以問題設計為載體滿足學生的思維需求

摘" 要：問題是學習的起點，是思維發展的工具，是教學的助推器. 高質量的教學需要高質量教學過程的優化及高質量問題的設計. 思維型教學理論強調教學目標要指向核心素養. 問題設計是體現教師素養、導向教學、滿足學生思維需求的重要載體，是實施思維型教學的重要抓手. 以“線段的垂直平分線”專題復習課的教學為例，探討以問題設計為載體，滿足學生思維需求的教學模式.

關鍵詞：思維型教學；問題設計；線段垂直平分線

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）01-0012-04

引用格式：劉璇，于妍秋. 以問題設計為載體滿足學生的思維需求：以“線段的垂直平分線”專題復習課的教學為例［J］. 中國數學教育（初中版），2025（1）：12-15.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中明確指出：“數學為人們提供了一種理解與解釋現實世界的思考方式. 通過數學的思維，可以揭示客觀事物的本質屬性，建立數學對象之間、數學與現實世界之間的邏輯聯系；能夠根據已知事實或原理，合乎邏輯地推出結論，構建數學的邏輯體系；能夠運用符號運算、形式推理等數學方法，分析、解決數學問題和實際問題；能夠通過計算思維將各種信息約簡和形式化，進行問題求解與系統設計；形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，培養科學態度與理性精神.”數學思維的培養可以幫助學生形成邏輯思維能力，促進學生的創造性思維能力得到提升，同時發展學生的抽象能力，提高問題解決能力. 數學思維還可以培養學生的探索精神，它不僅對數學學科本身有著深遠影響，而且對學生的綜合素養提升和日常生活都有積極的影響. 因此，我們應該重視對學生數學思維能力的培養.

思維型教學理論引領下的課堂一般包括六大基本要素：創設情境，提出問題，自主探究，合作交流，總結反思和應用遷移. 這六大基本要素與培養學生的思維能力、提高學生的學習動機、促進素養的形成緊密關聯. 如何以問題設計為載體，通過自主探究和合作交流滿足學生的思維需求，促進學生的思維發展，下面以“線段的垂直平分線”專題復習課的教學為例展開研究.

專題復習課是指教師引導學生對所學的某一核心數學知識進行系統地歸納、總結、理解、鞏固和綜合運用，建立相關知識之間的縱橫聯系，幫助學生鞏固所學知識，深化知識理解，實現思維進階，培養學生綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力為任務和目標的授課形式. 本節“線段的垂直平分線”專題復習課源自人教版《義務教育教科書（五·四學制）· 數學》八年級上冊的教學內容，包括線段垂直平分線的定義及其性質. 學生已經學習過全等三角形等相關知識，這為后續學習等腰三角形、等邊三角形的相關知識和深刻理解對稱變換等奠定了堅實的知識基礎. 本節課以促進學生的思維發展為目標，通過不同形式的問題設計充分激活學生的思維，改善學生的學習方式，讓學習活動真正發生.

一、設置遞進性問題，引導學生結構化復習

問題是引領學生數學思考的基礎. 在教學中，教師由淺入深地進行遞進性問題設計，能引發學生思考，把學生的隱性思維顯現出來，為教師了解學生的知識水平提供第一手資料. 學生的思維發展程度是有差異性的. 設置遞進性問題，也能讓不同層次學生的思維以低階思維為起點不斷豐富、發展和進階.

例如，在“線段的垂直平分線”專題復習課中可以設置如下兩個遞進性問題作為復習回顧.

問題1：如圖1，線段BC的垂直平分線DE與BC相交于點E. 由此你能得到哪些結論？

[B][C][E][D] [圖1]

根據線段垂直平分線的定義，可以得到BE = EC，DE⊥BC；根據線段垂直平分線的性質，連接BD，DC，可得BD = DC.

【評析】問題1的設計旨在引領學生對線段垂直平分線的核心知識進行復習. 問題1的深度能滿足大多數學生的思維需求.

問題2：如圖2，以圖1中的BC作為△ABC的邊，邊BC的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E，連接BD，你能得到哪些結論？

[A][B][C][E][D][圖2]

學生獨立思考后進行小組合作交流. 小組匯報情況如下.

生1：根據線段垂直平分線的性質，得到BD = CD，從而可得△DBC是一個等腰三角形. 根據等腰三角形的性質，可得∠DBC = ∠C. 根據線段垂直平分線的定義，得BE = EC，DE⊥BC. 進一步得到△DBE ≌ △DCE. 根據三角形全等還可以得到∠BDE = ∠CDE.

生2：因為∠ADB是△DBC的外角，所以∠ADB = ∠DBC + ∠C. 因為∠DBC = ∠C，所以∠ADB = 2∠C.

生3：△ABD的周長 = AB + BD + AD = AB + DC + AD = AB + AC.

【評析】從學生的回答來看，生1基本還停留在問題1的思維水平，生2和生3的回答已經能將線段垂直平分線的核心知識與三角形知識關聯起來. 此時，教師要趁機引領學生構建結構化知識體系，使學生認識到研究幾何圖形的一般方法，即線段之間的數量關系和位置關系，角之間的數量關系，三角形之間的關系，形成數學研究的一般觀念.

遞進式問題的設計不僅能讓學生對核心知識進行鞏固，而且能讓學生的思維從“知道”“領會”到“應用”. 通過學生的自主發現、自主反思、教師引領，讓學生實現知識的重組、建構和生成，促使學生從“學會”到“會學”.

二、設置開放性問題，促進知識建構化應用

《標準》中強調了通過數學教學培養學生的創新意識. 因此，教師要改變傳統的數學教育理念，創新教學方法和手段，有效培養學生的創新意識. 創新的本質在于思維的創新，數學的本質在于思維，而人的發散思維能力與其所具有的創造力是成正相關的. 設置有價值的開放性問題，能使學生的發散性思維得到發展. 教師要注重引導學生經歷分析和解決問題的過程. 問題是由學生自己或與他人交流中提出的，解決問題的過程要與提出問題的過程有機結合，使學生積累解決實際問題的經驗.

例如，本節課通過問題1的結構化復習引入，能讓學生形成數學研究的一般觀念. 那么學生對知識理解、應用得怎么樣？對此，教師可以設置如下問題.

問題3：如圖3，△ABC中，邊BC的垂直平分線交AB于點F，交BC于點E，若" " " " ，求" " " " .試將題目補充完整，并嘗試解答.

[A][B][C][E][F][圖3]

學生根據不完整條件先提出問題再分析和解決問題，實現學習過程的思維可視化. 學生提出了很多有思維含量的數學問題，教師可以選擇一些問題展開教學，如選擇添加“若BF = AC，∠A = 80°，求∠B的度數”這一問題.

針對此問題，有的學生先連接CF（如圖4），得出△FBE ≌ △FCE. 得到FB = FC. 由FB = AC，FC = AC，得到∠AFC = ∠A = 80°. 由∠AFC = 2∠B，求得∠B = 40°.

[A][B][C][E][F][圖4]

【評析】顯然，這樣解決問題的學生對線段垂直平分線的性質的應用還不熟練，沒有對線段垂直平分線的核心知識完成建構. 這也是學生思維固化的常見表現形式. 學生學習的過程是將教學內容轉化為自我認知的過程. 在教學中，通過有針對性地設計開放性問題，引領學生將新知識內化和建構并靈活應用是至關重要的.

設計開放性問題，既可以選擇條件開放，也可以選擇結論開放、策略開放等. 開放性問題不僅能促進學生對知識的掌握和思想方法的理解，更能給學生提供發散思維的機會. 而創新能力的培養與發散思維有直接關系. 因此，在教學中適當地運用開放性問題促進學生的發散思維發展是值得重視的.

三、設置求異性問題，實現思維多元化進階

求異性問題可以加深學生對題目的形式、組成元素及題目中隱含的邏輯關系的認識，加深學生對數學原理、通性通法的認識，給學生提供自主思考并表達的機會，使學生學會從多角度分析和解決問題，從而培養學生的數學洞察力和推理能力，拓寬解題思路，培養學生的求異思維和發散思維.

例如，本節課可以通過設置如下的求異性問題達成教學目標.

問題4：如圖5，已知在△ABC中，BC的垂直平分線交AB于點F，交∠BAC的外角平分線于點G. 若∠C = 3∠B，你能找出圖形中相等的線段嗎？嘗試說明理由.

[圖5] [A][B][C][E][F][P][G]

學生從不同角度找到了解決問題的突破口，具體如下.

生4：根據線段垂直平分線的定義，可以得到BE = EC. 設∠B = x，則∠C = 3x. 如圖6，連接FC，得到BF = CF，∠B = ∠FCB = x，∠ACF = 2x. 根據外角的性質可得∠AFC = 2x. 從而得到∠ACF = ∠AFC，即AF = AC.

[圖6] [A][B][C][E][F][P][G]

生5：根據∠FEB = 90°，求得∠AFG = ∠BFE =[90°-x]. 利用外角的性質可以求得∠FAP = 4x. 根據角平分線的性質，可得∠GAF = 2x. 利用三角形內角和定理求出∠AGF = 180° -[90°-x]- 2x =[90°-x]，得到∠AGF = ∠AFG，即AG = AF.

生6：如圖6，當發現AF = AC之后，圖中就出現了一個基本圖形——等腰三角形頂角的外角平分線平行于底邊，即AG∥FC. 可以得到∠AGF = ∠CFE. 因為∠BFE = ∠CFE = ∠AFG，所以∠AGF = ∠AFG，AG = AF.

生7：如圖7，過點A作AH⊥FG于點H. 因為AH∥BC，所以∠HAF = ∠B = x. 因為∠GAF = 2x，所以∠HAG = ∠HAF. 通過證明△AGH ≌ △AFH，得到AG = AF.

[A][B][C][E][F][P][G][H][圖7]

生8：我們組還找到了一組相等的線段. 因為AF = AC，AG = AF，根據等量代換可以得出AG = AC.

【評析】學生給出的方法多樣，表述清晰. 他們的匯報讓人感到驚喜. 可見，給學生一個開放的問題和探究的空間，他們會給我們更多驚喜. 這個求異性的問題搭建起了學生思維發展進階的橋梁. 學生基于自己的思維水平選擇多元的解法，使得問題得以解決，但此時學生的思維還僅限于自己的解法中.

為了增加學生思維的廣闊性和深刻性，教師適時追問：在這些方法中，你喜歡用哪種方法來解決問題？理由是什么？然后學生展開了激烈的爭辯.

生9：平行線的性質是證明角相等的重要依據，發現AG∥FC就能讓問題得到解決. 我喜歡這種方法.

生10：我同意生9的觀點. 看到線段的垂直平分線，連接FC，是比較常規的思路. 而剛才在研究基本圖形結論的時候就得出了∠BFE = ∠CFE. 平行線比較容易發現，可以通過證明角相等來證明線段相等.

生11：我認為通過計算導角的方法也挺好的. 題中給了角的倍數關系，我們可以通過設元導角，把圖形中的角用含x的式子表示出來，利用等角對等邊獲得相等的線段. 這樣從已知條件出發解決問題，思維含量比較小，只要細心計算便可以很容易解決.

生12：我不同意前面幾名同學的觀點. 全等是證明線段相等的常用方法. 通過直觀觀察可以猜想AG = AF，就說明△AGF是等腰三角形，可以將△AGF當成背景圖形來分析. 遇到等腰三角形，常常根據等腰三角形“三線合一”的性質作輔助線，這道題是它的逆運用.

【評析】教師的追問使得學生在原有經驗的基礎上，通過傾聽其他學生喜歡不同方法的理由，養成講道理、有條理的思維習慣，對“證明線段相等的常用方法”“不同方法適合在什么情況下使用”“解決問題的一般思路”等方面進行深入思考，用數學的思維與數學的語言分析和解決問題，掌握證明線段相等的一般方法，把握問題的本質，形成方法體系，明晰問題解決的路徑，拓展了思維的廣度和深度.

突破思維定式和固化思維的直接路徑就是培養學生的求異思維. 求異性問題的設計能開拓學生的思路，突破常規思維的束縛，讓學生從多角度、多方向、多層次思考問題，并能創造性地解決問題，啟迪學生的創新意識，發展學生的數學核心素養.

四、結束語

本節課以問題設計為載體，啟發學生遵循有序的思維過程解題，完善學生的知識結構，促進了學生對基礎知識和基本方法的深度理解與靈活應用，為學生思維的發展提供了堅實的基礎. 同時，將學生從“客體”學習狀態轉化為“主體”學習狀態，充分調動了學生思維的積極性，幫助學生積累活動經驗，使學生的思維始終保持活躍狀態. 同時，教師適切的追問和梳理總結指導學生掌握了正確的思維方向，即正確地分析、綜合、判斷和推理，形成科學的思維習慣，使學生的思維更廣闊、更深刻、更靈活，也更富有邏輯性和敏捷性. 通過獨立思考、合作探究等活動培養學生的創造性思維，能使不同層次的學生都能實現思維進階.

參考文獻：

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基金項目：黑龍江省教育科研規劃教研專項重點課題——基于新課程標準的初中數學思維型教學實踐研究（JYB1423072）.

作者簡介：劉璇（1971— ），男，副研究員，主要從事中學數學教育和課堂教學改革研究；

于妍秋（1972— ），女，高級教師，主要從事中學數學教育教學研究.