一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

劉陳

摘要：結(jié)合五則典例，探討一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系在判斷三角形的形狀、求代數(shù)式的值、構(gòu)造倍根方程、求代數(shù)式的最值、求參數(shù)的值等方面的運(yùn)用，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：一元二次方程；判別式；數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；核心素養(yǎng)

一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，可用來(lái)判斷三角形的形狀，求代數(shù)式的值，構(gòu)造倍根方程，求代數(shù)式的最值，求參數(shù)的值等，這些應(yīng)用一方面體現(xiàn)了根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的價(jià)值，另一方面也使學(xué)生體會(huì)到了不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，有利于加深學(xué)生對(duì)這一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握.

1 判斷三角形的形狀

當(dāng)一元二次方程的系數(shù)或它的兩個(gè)根是三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，一元二次方程和三角形之間就有了聯(lián)系，利用一元二次方程根的情況可以判斷三角形的形狀^［1］.

例1 已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，方程（a+c）x²+2bx+（a-c）＝0是關(guān)于x的一元二次方程.

（1）當(dāng)x＝-1時(shí)，你能確定△ABC的形狀嗎？為什么？

（2）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，你能確定△ABC的形狀嗎？為什么？

解析：（1）由題意，把x＝-1代入方程，得a+c-2b+a-c＝0，整理得a＝b.因?yàn)閍，b，c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)，所以△ABC為等腰三角形.

（2）由題意，Δ＝（2b）²-4（a+c）（a-c）＝0，整得得b²+c²＝a².因?yàn)閍，b，c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)，所以由勾股定理的逆定理，得△ABC為直角三角形.

評(píng)注：當(dāng)三角形的三邊為一元二次方程的系數(shù)時(shí)，三角形的形狀與一元二次方程根的情況也有了聯(lián)系，本題設(shè)置的兩個(gè)問(wèn)題對(duì)此做了很好的詮釋.

2 求代數(shù)式的值

評(píng)注：本題第（2）小題以m作為聯(lián)系的紐帶，

根據(jù)第一個(gè)方程中根與系數(shù)的關(guān)系求出m的值，然后代入關(guān)于a，b的方程中消去m，從而顯現(xiàn)出a，b的本質(zhì)，再與勾股定理的逆定理結(jié)合，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題^［2］.

3 求代數(shù)式的最值

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求與兩根有關(guān)的代數(shù)式的值，也可以求代數(shù)式的最值.當(dāng)一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，根的判別式大于或等于0，可以據(jù)此求得字母的取值范圍，當(dāng)所求代數(shù)式化為含有該字母的代數(shù)式時(shí)，就可以求得它的最值.

例3 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系反映了一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，相應(yīng)的命題被稱為韋達(dá)定理，根據(jù)韋達(dá)定理解決下面問(wèn)題：

4 探討代數(shù)式的值能否為定值

對(duì)于與一元二次方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值能否為定值這類問(wèn)題，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)代數(shù)式的值能為定值，從而建立方程求得字母的值，然后檢驗(yàn)這個(gè)值能否滿足原方程有實(shí)根，使原方程有實(shí)根的值就是符合題意的值.

評(píng)注：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是在方程有實(shí)根的情況下進(jìn)行討論的，所以利用根與系數(shù)關(guān)系得到的字母的值，一定要看這個(gè)值是否在方程有實(shí)根時(shí)求得的字母取值范圍之內(nèi).只有在這個(gè)取值范圍之內(nèi)的值才是符合題意的值.

積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一.以上四種類型有關(guān)根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，有利于學(xué)生明白二者之間的依存關(guān)系，以及如何利用這兩個(gè)工具解答相關(guān)問(wèn)題，也有利于學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］黃細(xì)把.一元二次方程“聯(lián)姻”三角形［J］.今日中學(xué)生，2015（Z6）：25-26.

［2］朱亞邦.勾股定理（逆定理）應(yīng)用的幾種場(chǎng)景［J］.中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2017（3）：16-17.