方程和函數(shù)四個主題梳理知識. 其中，法國《標準》中數(shù)與代數(shù)領域的知識導圖如圖3所示.

1. 知識廣度

中國《標準》和法國《標準》中數(shù)與代數(shù)領域的知識點數(shù)量分別為135和127，兩國總體上的知識廣度相差不大，各學段的知識點個數(shù)如圖4所示. 隨著學段的上升，中法《標準》數(shù)與代數(shù)領域的知識點個數(shù)都一直在增加，從第三學段到第四學段的變化幅度極大. 比較發(fā)現(xiàn)，從第一學段到第三學段，中國《標準》數(shù)與代數(shù)領域的知識廣度均低于法國，但在第四學段出現(xiàn)反轉.

在數(shù)與運算主題中，中法《標準》的不同之處體現(xiàn)在數(shù)系范圍和數(shù)的表征兩個方面. 中國《標準》注重呈現(xiàn)多種類型的數(shù)的概念，數(shù)系范圍較為廣泛，如其中獨有的質數(shù)與合數(shù)的概念. 與此同時，中國《標準》還結合中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化設置了與算盤有關的知識點. 法國《標準》中主要圍繞數(shù)的表征設置知識點， 如讀寫數(shù)、用數(shù)軸表示數(shù)、數(shù)的拆分等. 在式與方程、函數(shù)主題中，中國《標準》給定了多種類型的代數(shù)式、方程及函數(shù)，而法國《標準》注重對結論的論證、概念的深入和函數(shù)的表示.“概念的深入”具體指法國《標準》對代數(shù)概念的要求更高. 例如，在函數(shù)方面，法國還要求學生了解映射的概念.“函數(shù)的表示”具體指法國《標準》注重函數(shù)的表示方法，除了中國常用的三種表示方法之外，還有計算機程序法.

2. 知識深度

依據公式（*）計算四個學段的知識深度，結果如圖5所示. 隨著學段的上升，中法《標準》中數(shù)與代數(shù)領域的知識深度均呈先上升再下降，最后繼續(xù)上升的變化趨勢. 結合學段視角下知識廣度的比較結果，法國小學階段的知識呈現(xiàn)出“廣且深”的特征，中國初中階段的知識呈現(xiàn)出“廣而不深”的特征. 具體分析發(fā)現(xiàn)，一方面，“廣”主要表現(xiàn)在中國《標準》中“式與方程”主題的知識點數(shù)量較多，其中的完全平方公式、分式與最簡分式、一元二次方程根與系數(shù)的關系、判別式、解二元一次方程組、不等式的基本性質、求解一元一次不等式與不等式組等，均未在法國《標準》中出現(xiàn). 此外，中國《標準》中還包含了多樣化的函數(shù)類型，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等，而法國《標準》只涉及一次函數(shù). 另一方面，“不深”主要表現(xiàn)在中法兩國初中階段的知識點方面，中國《標準》在認知層次上的要求大多低于或等同于法國.

四、學段視角下中法義務教育階段數(shù)學核心素養(yǎng)的比較

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中界定了數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的思維品質與關鍵能力，以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn). 中法《標準》均明確提出了義務教育階段的數(shù)學核心素養(yǎng)及其行為表現(xiàn). 為聚焦數(shù)與代數(shù)領域，選擇貼合該領域的三組相似數(shù)學核心素養(yǎng)行為表現(xiàn)進行詳細對比，即中國的運算能力與法國的計算能力、中國的推理意識（推理能力）與法國的推理能力、中國的模型意識（模型觀念）與法國的建模能力.

1. 運算能力和計算能力的基本內涵和知識載體分析

（1）基本內涵.

中國《標準》中運算能力的基本內涵如下.

運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力. 能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡捷的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數(shù)學推理能力的發(fā)展. 運算能力有助于形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學態(tài)度.

法國《標準》中計算能力在不同學段的基本內涵如下.

第二學段：采用不同的方式（心算或筆算）對整數(shù)進行精確計算或估算；驗證結果的合理性.

第三學段：運用合適的方法或技巧（心算或簡便計算、橫式書寫、豎式計算）對小數(shù)和簡單的分數(shù)進行準確計算或近似計算；驗證各種運算結果的準確性；使用計算器計算結果或檢查結果.

第四學段：適當?shù)亟Y合心算、筆算、工具（計算器、軟件）對有理數(shù)進行準確計算或近似計算；檢驗結果的可信性，尤其是通過數(shù)量級或區(qū)間進行估計；運用代數(shù)語言（字母、象征等）進行計算.

由以上表述可以看出，法國《標準》對運算能力的內涵闡述融合了各學段的知識內容，給出了學生的計算能力在各學段需要達到的目標，對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有指導意義. 具體分析運算能力的內涵構成，發(fā)現(xiàn)中國《標準》對運算能力的闡釋強調算理與運算法則，而法國《標準》對計算能力的闡釋強調算法多樣性和結果檢驗.

（2）知識載體.

綜合來看，中法《標準》中的運（計）算能力包含算理、算法、計算方式、代數(shù)運算四個要素. 通過梳理其知識載體所處學段，得到表2.

由表2可知，隨著學段的上升，運算能力在中法《標準》的知識載體量逐漸增加，反映了兩國的教育均通過擴展知識面、深化抽象內容逐步發(fā)展學生的運（計）算能力，體現(xiàn)出學段化與層次性. 從知識與素養(yǎng)內涵的協(xié)調來看，雖然運算能力在中國《標準》的知識載體表現(xiàn)出學段化與層次性，但是由于素養(yǎng)的基本內涵不夠全面，導致素養(yǎng)內涵應具備的特性與之脫離.

2. 推理能力的內涵和知識載體分析

（1）基本內涵.

中國《標準》中推理能力的基本內涵如下.

第一至第三學段：推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟. 知道可以從一些事實和命題出發(fā)，依據規(guī)則推出其他命題或結論；能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結論；通過法則運用，體驗數(shù)學從一般到特殊的論證過程；對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋. 推理意識有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習慣，增強交流能力，是形成推理能力的經驗基礎.

第四學段：推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā)，依據規(guī)則推出其他命題或結論的能力. 理解邏輯推理在形成數(shù)學概念、法則、定理和解決問題中的重要性，初步掌握推理的基本形式和規(guī)則；對于一些簡單問題，能通過特殊結果推斷一般結論；理解命題的結構與聯(lián)系，探索并表述論證過程；感悟數(shù)學的嚴謹性，初步形成邏輯表達與交流的習慣. 推理能力有助于逐步養(yǎng)成重論據、合乎邏輯的思維習慣，形成實事求是的科學態(tài)度與理性精神.

法國《標準》中推理能力的基本內涵如下.

第二學段：預測一個計算結果；在對不同的因素進行考慮后決定是否改變自己的判斷；逐漸意識到解釋說明自我言論的重要性；運用工具對圖形進行推理及再創(chuàng)造.

第三學段：在懂得考慮他人觀點的情況下與他人合作；對自己作出的論斷進行解釋說明并檢驗數(shù)據的有效性；解決需要組織多個數(shù)據或構建由多個推理步驟組成的方法的問題；在幾何方面，借助工具逐漸從了解到掌握只根據圖形的性質和物體間關系進行推理.

第四學段：解決涉及不同規(guī)模（幾何、物理、經濟）的問題；調動必要的知識，對錯誤進行分析和探究，嘗試各種解決方案；在考慮到他人觀點的前提下進行集體性研究；根據形成的結果及掌握的論據形成自己的判斷并以此捍衛(wèi)自己的觀點；運用邏輯性論證及已確立的規(guī)則（定律、定理、公式）得出結論.

由以上表述可以看出，中國《標準》從合情推理和演繹推理兩個方面闡述了數(shù)學推理能力的內涵，法國《標準》基于學段特征和內容領域闡釋了推理能力的要求，既提出了對合情推理的要求（能夠根據有效數(shù)據作出自己的論斷并進行解釋說明），也提出了對論證推理的要求（能夠運用邏輯性論證及已確立的規(guī)則，如定律、定理、公式等得出結論）. 兩國對演繹推理的闡述一致，均強調了數(shù)學的形式化、嚴謹性、抽象性. 但是兩國對合情推理的闡述存在差異. 中國《標準》強調通過歸納和類比發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而法國《標準》強調調動必要的知識并對錯誤進行分析和探究，鼓勵學生嘗試用多種方法解決問題. 由此可見，法國對推理能力的表述更符合“經驗論”這種數(shù)學哲學觀，突出了數(shù)學的可誤性、實用性及探索性.

（2）知識載體.

推理能力在中法《標準》數(shù)與代數(shù)領域的知識載體較少，如中國《標準》中僅包含推導乘法公式、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系，法國《標準》僅包含論證與代數(shù)相關的普遍性結論、分配律（簡單、雙重）、方程的解法. 這種情況的出現(xiàn)主要來源于兩點：第一，推理一般包含合情推理和演繹推理，這兩種推理能力通常是經歷各種數(shù)學活動所發(fā)展起來的，如觀察、實驗、猜想等，這些一般不屬于知識領域；第二，演繹推理中提到的定理、公式等，與幾何知識關系最為密切，幾何推理占據首位.

3. 建模能力的內涵及知識載體分析

（1）基本內涵.

中國《標準》中模型觀念的基本內涵如下.

第一至第三學段：模型意識主要是指對數(shù)學模型普適性的初步感悟. 知道數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑；能夠認識到現(xiàn)實生活中大量的問題都與數(shù)學有關，有意識地用數(shù)學的概念與方法予以解釋. 模型意識有助于開展跨學科主題學習，增強對數(shù)學的應用意識，是形成模型觀念的經驗基礎.

第四學段：模型觀念主要是指對運用數(shù)學模型解決實際問題有清晰的認識. 知道數(shù)學建模是數(shù)學與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑；初步感知數(shù)學建模的基本過程，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義. 模型觀念有助于開展跨學科主題學習，感悟數(shù)學應用的普遍性.

法國《標準》中數(shù)學建模的基本內涵如下.

第二學段：運用數(shù)學工具解決實際問題，尤其是與數(shù)值和測量有關的問題；將一些問題轉化為加法問題、乘法問題、比例分配問題或組合問題；發(fā)現(xiàn)一些實際對象中蘊含的數(shù)學形式，并對其進行幾何化的再創(chuàng)造.

第三學段：運用數(shù)學解決日常生活中的問題；辨認及區(qū)分涉及加法、減法、乘法和比例的問題；辨認可以運用幾何關系（排列、平行、垂直、對稱）進行建模的實際問題；運用幾何性質辨認物體.

第四學段：識別數(shù)學模型（比例、概率）并在該模型框架中進行推理以解決問題；將實際情況翻譯成數(shù)學語言（如借助方程式、函數(shù)、幾何形態(tài)、數(shù)據工具）；了解及運用數(shù)字模擬或幾何模擬；實現(xiàn)或取消一個模型，將一種情況類比為一種眾所周知的模型（如隨機模型）.

由以上表述可知，中法《標準》中對建模能力的本質理解基本一致，均要求運用數(shù)學工具解決現(xiàn)實問題，并提出跨學科主題學習的概念. 與此同時，法國《標準》還明確提出了哪些知識的學習有助于培養(yǎng)學生的建模能力，如數(shù)與代數(shù)領域的數(shù)量關系、圖形與幾何領域的幾何關系、統(tǒng)計與概率領域的隨機模型，這對一線教師培養(yǎng)學生的建模素養(yǎng)具有可借鑒的價值與意義.

（2）知識載體.

相比較而言，法國《標準》對建模能力的內涵界定與知識載體更加協(xié)調一致. 中法《標準》數(shù)與代數(shù)領域對應的建模能力知識點數(shù)量分別為10個和16個. 中國《標準》的數(shù)系范圍雖然較廣，但是其對應的實際問題類型少于法國；法國《標準》中不僅從數(shù)系的角度設計問題，還從運算符號的角度來表述與建模能力對應的知識點，如要求將一些實際問題轉化為加減法、乘法或組合問題；法國《標準》從跨學科的角度提出實際問題，如要求解決與物理、經濟學科相關聯(lián)的實際問題. 因此，中國《標準》所呈現(xiàn)的實際問題類型較法國單一，法國《標準》則從多個維度呈現(xiàn)了不同類型的問題，如數(shù)系、運算符號、跨學科等.

五、研究結論與啟示

1. 主要研究結論

整體比較中法《標準》中數(shù)與代數(shù)領域的知識內容，發(fā)現(xiàn)其不同之處體現(xiàn)在如下幾點. 在數(shù)的主題下，中國《標準》中的數(shù)系范圍較為廣泛，而法國《標準》中對數(shù)的表征方式較為多樣化；在代數(shù)主題下，中國《標準》中定義了較多類型的代數(shù)式、方程和函數(shù)，而法國《標準》中較注重對知識的深層次要求.

比較中法兩國義務教育階段的數(shù)學核心素養(yǎng)可知，中國的數(shù)學核心素養(yǎng)概念處于上位，法國的數(shù)學核心素養(yǎng)貼合知識內容，并按照學段劃分了不同的要求. 聚焦主要體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)領域的數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)現(xiàn)：中國《標準》中的運算能力內涵側重算理，而法國《標準》中的計算能力側重算法；中國《標準》中的推理能力強調通過歸納和類比發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而法國《標準》中的推理意識（能力）強調調動必要的知識對錯誤進行分析和探究；中國《標準》中的模型意識（觀念）和法國《標準》中的建模能力在本質上相似，但是法國的建模問題類型比較多樣.

2. 討論與啟示

基于對中法《標準》中的知識和數(shù)學核心素養(yǎng)的比較的分析結果，為教師的教學提供如下啟示.

（1）講清算理與算法多樣化，加強對學生運算素養(yǎng)的培養(yǎng).

基于中法義務教育階段對學生運算能力的要求，明確了培養(yǎng)學生的運算能力不僅包括準確、快速地進行計算，還包括理解運算的算理、選擇合理簡捷的運算途徑、結果檢驗等. 因此，教師在教學中不能只側重培養(yǎng)學生的運算能力，需要平衡運算能力四個構成要素的要求. 綜合中法比較結果與國內有關算理、算法的研究表明，發(fā)展學生的運算素養(yǎng)，要讓學生明晰算理，掌握算法，實現(xiàn)算理、算法內在的統(tǒng)一. 因此，以明晰算理為基礎，理解運算法則及運算律，設計多樣化的算法類型，有助于提升運算能力.

（2）重視試誤與代數(shù)推理，培養(yǎng)學生的推理能力.

從內容領域的維度考慮，除了本文討論的代數(shù)推理，還有幾何推理、概率與統(tǒng)計推理等. 隨著計算機技術的發(fā)展，代數(shù)思維在中小學教育中越來越重要. 對學生推理能力的培養(yǎng)，不僅要重視幾何推理，還要重視代數(shù)推理. 那么，培養(yǎng)學生的推理能力應該重視哪些方面呢？我國百余年課程綱領性文件對推理能力的闡釋反映了“唯理論”與“經驗論”兩種不同數(shù)學哲學觀的爭鋒. 由于數(shù)學既是一門經驗科學，又是一個假設—演繹系統(tǒng)，所以在教學中需要考慮兩者的平衡. 在合情推理方面，由于教學中給出的結論都是正確的，很多學生認為，推理得到的結果一定是正確的，從而缺乏對錯誤方法的探究. 因此，教師不僅要培養(yǎng)學生的正向思維，還要要求學生調動必要的知識，學會分析錯誤的原因，做到“知其然，且知其所以然”.

（3）建設多維度的問題類型，提升學生的建模素養(yǎng).

目前，我國的數(shù)學建模在各學段的實施不夠均衡. 對于數(shù)學建模，高中階段已有二十多年的積累，初中和小學階段才剛剛開始，仍需要開發(fā)相關資源. 借鑒法國在課程標準文件中給定的多維度模型問題，教師可以從數(shù)系范圍、運算符號、跨學科等方面建設模型資源庫，如與素數(shù)和合數(shù)相關的實際問題、與物理和經濟學科相關的問題等. 實際上，數(shù)學建?；顒邮且粋€強調學生數(shù)學創(chuàng)造力與問題解決能力的活動，問題的多樣化有助于鍛煉學生的問題解決思維，提高學生的問題解決能力. 因此，多維度建設問題類型，可以充實初中和小學階段的建模資源儲備，進而發(fā)展學生的數(shù)學建模素養(yǎng).

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基金項目：河南省2021年度高等教育教學改革研究與實踐項目——學科教學（數(shù)學）專業(yè)學位研究生案例教學現(xiàn)狀與改進路徑研究（2021SJGLX197Y）；

河南大學本科教學改革研究與實踐項目——OBE理念下“案例式教學法”在職前教師培養(yǎng)中的教學改革與實踐（HDXJJG2023-023）.

作者簡介：張玉環(huán)（1983— ），女，副教授，主要從事數(shù)學教育與教師教育研究；

陳晨（1995— ），女，中小學二級教師，主要從事中外數(shù)學教育比較及數(shù)學問題提出能力的培養(yǎng)策略研究.