基于CPFS結(jié)構(gòu)解題教學(xué)的案例分析與思考

摘" 要：CPFS結(jié)構(gòu)是將數(shù)學(xué)知識(shí)按照概念和命題進(jìn)行分類，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系，主要包括概念域、概念系、命題域、命題系四個(gè)部分. 基于CPFS結(jié)構(gòu)的解題教學(xué)，要分析解題情況，尋找斷聯(lián)結(jié)點(diǎn)；多角度表征問題，掃清解題障礙；回顧反思提煉，構(gòu)建數(shù)學(xué)模式；提取關(guān)聯(lián)圖式，豐富知識(shí)結(jié)構(gòu). 基于CPFS結(jié)構(gòu)的解題教學(xué)有利于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維和元認(rèn)知能力.

關(guān)鍵詞：解題教學(xué)；CPFS結(jié)構(gòu)；問題表征；數(shù)學(xué)模式

中圖分類號：G633.6" " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）01-0048-05

引用格式：李愛民. 基于CPFS結(jié)構(gòu)解題教學(xué)的案例分析與思考［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（1）：48-52.

一、CPFS結(jié)構(gòu)理論

喻平教授從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的角度提出了CPFS結(jié)構(gòu)理論，主要引入概念域（concept field）、概念系（concept system）、命題域（proposition field）、命題系（proposition system）四個(gè)概念，目的是對概念和命題從不同角度進(jìn)行表征，尋找知識(shí)之間的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 一個(gè)概念的所有等價(jià)圖式構(gòu)成概念域；由若干個(gè)相互聯(lián)系的概念形成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)構(gòu)成概念系；一個(gè)命題的所有等價(jià)圖式構(gòu)成命題域；一組有相互推出關(guān)系的命題構(gòu)成命題鏈，由若干條命題鏈形成的系統(tǒng)構(gòu)成命題系.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

CPFS結(jié)構(gòu)與其他知識(shí)結(jié)構(gòu)的區(qū)別在于構(gòu)建等價(jià)概念和等價(jià)命題，讓學(xué)生從多角度去認(rèn)識(shí)概念和命題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)理解，提升思維水平.

二、基于CPFS結(jié)構(gòu)解題教學(xué)的案例分析

在一次九年級中考模擬考試中有一道涉及一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式等核心知識(shí)的函數(shù)問題. 仔細(xì)分析該題，發(fā)現(xiàn)其有多種解法，但學(xué)生的解答情況不太樂觀. 為了掃清學(xué)生解題中的障礙，建構(gòu)知識(shí)間的聯(lián)系，提高中考復(fù)習(xí)效果，筆者借助CPFS結(jié)構(gòu)理論帶領(lǐng)學(xué)生研究該題. 具體過程如下.

1. 分析解題情況，尋找斷聯(lián)結(jié)點(diǎn)

題目" 已知一次函數(shù)[y1=kx+2][k為常數(shù)，k≠0]和[y2=x-3]，當(dāng)[xlt;1]時(shí)，[y1gt;y2]，則[k]的取值范圍是" " " .

該題解法多樣，蘊(yùn)含多種數(shù)學(xué)思想，能啟發(fā)學(xué)生思考，鍛煉數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 經(jīng)過調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生解答此題的情況不太理想. 學(xué)生主要采用解不等式法和圖象法解題. 解題時(shí)存在的主要問題是不能理解條件“當(dāng)[xlt;1]時(shí)，[y1gt;y2]” （以下統(tǒng)稱“條件①”），自然也不能正確表征此條件. 在運(yùn)用解不等式法時(shí)，誤認(rèn)為“[xlt;1]是[y1gt;y2]的解集”，不會(huì)解含參數(shù)的一元一次不等式. 在運(yùn)用圖象法時(shí)，不能用圖象表征條件①，不能把握k值與一次函數(shù)圖象間的對應(yīng)關(guān)系.

CPFS結(jié)構(gòu)是以概念（或命題）為結(jié)點(diǎn)，關(guān)系作為紐帶，知識(shí)與方法相融的知識(shí)體系. 學(xué)生在解題過程中思維受阻往往與知識(shí)結(jié)點(diǎn)斷聯(lián)有很大關(guān)系. 學(xué)生誤認(rèn)為“[xlt;1]是[y1gt;y2]的解集”，是對命題結(jié)構(gòu)的理解不到位. 不能采用分類討論的方法解不等式，是對不等式的基本性質(zhì)認(rèn)識(shí)不到位. 不能用圖象表征條件①，是對一次函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系運(yùn)用不到位.

2. 多角度表征問題，掃清解題障礙

問題表征是構(gòu)建CPFS結(jié)構(gòu)的前提. 它是對問題信息進(jìn)行提取和理解的過程，包括明確問題的條件、目標(biāo)、可操作的方法. 借助個(gè)體已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，將問題等價(jià)描述，提取個(gè)體長時(shí)記憶中的解題圖式，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將外部信息轉(zhuǎn)化為頭腦中的內(nèi)部信息，達(dá)到解決問題的目的.

為了掃清解題障礙，筆者以問題為抓手，引導(dǎo)學(xué)生對題目中的條件、結(jié)論進(jìn)行不同的表征，助力學(xué)生解決問題.

（1）單個(gè)條件表征，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

問題1：由條件“一次函數(shù)[y1=kx+2]”，你能得到哪些結(jié)論？

問題2：由條件“一次函數(shù)[y2=x-3]”，你能得到哪些結(jié)論？

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)以上兩個(gè)問題，歸納表征一次函數(shù)的方法為列表法、表達(dá)式法和圖象法，從而構(gòu)建一次函數(shù)概念域.

問題3：由條件①，你能想到哪些與之相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)？

【設(shè)計(jì)意圖】問題3旨在讓學(xué)生思考與條件①有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，尋找不同的表征方法，為構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)奠定基礎(chǔ).

由上述三個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度逐個(gè)表征問題中的條件，構(gòu)建研究一次函數(shù)的概念系，如圖1所示.

[一次函數(shù)][表征][表達(dá)式][待定系數(shù)法][列表][性質(zhì)][位置][增減性][聯(lián)系][方程][一元一次不等式][二元一次方程（組）][一元一次方程][圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)

是方程（組）的解][作圖][圖象] [確定變量的值][確定變量的

取值范圍] [圖1][方程（組）的解是

圖象上點(diǎn)坐標(biāo)]

（2）問題等價(jià)表征，完善解題過程.

① 解不等式法.

問題4：條件①與“當(dāng)[y1gt;y2]時(shí)，[xlt;1]”是否等價(jià)？如果等價(jià)，試說明原因；如果不等價(jià)，試說明它們之間的關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】將條件①等價(jià)表征為“[xlt;1]是[y1gt;y2]的解集或解集的一部分”，為分類討論解不等式作鋪墊.

解法1：將一次函數(shù)[y1=kx+2，y2=x-3]代入不等式[y1gt;y2]. 整理，得[k-1xgt;-5].

當(dāng)[k-1=0]時(shí)，即[k=1]，不等式恒成立；

當(dāng)[k-1gt;0]時(shí)，即[kgt;1，] [xgt;-5k-1]，不符合題意，舍去；

當(dāng)[k-1lt;0]時(shí)，即[klt;1]，解得[xlt;-5k-1].

因?yàn)閇xlt;1]是不等式[y1gt;y2]的解集或解集的一部分，

所以[-5k-1≥1]. 解得[k≥-4].

因?yàn)閇klt;1]，所以[-4≤klt;1].

因?yàn)閇k≠0]，所以[-4≤][k≤1]且[k≠0.]

② 圖象法.

問題5：能否畫出一次函數(shù)[y1]與[y2]的圖象？什么樣的位置滿足條件①？能否找到所有符合該條件的位置和臨界狀態(tài)？

問題6：如圖2，比較[a，b，c，d]的大小，你有什么發(fā)現(xiàn)？

[圖2]

【設(shè)計(jì)意圖】通過問題5引導(dǎo)學(xué)生用圖象等價(jià)表征條件①，目的是引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，自主探究發(fā)現(xiàn)符合條件的所有位置，并找到臨界狀態(tài). 問題6是引導(dǎo)學(xué)生歸納隨著直線繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，比例系數(shù)滿足的變化規(guī)律，為根據(jù)臨界狀態(tài)確定k的取值范圍作鋪墊.

解法2：作出一次函數(shù)[y1，y2]的圖象，如圖3所示.

[圖3]

因?yàn)楫?dāng)[xlt;1]時(shí)，[y1gt;y2]，所以此時(shí)一次函數(shù)[y1]的圖象在一次函數(shù)[y2]圖象的上方.

由[y2=x-3]，令[x=1，] 得[y2=-2].

將點(diǎn)[1，-2]代入[y1]，解得[k=-4].

此時(shí)符合條件①.

如圖4，將[y1]的圖象繞著點(diǎn)[0，2]逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與直線[y2]平行，即[k=1]時(shí)，期間均符合條件.

[圖4]

如圖5，如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，會(huì)出現(xiàn)[y1=y2]與[y1lt;y2]的情況，不符合題意. 因?yàn)樵谛D(zhuǎn)的過程中k值在不斷增大，且[k≠0]，所以符合條件的k的取值范圍是[-4≤k≤1]且[k≠0].

[圖5][6]

③ 分離系數(shù)法.

問題7：如果將[y1=kx+2]和[y2=x-3]代入[y1gt;y2，]就得到含有x和k的不等式. 我們能否將k看成未知數(shù)，通過分類討論的方法，再結(jié)合x的取值范圍，求解出k的取值范圍？

【設(shè)計(jì)意圖】改變學(xué)生的思維方式，將解關(guān)于x的不等式等價(jià)表征為解關(guān)于k的不等式.

解法3：將一次函數(shù)[y1=kx+2]，[y2=x-3]代入不等式[y1gt;y2]. 整理，得[kxgt;x-5]. 對[0lt;xlt;1，][x=0，][xlt;0]三種情況進(jìn)行分類討論，分別求出k的取值范圍即可. 以下略.

④ 構(gòu)造函數(shù)法.

問題8：如果將[y1gt;y2]變形為[y1-y2gt;0]，能構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)解決這個(gè)問題嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】令[y=y1-y2]，構(gòu)建新函數(shù)，將問題等價(jià)表征為函數(shù)值恒大于0的問題來解決.

解法4：將一次函數(shù)[y1=kx+2，y2=x-3]代入不等式[y1gt;y2]. 整理，得[k-1x+5gt;0]. 令[y=k-1x+][5]，再根據(jù)k - 1的范圍及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可. 以下略.

3. 回顧反思提煉，構(gòu)建數(shù)學(xué)模式

數(shù)學(xué)模式是指形式化采用數(shù)學(xué)語言，概括或近似地表述某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 數(shù)學(xué)中的各種基本概念、數(shù)學(xué)理論體系，以及各種定理、法則、公式、算法、命題和方法等，都是數(shù)學(xué)模式.

回顧該題的研究方法與策略，總結(jié)歸納出與函數(shù)有關(guān)的含參不等式問題的數(shù)學(xué)模式，如圖6所示，為學(xué)生解決類似的問題積累經(jīng)驗(yàn)，將知識(shí)結(jié)構(gòu)化地儲(chǔ)存于學(xué)生的知識(shí)體系中.

4. 提取關(guān)聯(lián)圖式，豐富知識(shí)結(jié)構(gòu)

解決問題是對原有CPFS結(jié)構(gòu)的精致、穩(wěn)固和完善. 改編問題需要學(xué)生調(diào)動(dòng)與問題相關(guān)聯(lián)的知識(shí)圖式，提取知識(shí)圖式依賴良好的CPFS結(jié)構(gòu). 改編試題的過程是對問題進(jìn)一步深入理解的過程，是對CPFS結(jié)構(gòu)的改良、重構(gòu)和豐富.

問題9：除了一次函數(shù)，你還學(xué)習(xí)過什么函數(shù)？這些函數(shù)與方程、不等式又有怎樣的關(guān)系？

問題10：能否以題目為模板，嘗試將其進(jìn)行改編？你會(huì)從什么視角進(jìn)行改編呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過上述問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過的所有函數(shù)，并梳理函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系，構(gòu)建與問題相關(guān)的知識(shí)圖式（如圖7），將一次函數(shù)概念系擴(kuò)充為函數(shù)概念系. 題目的改編是讓學(xué)生經(jīng)歷概念系的擴(kuò)充過程，進(jìn)一步強(qiáng)化CPFS結(jié)構(gòu).

[函數(shù)][一次函數(shù)][反比例函數(shù)][二次函數(shù)][分段函數(shù)][聯(lián)系][方程、不等式] [圖7]

下面列舉部分學(xué)生改編后的試題.

改編題1：已知一次函數(shù)[y1=kx+2 k為常數(shù)，] [k≠0]和[y2=][-x2]，當(dāng)[xlt;1]時(shí)，[y1gt;y2]，則k的取值范圍是" " " " .

改編題2：已知一次函數(shù)[y1=kx+2 k為常數(shù)，] [k≠0]和[y2=][-1x]，當(dāng)[0lt;xlt;1]時(shí)，[y1gt;y2]，則k的取值范圍是" " " ".

改編題3：已知二次函數(shù)[y1=x2+k]和[y2=3x-3，]當(dāng)[xlt;1]時(shí)，[y1gt;y2]，則k的取值范圍是" " " " ".

改編題4：已知一次函數(shù)[y1=2x-4]和[y2=-kx][k為常數(shù)，] [k≠0]，當(dāng)[0lt;xlt;1]時(shí)，[y1gt;y2]，則k的取值范圍是" " " " " " " .

改編題5：已知函數(shù)[y1=x2+1 xlt;0，x-3 x≥0]和[y2=kx][k為常數(shù)，] [k≠0]，若[y1]與[y2]有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是" " " " " " " .

改編題6：若[xlt;1]時(shí)，[kx+2gt;-x2]，求k的取值范圍.

三、基于CPFS結(jié)構(gòu)解題教學(xué)的思考

1. CPFS結(jié)構(gòu)有利于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

解題過程中的思維遇阻往往是由認(rèn)知結(jié)構(gòu)不完整、不清晰、不穩(wěn)定、可利用性不強(qiáng)等原因造成的. 基于CPFS結(jié)構(gòu)的解題過程能發(fā)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中存在的問題，并不斷完善、強(qiáng)化、重塑. 通過分析案例中學(xué)生的解題情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的認(rèn)知結(jié)構(gòu)問題如下. 對條件①存在知識(shí)誤解，對命題的結(jié)構(gòu)、不等式的基本性質(zhì)認(rèn)識(shí)不足，對一次函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系理解不深等. 通過對單個(gè)條件進(jìn)行表征，構(gòu)建一次函數(shù)概念域和概念系，將知識(shí)結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)完整化、清晰化；從不同角度將問題等價(jià)表征，溝通了諸多知識(shí)間的聯(lián)系，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)豐富化；構(gòu)建蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)模式，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定；對試題進(jìn)行改編，將問題由一次函數(shù)推廣到二次函數(shù)、反比例函數(shù)及分段函數(shù)，聯(lián)系了函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系，擴(kuò)充了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升了認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用化.

2. CPFS結(jié)構(gòu)有利于培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維

能從整體的角度思考，把握問題的本質(zhì)，這就是系統(tǒng)思維. 解題也需要系統(tǒng)思維，它能讓學(xué)生全面思考問題，將解題目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過程、解題過程的優(yōu)化，以及對問題的拓展、深化等作為一個(gè)整體進(jìn)行研究.

CPFS結(jié)構(gòu)是從不同側(cè)面或不同角度對概念或命題進(jìn)行表征，構(gòu)建概念、命題之間的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化. 本案例中，借助CPFS結(jié)構(gòu)將問題多角度等價(jià)表征，對關(guān)聯(lián)知識(shí)、方法全面思考，實(shí)現(xiàn)一題多解，是培養(yǎng)系統(tǒng)思維的前提；構(gòu)建數(shù)學(xué)模式，對問題進(jìn)行歸納，實(shí)現(xiàn)多題一解，是培養(yǎng)系統(tǒng)思維的有效方法. 在整個(gè)解題過程中，分析原因、表征問題、建構(gòu)模式、改編試題和豐富結(jié)構(gòu)形成了基于CPFS結(jié)構(gòu)解題的認(rèn)知系統(tǒng).

3. CPFS結(jié)構(gòu)有利于培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力

在認(rèn)知過程中，我們經(jīng)常會(huì)在行動(dòng)前做計(jì)劃、行動(dòng)中監(jiān)察、行動(dòng)后反饋，然后根據(jù)自己的反饋調(diào)節(jié)行為再行動(dòng)，循環(huán)往復(fù)，這種自我監(jiān)控的能力就是元認(rèn)知能力.

根據(jù)條件提取相關(guān)的概念域、概念系是對知識(shí)自主篩選的過程；將問題等價(jià)表征，提取知識(shí)體系中的有效信息，制訂解題方案，并實(shí)施解題方案，是對方案自主計(jì)劃、嘗試與調(diào)節(jié)的過程；回顧解題的策略與思想方法，歸納數(shù)學(xué)模式是自主反思、總結(jié)的過程；改變問題中的條件，將問題進(jìn)行改編是自主構(gòu)建的過程；運(yùn)用數(shù)學(xué)模式求解、改編試題是自主檢查、反饋的過程. 整個(gè)解題過程處于學(xué)生的自我監(jiān)控之下，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的元認(rèn)知能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］喻平. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論與實(shí)踐［M］. 南寧：廣西教育出版社，2008.

［3］章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄（下卷）［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

基金項(xiàng)目：江蘇省南京市浦口區(qū)教育科學(xué)規(guī)劃立項(xiàng)課題——基于“教—學(xué)—評”一體化的初中數(shù)學(xué)“活動(dòng)單”導(dǎo)學(xué)實(shí)踐研究（YBKT008）.

作者簡介：李愛民（1979— ），女，高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.