聚焦幾何直觀 促小學數學思維發展

摘 要：探討聚焦幾何直觀，促進小學數學思維發展.“幾何直觀”可以幫助學生把抽象的問題直觀化、簡單化，架起學生思與行的橋梁.筆者根據教學實踐進行了一些嘗試.首先，強調了利用幾何直觀，可以化繁為簡，發散思維.接著，提出了運用幾何直觀，可以表征題意，擴散思維并例舉幾種方法，包括以“勵”帶“畫”、以“畫”促“全”和以“畫”創“新”.最后，強調了依托幾何直觀，可以探索解題策略，深化思考，為小學生的數學思維發展提供了一些建議.

關鍵詞：幾何直觀；思維發展；小學數學

在小學數學教學過程中，“幾何直觀”不僅是重要的數學思想方法，還是數學素養的重要組成部分.它可以幫助學生把抽象的問題直觀化、簡單化，從而打開思維之門，找到解決問題的思路，架起學生思與行的橋梁.但是在教學中，有部分學生抽象思維能力比較薄弱，對于數學難題缺乏幾何直觀能力，容易陷入解決問題的思維瓶頸.因此，如何幫助學生運用直觀表征理解題意，發展幾何直觀素養呢？筆者根據教學實踐進行了如下嘗試.

1 利用幾何直觀，化繁為簡，發散思維

對于大多數學生來說，“數”無疑是抽象的，知識點之間的概念也一直混淆不清，以至于見到數學問題會出現畏懼、逃避的心理，這時往往需要老師深入理解數學的學科特點，掌握學生自身發展規律，從而找到有效解決問題的方法.在實際教學中為了避免學生對知識點理解不徹底，教師要鼓勵、幫助學生運用幾何直觀使形象逐漸過渡到抽象，理清知識點之間的聯系，讓學生體會到畫圖策略在解題中的重要性.

1.1 以“數”化“形”，探究本源

低學段學生接觸“數”的概念的時間比較多，只憑教師的言傳身教容易導致學生對數學基礎理論知識了解不夠透徹.而“形”具有形象、直觀的優點，有效將情境實物圖抽象成直觀圖，再抽象到數，此過程不僅降低了知識的難度，還加深了學生對“數”的知識的理解.因此，教師可以運用“畫圖”的方法，把“數”對應的“形”表示出來，借助圖形來解決一些實際問題.如一年級下冊有這樣兩題：例1，排隊時，從前面數小紅排第5個，從后面數小紅排第6個，這個隊伍共有多少人？許多學生首先想到的算式是6＋5＝11，但是這樣的計算方法對嗎？文字描述過于抽象，采用“畫圖”的方法解決問題在低年級數學學習過程中便顯得尤為重要.首先，教師需要掌握一年級數學學習特點和學生身心發展規律，鼓勵學生用自己喜歡的圖形分別表示小紅和其他同學，以圖形的形式把這個隊伍畫出來.學生用“畫圖”的方法體會到“從前面數”和“從后面數”，小紅一共被數到兩次，因此在列式計算6＋5時，還需要再減1.有了這樣的體驗后再來練習例2：排隊時，小明前面有5人，小明后面有6人，這個隊伍共有多少人？同樣用“畫圖”的方法，學生一目了然，5＋6＋1＝12（人）.兩道粗看很相似的例題對年齡還小的一年級學生來說確是個難題，但是通過以“數”化“形”的方式，學生就會意識到“畫圖”策略在解決問題過程中的重要性，逐漸增強“畫圖”解題的意識.

1.2 以“形”變“數”，理解含義

小學數學教材有許多種版本，比如人教版、浙教版、蘇教版等，但無論是哪種版本都運用了大量和數學有關的插圖，圖文并茂，體現了小學數學教學數形結合的思想的重要性.雖然畫圖可以將許多抽象的數學概念、算理、數量關系化繁為簡，變得直觀形象，但是對于相比較而言復雜的“形”，更關鍵的是要善于獲取圖形中的重要信息，并與相關知識點產生聯系，挖掘圖形中的隱含條件，以充分利用圖形的性質，把“形”正確表示成“數”的形式，有效提高學生看圖解題水平.例如，蘇教版《義務教育教科書數學五年級下冊》中《解決問題的策略》安排如下練習題：如圖1求涂色部分的面積是整個圖形的幾分之幾？

很多學生會想到把圖形旋轉，得到答案是十六分之九，顯然這樣的方法是錯誤的，從中也反映出這部分學生忽視了其中隱藏的將形變數的思想方法.我們可以這樣幫助學生來理解，具體方法如下.

方法一：利用分割的方法，把涂色部分分成四個直角邊分別為1格和3格的直角三角形和中間一個邊長是2格的正方形，任意兩個涂色三角形可以拼成一個長是3格、寬是1格的長方形，那么四個涂色三角形就可以拼成兩個這樣的長方形，每個長方形占3格，所以涂色部分一共占了3＋3＋4＝10（格），最后得出涂色部分占整個圖形的八分之五.

方法二：可以把求涂色部分的問題轉化成先求空白部分.有四個底是3格、高是1格的空白直角三角形，任意兩個空白三角形可以拼成一個長是3格、寬是1格的長方形.那么四個空白三角形就可以拼成兩個這樣的長方形，每個長方形占3格，也就是空白部分的面積一共占6格，涂色部分就占16－6＝10（格），也就是整個圖形的八分之五.

小學高年級學生對數學知識有了一定的積累，數學解題效率有了一定的提升，但是他們的邏輯思維能力依然不足，對于問題的分析可能在很大程度上依托于自己的想象.對于這種將圖形轉化成數的計算法則，學生很感興趣，會加深對此類知識的進一步理解，達到對知識點的融會貫通，對學生的思維發展起到了很好的效果.

2 運用幾何直觀，表征題意，擴散思維

“畫圖”是學生在解決實際問題過程中一種常用的解題方法，它不僅可以有條理地說明分析數量關系的思考過程，使復雜的問題簡單化，還可以提高學生分析問題和解決問題的能力，使數學課堂的整體教學質量得到提升，讓學生獲取更多學習數學的熱情和勇氣.

2.1 以“勵”帶“畫”，簡化數量關系

學生“畫圖”意識的培養需要老師的鼓勵和引導，這是一個循序漸進的過程，它不像知識點的教授，可以作為一節新授課程單獨教學，而是需要融入在平時的教學實踐中，并結合學習內容有的放矢、系統訓練，讓學生在“畫圖”的實踐體驗中感悟“畫圖”對于解決數學問題的重要性——將抽象的題目信息轉變成直觀、具體的幾何圖象，進而掌握解題方法，自覺運用.

如蘇教版《義務教育教科書數學三年級上冊》中，安排了這樣一道思考題：“小芳比媽媽小27歲，媽媽今年的歲數正好是小芳的4倍.媽媽和小芳今年各多少歲？”這個問題比較抽象，單憑教師直接講解，學生容易一知半解，學生可能只會模仿列式，很難順利解決問題.教師應鼓勵學生借助線段圖表示媽媽的年齡和小芳的年齡，學生根據已知條件“媽媽今年的歲數正好是小芳的4倍”和“小芳比媽媽小27歲”分別畫出如圖2、圖3所示的兩種不同的線段圖.

兩種線段圖，到底哪種方法是正確的呢？兩位同學都說出了自己的想法，也得到班級同學的認可.那么新的問題又來了，同一個問題為什么可以畫出兩種不同的線段圖呢？它們之間存在某種聯系嗎？學生帶著這個問題，又進行了深入的探究，于是又有了新的學生作品（如圖4）并計算出小芳的年齡：27÷（4－1）＝9（歲），媽媽的年齡：4×9＝36（歲）.

通過圖2和圖3的比較發現小芳比媽媽小27歲的這一段長度就是媽媽今年比小芳多的歲數，即是小芳年齡的3倍，把這兩個圖形結合就畫出了圖4.整個過程中，“畫圖”充當了一個有效的媒介，它的應用使原本復雜的問題豐富直觀地呈現給學生，使學生在現有的理解能力上對題目有了充分的認知，幫助學生逐漸建立起邏輯思維能力，在整個過程教師是知識的引領者，學生學得輕松，起到了意想不到的效果.

2.2 以“畫”促“全”，呈現多樣方法

小學數學涉及的知識點不會太難，但多而零碎，看似一道簡單的數學題，如果站在不同的角度去思考，往往會出現幾種不同的答案.一些數學邏輯能力稍弱的學生遇到類似的題目就會變得束手無策，緊張到難以正確解答.這些學生很難通過想象來理解抽象的數學問題，教師就可以指導學生用“畫圖”的方法以“畫”促“全”，培養學生全面思考問題的良好學習習慣，學生在學習過程中會更加順利也更加快樂.比如下面這道題：一間長是18米、寬是12米的雞舍一面靠墻，另外三面扎籬笆，籬笆的長度為多少米？很多學生會想到其中一種方法，或者直接算（18＋12）×2＝60（米），這時候“畫圖”就很有必要.學生在畫圖過程中會發現籬笆的長度會有兩種情況，一種情況是雞舍的長靠墻（如圖5），另一種情況是雞舍的寬靠墻（如圖6），根據這兩種情況可以分別計算出籬笆的長度為：18＋12×2=42（米）或18×2＋12＝48（米）.當文字描述過于抽象的時候，“畫圖”會更有效地解決問題.

3 依托幾何直觀，探索解題策略，深化思考

在解決問題中，借助幾何圖形，可以把復雜的數量關系與空間形式有機結合，幫助學生清晰、簡潔地理清數量間的對應關系.學生在實際“畫圖”過程中體會從不同角度去分析信息、用不同途徑來思考問題的策略方法，促進解題策略的多樣性.例如方陣問題中有這樣一題：在一個正方形的花壇四周擺放花盆，如果每邊都要放4盆，最少需要準備多少盆花？乍一看，這題很簡單，許多學生會列式4×4＝16（盆），因為正方形有4條邊，每邊放4盆，所以就是一共有4個4盆花，顯然這種方法是錯誤.當然，老師也不急于給出判斷，讓學生用畫圖的方法記錄自己的想法，于是就有了如下圖兩種畫圖方法（如圖7、圖8）.

那么到底哪種方法是正確的呢？還是說兩種方法都是正確的？由此，學生展開激烈的討論，最終得出圖8中的方法不對，題目要求“最少需要準備多少盆花”，圖8并不是最少的情況，因為正方形的每個頂點位置放盆花可以兩條邊共用.那么圖7如何計算呢？方法一：先求出4×4＝16（盆），然后再減去4，一共12盆.方法二：正方形4個頂點處先不算，每條邊放2盆花，一共2×4＝8（盆），再加上4個頂點處的4盆，一共12盆.通過畫圖達到“數形結合”的目的，能更利于學生探索解題策略，深化思考.

4 結語

綜上所述，聚焦幾何直觀，可以將問題可視化.在平時教學中，對學生幾何直觀應用能力的培養應滲透在小學數學教學的各個方面.教師應結合學生所學知識的特點，讓學生在動手畫一畫的過程中把原本隱晦的數量關系、規律線索等題干內容清晰地展現出來，幫助學生實現抽象的數學語言與形象的數學圖形之間的相互轉化，最終轉變為學生的核心素養，促進學生的深度學習.

參考文獻

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