借助數線教學，發展核心素養

陳蒨 陸世奇 徐文彬

【摘? ?要】數線即表征數的意義、性質和運算的線，在小學數學教學中有著廣泛的應用。小學數學中，常見的數線除了具有嚴格性和結構性的數軸，還有其他類型。充分運用各種數線展開教學，有助于實現數形結合，促進學生核心素養的培養。具體來說，依托數線認數，可以發展學生的數感；巧借數線運算，可以發展學生的運算能力；活用數線分析，可以發展學生的幾何直觀。

【關鍵詞】數線；核心素養；數感；運算能力；幾何直觀

數線即表征數的意義、性質和運算的線。數線在小學數學教學中有著廣泛的應用。其中，應用最廣泛、最特殊的數線就是數軸。數軸是一條帶有原點、正方向和單位長度的直線，一些研究者也將其稱為結構化數線。［1］除數軸外，“數線家族”還有很多其他成員，如心理數線、空數線、雙數線等。在教學中，教師可以根據不同的問題情境和學習需求呈現不同類型的數線，實現數形結合。

在教學中，以數軸為主，輔以其他類型的數線，可以為學生理解數學知識、發展核心素養提供更多機會。基于此，筆者試探究數線在小學階段的應用，包括在數的認識、數的運算及解決問題等多個維度上的教學實踐，為培養學生的數感、運算能力和幾何直觀等核心素養助力。

一、依托數線認數，發展學生數感

數線是認數的直觀工具，數線可以幫助學生理解數的意義、認識數的順序、厘清數的關系。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，數感主要是指對于數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟，包括能夠理解數的意義、能用數表示物體的個數或事物的順序、能進行合理的估算。［2］依托數線開展認數教學，有助于學生數感的發展。

（一）以數線為主線貫穿認數教學

對小學數學教材進行梳理，不難發現，數線出現在每一個有關認數的教學單元中。以蘇教版小學數學教材為例，數線就出現在了認識10以內的數、認識11～20各數、認識100以內的數、認識萬以內的數、認識多位數，以及認識小數、分數、負數等教學單元。這說明教師要用好數線這一直觀教學工具，以整體性、結構化的思路來設計教學，使學生在每一階段都能循序漸進地理解數的意義、認識數的順序、厘清數的關系。特別是在認識小數、分數及負數時，借助數軸能幫助學生自然理解數系的擴張，逐漸建構自身的數系認知網絡。［3］

例如，蘇教版教材五年級下冊“把假分數化成整數或帶分數”的教學內容中，以數形結合的形式呈現了[43]（如圖1）。教材編排的意圖在于引導學生把假分數化成整數或帶分數，并表示在數線上，從而幫助學生深入理解分數的意義、建立分數與整數的內在關系，實現數系的自然擴張。這種依托數線認識分數的教學方式，有助于學生直觀地理解分數的意義、厘清分數與整數的關系，從而把分數正確納入自身已有的數系結構中。當然，這一教學方式的實施必須基于教師對認數教學整體性和結構性的把握，以及學生長期以來積累的對數線的認知經驗。如果每一次的認數教學都能依托數線來幫助學生建立對數的理解，那么每一次數系的擴張對學生來說就是自然而然、順理成章的了。

值得注意的是，學生在認識數的同時也在學習數線相關的知識，同時形成物理意義和心理意義上的數線。心理數線是個人在腦海中構造的數線，是學生在學習物理數線過程中的一種內化。心理數線的發展，與測量、分類等數學能力的發展似乎是齊頭并進的。［4］這是數感發展的體現，也是數感外顯的表現形式之一，即學生能夠基于心理數線自主建構物理數線。因此，教師可以讓學生運用無界數線（如圖2）和空數線（如圖3）來“造數”。

（二）以數線為支點突破近似數難點

能進行合理的估計、估算也是數感的具體表現之一。用“四舍五入法”取近似數是認數教學的一個難點。以蘇教版教材為例，在四年級下冊“認識多位數”單元“近似數的認識”的教學中，認識大數對學生來說較為困難，用“四舍五入法”求一個數的近似數就更難了。從教材的主題圖（如圖4）可以看出，數線是突破這一難點的有效支架。“近似數的認識”常常面臨教師施教“重法輕理”、學生學習“知其然而不知其所以然”的困境。數線的有效利用能打破這一僵局，使得教師教學“理法并舉”，學生學習“融會貫通”。

解答圖4中的問題，需把男性人數384204和女性人數386685對應的大致位置標在數線上。這涉及兩種學生可能使用的數線估計模型：線性模型與對數模型。線性模型指個體對所有數字的表征具有相等的心理空間距離，相鄰數字之間的距離不會因數量的增加而改變。［5］對數模型則是指，對于某一范圍內的數字，個體傾向于擴大低端數字間的距離而縮小高端數字間的距離。［6］如在0～1000范圍內，個體在心理上會認為1與75的距離比75與1000的距離要大。

在數線上標數的過程，不僅是一個操作過程，也是一個對數及其關系的理解過程，更是對數線的感知過程。學生在標數任務中出錯，原因可能在于運用了錯誤的數線估計策略。開展變式訓練是一種可能的教學手段。教材中呈現的是一種半結構化的數線（在38萬到39萬之間有單位，但未顯示單位長度），其變式既可以增加單位長度，也可以去除單位，從而讓學生在各種數線情境下標數，以呈現他們對數線的理解情況。教師據此引導學生形成恰當的數線估計（標數）策略，可以促進學生對近似數的理解，有助于學生生成對數的估計的感悟，逐步內化對數的大小和近似數的感知，從而發展數感。

二、巧借數線運算，發展學生運算能力

數線有利于發展學生的運算能力。它可以呈現運算過程，讓學生更直觀地感受運算過程。在這個過程中，學生既可以借助數線感知運算間的關聯，也可以借助數線理解運算的意義。

（一）借助數線感知運算間的關聯

對于小學生而言，感知運算之間的關聯是非常困難的。尤其是低年級的學生，他們對運算的理解是孤立的，加法是加法，減法是減法，很難理解加減法之間的關系。借助數線，可以幫助學生直觀感知加法和減法之間的關聯，初步認識減法是加法的逆運算。

例如，浙教版教材一年級上冊在“練一練八”中安排了圖5的練習題，借助數線來幫助一年級學生理解加減法之間的聯系。圖5中的數線具有正方向，箭頭方向與正方向相同是加，箭頭方向與正方向相反則是減。把兩幅圖放在一起理解，能幫助學生直觀感知加減法的相同點和不同點，感悟加減法的本質是相同的，理解減法是加法的逆運算。當然，教師進行教學設計時，必須注意一年級學生的數線經驗，如他們對正方向和單位長度的理解程度。

（二）借助數線理解運算的意義

四則運算的意義是理解算理、探索算法、分析數量關系的基礎，也是四則運算內容的核心［7］，對學生運算能力的發展至關重要。在運算教學中，巧妙借助數線能幫助學生理解運算的意義。

以蘇教版教材為例，二年級上冊“表內乘法（一）”單元“5的乘法口訣”這一內容的“想想做做”中，就出現了用數線表示乘法意義的練習題（如圖6）。乘法的本質意義是幾個相同加數的和（幾個幾相加）的簡便運算，也就是等距連加。像圖6這樣把乘法的意義形象地表示為在數線上連跳，不僅富有童趣，還有助于學生對乘法意義的直觀理解。此處的變式可以采用無界數線（如在數線上僅顯示到10），讓學生繼續補充單位，在理解數線結構的基礎上形成對乘法的理解。

三、活用數線分析，發展學生幾何直觀

數線是一種非常重要的直觀模型，在解決問題中也發揮著重要的作用。數線上的數從小到大排列，形成一段一段的區間。教師充分利用數線的區間性與等分性，可以巧妙地解決許多數學問題。［8］

（一）靈活運用數線表征時間問題

計算經過時間是一個教學難點。靈活運用數線來呈現時間軸，能有效幫助學生突破難點，理解計算經過時間的本質。以蘇教版教材為例，“計算經過時間”這一內容安排在三年級下冊“年、月、日”教學單元，主題圖和時間軸如圖7所示。

從圖7可以看出，用數線表征的時間軸非常形象，能幫助學生直觀把握開始時間、結束時間以及經過時間三者之間的關系，為學生搭建可視化的支架，突破教學難點。同時也能幫助學生建立直觀模型，把抽象的時間問題變得直觀、形象，從而發展學生的幾何直觀。

（二）創新運用數線解決分段問題

分段問題在日常生活中應用廣泛，如電費、水費、出租車收費、停車費等的分段計費。對學生而言，分段問題呈現的信息較多，解決問題的過程比較復雜。借助數線模型能幫助學生直觀理解分段的具體情況，厘清數量間的關系，進而解決問題。

例如，人教版教材五年級上冊“小數乘法”教學單元中的“小數乘法解決問題”就是一個出租車收費的分段問題（如圖8）。學生雖然能理解題意，但由于缺少分段討論的經驗，他們對收費標準并不是很清楚。因此，教師要適時引導學生用數線模型（如圖9）來表征這個復雜的問題，架起數與量之間的橋梁，幫助學生直觀理解分段計費的規則，發展幾何直觀，積累解決復雜問題的經驗。

教師還可以設計變式練習，讓學生為半結構化的雙數線（即兩條數線聯結，如圖10、圖11）補充信息，從而厘清數量關系。

綜上所述，數線是小學數學學習的一個有效載體，在培養學生數感、運算能力、幾何直觀等核心素養方面發揮著舉足輕重的作用。除了數軸，在教學中還可以運用數線家族中其他各種形式的數線，充分發揮數線的價值。

參考文獻：

［1］WONG M. Identifying fractions on a number line［J］. Australian primary mathematics classroom，2013，18（3）：13-18.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：7.

［3］姚建法.數軸：“真是一條神奇的線”［J］.教學月刊·小學版（數學），2019（7/8）：58-60.

［4］ZANG B，ZHANG J，GU R. Chinese preschoolers mental number line and mental number distance：valid characteristics using dirichlet process gaussian mixture model［J］. Early education and development，2019，30（5）：694-707.

［5］CASE R，SOWDER J T. The development of computational estimation：a neo-Piagetian analysis［J］. Cognition and instruction，1990，7（2）：79-104.

［6］DEHAENE S. The number sense：how the mind creates mathematics［M］.New York：Oxford University Press，1997：53-76.

［7］張莎莎.用好數軸資源 發展數學思維［J］.小學數學教育，2020（22）：24-25.

［8］陳險峰.巧借數軸 提升數感［J］.新教師，2017（11）：57-58.

（1.南京師范大學課程與教學研究所

2.江蘇省常州市武進區實驗小學）