基于數學建模核心素養的課堂教學實踐

郭治鑫　黃丹　廖俊宇

摘? 要：以一堂完整的數學建模活動課為載體，在探究“定點投籃命中率”這一實際問題的過程中，培養學生運用數學知識的能力和創新能力，探討提升學生數學建模素養的策略與方法.

關鍵詞：數學建模；核心素養；教學實踐

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中明確指出，普通高中的培養目標是進一步提升學生的綜合素質，著力發展學生的核心素養. 此外，《標準》中還凝練了數學核心素養，明確了學生學習數學課程后應該達成的正確價值觀、必備品格和關鍵能力. 數學建模素養指對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養. 對培養高中生的實踐能力、創新意識和科學精神意義重大. 但數學建模活動在高中數學課堂教學中一直處于一個較為模糊的位置，教師難以引導學生全身心參與其中，教學效果比較差. 如何在數學課堂教學中將數學建模核心素養的培養落到實處，仍然是當前一線教師亟須思考的重要問題. 對此，本文以“定點投籃命中率問題”這個容易激發學生學習興趣的課題為例，探究在《標準》背景下，如何有效激發學生的學習主體性，培養學生的數學建模素養.

一、內容和內容解析

1. 內容

從校內籃球比賽這一實際背景出發，提出問題：定點投籃命中率受哪些因素影響？怎樣提供一個科學的投籃策略？進而引導學生完成分析問題、構建模型和解決問題的數學建模全過程.

建議課時：1課時.

本節課安排在數學建模活動案例教學之后，此時學生對數學建模活動的流程有了一定的了解. 課前，通過導學案，讓學生對“定點投籃命中率問題”這個課題的情境、目標進行一定了解；課中，著重引導學生利用已有數學知識和數學建模理念發現并提出問題，進一步分析問題、構建模型并優化模型，從而解決問題；課后，要求學生整理、完善導學案上的研究報告.

2. 內容解析

人教A版《普通高中教科書·數學》首次出現數學建模專題活動是必修第一冊中，屬于“函數”板塊，位于第四章“指數函數與對數函數”之后. 在此專題活動中，以課題研究為主線，先用一個數學建模實例作為案例，在這個過程中總結數學建模的整個流程，緊接著提供了一些數學建模活動的選題，讓學生根據自己的興趣愛好選擇相應的課題參與并完成，最后給出了研究報告的參考格式.

從整個設計中可以看出，對于數學建模活動，教材編寫者認為要以小組合作的方式展開課題研究，更注重學生的參與和切身體驗，注重培養學生在體驗數學建模活動的過程中從實際情境中發現和提出問題、分析并解決問題，從而有效提升他們的數學建模素養.

二、目標和目標解析

1. 目標

（1）通過將實際問題提煉成數學問題，找出合適的數學模型，總結出數學建模的過程.

（2）根據實際情況檢驗數學模型，完善、優化建模的過程，深化數學建模思想.

（3）經歷數學建模解決實際問題的全過程，從實際生活出發，思考數學建模的意義，體會數學來源于生活又服務于生活的魅力.

2. 目標解析

達成目標（1）的標志：通過觀看視頻及基于現實背景創設與學生息息相關的生活情境等方式引導學生將生活中的實際問題轉化并提出數學問題：定點投籃命中率受哪些因素影響？怎樣提出一個科學的投籃策略？進而以問題串的形式引導學生分析問題，發現問題中的影響因素：籃球直徑、籃筐直徑、定點距籃筐中心的水平距離、籃筐中心的高度、籃球的出手高度、籃球的出手速度和籃球的出手角度等. 通過突出主要因素、忽略次要因素的手段創建合適的數學模型，體會并總結數學建模的過程.

達成目標（2）的標志：數學建模解決實際問題與學生常見的應用題不同. 數學建模并沒有直接給出解決問題的數學模型，同時也難以一步到位找到最適合的數學模型解決問題. 因此，在搭建數學模型后，需要培養學生根據實際情況反思、檢驗模型合理性的能力，并引導其優化模型，從而進一步體會數學建模思想.

達成目標（3）的標志：從校內籃球賽搭建的生活情境出發，經歷提出問題、分析問題、建立模型、求解模型、結果檢驗、優化模型和模型解釋的數學建模全過程，學生能更加深刻地感受數學建模在溝通數學與現實世界中的橋梁作用. 同時，在此過程中培養學生的實踐能力、創新意識和數學建模素養.

三、教學問題診斷分析

本次教學的重、難點之一是引導學生將實際問題轉化為數學問題. 在本節課的學習前，學生已經學完教材必修第一冊的全部內容，掌握了冪函數、指數函數、對數函數和三角函數等知識內容，熟悉了使用函數構建數學模型解決數學問題的基本過程. 同時，物理選科也讓學生對本節課涉及的斜拋運動、運動方程等概念有所了解. 但是，學生對于借助數學模型解決實際問題比較陌生，而將實際問題情境轉化為數學問題又恰好是數學建模活動的先決條件. 對此，在教學過程中，設計使用視頻引入、搭建生活情境等多種形式逐步引導學生將實際問題轉化為數學問題.

本次教學的重、難點之二是模型的選擇與建立. 與應用題不同，數學建模中的數學問題并沒有確定的數學模型，需要學生從已學知識中自主選擇并搭建最合適的數學模型，這對于學生對各種數學模型特點與作用的掌握、知識的串聯與使用、各種因素間的聯想與洞察等能力有較高要求，而高一年級的學生在此方面較為欠缺. 對此，在教學過程中，課前將以導學案的方式給予學生充分的時間進行思考；課中通過問題串、動畫展示、聯系實際等方式逐步引導學生選擇并搭建數學模型.

本次教學的重、難點之三是學生對數學建模活動的一般步驟和方法不熟悉. 雖然在本節課前，已經對學生進行了數學建模活動案例的教學，使其對數學建模活動全流程有了一定的了解. 并通過導學案，幫助學生對“定點投籃命中率問題”這個課題的情境、目標等有了一定的了解. 但由于學生之前較少接觸數學建模活動，故仍然存在建模意識薄弱、建模能力欠缺等問題. 對此，在教學過程中，首先結合學生剛參加過校內籃球比賽的背景，選擇與學生密切相關的選題，充分調動學生參與建模活動的積極性和主動性；其次，采用教師主導、學生參與的形式，著重引導學生體驗從數學建模角度出發的發現并提出問題、分析問題、構建模型等數學建模全過程；最后，要求學生整理、完善導學案上的研究報告，從而消化、理解數學建模活動的一般步驟和方法.

四、教學支持條件分析

本次教學中，環節緊湊，內容較為抽象，故使用PPT對主體內容進行展示，以提高教學效率. 同時，借助GeoGebra軟件繪制關鍵步驟圖象，將抽象內容形象化，輔助學生理解數學建模的關鍵環節.

五、教學過程

1. 視頻引入，激發興趣

在正式上課之前，給學生播放視頻片段：一個不會打籃球的學霸，通過數學公式計算，投籃百發百中.

【設計意圖】以詼諧幽默的視頻暖場. 該視頻中的主人公雖然不會打籃球，但是通過數學計算可以做到投籃百發百中，契合“定點投籃命中率問題”這一課題，能在激發學生興趣的同時引出主旨內容.

2. 聯系生活，創設情境

生活情境：在近期的籃球比賽中，江同學看到其他同學在球場上的颯爽英姿，十分羨慕，暗暗下定決心要在下一次的籃球比賽中一展風采. 但是他的球技很差，定點投籃的命中率也很低. 因此，他首先想到要提升定點投籃命中率. 還好他的數學思維很好，想到將投籃問題數學化，準備分析出影響定點投籃命中率的因素，為自己的投籃訓練提供一個科學的策略. 但是，一個人的力量終究是有限的，為了盡快構建出合適的數學模型，他向我們尋求幫助.

【設計意圖】使用情境引入，創設貼近學生的生活情境，將空洞的數學問題實際化，增強學生的代入感和積極性，促使學生快速進入學習狀態.

3. 提出問題，分析問題

問題1：影響籃球命中率的因素有哪些？

學生可能遇到的困難：認為手感也是影響籃球命中率的因素之一.

破解方法：手感在很大程度上是身高、出手速度等因素綜合作用的結果. 所以手感是多個影響籃球命中率的因素綜合的結果，而不是一個獨立的影響籃球命中率的因素.

【設計意圖】對于一個完整的數學建模活動來說，發現問題和提出問題是活動順利進行的前提，十分重要. 但由于學生是初學者，在此方面的能力較為薄弱，此處將問題在導學案中直接給出，讓學生有充足的時間進行思考和討論. 此問題旨在引出影響定點投籃命中率的主要因素：投籃者身高，籃球的出手速度、出手角度，空氣阻力，定點與籃筐的距離，籃球的大小、質量，等等. 并通過設立假設，忽略次要影響因素，選擇籃球的出手高度、出手速度和出手角度這三個影響定點投籃命中率的主要因素.

問題2：如何在問題1的基礎上建立一個合適的數學模型？并根據這個模型為江同學提供一個科學的投籃策略.

問題2是此次數學建模的關鍵問題，為了方便學生思考討論，在課前將其分解成以下三個問題.

問題2.1：影響因素變化會改變籃球的運動軌跡嗎？

【設計意圖】影響因素會改變運動軌跡是顯然的，此問題的設計目的是引出影響因素與運動軌跡之間存在著某種聯系，這種聯系正是我們想要通過數學模型去刻畫的.

問題2.2：可以用什么函數模型刻畫籃球的運動軌跡？針對所選擇的模型，你們準備收集哪些數據？

預設答案：可以使用一元二次函數進行刻畫，需要收集籃球直徑[d]、籃筐直徑[D]、定點距籃筐中心的水平距離[L]、籃筐中心的高度[H]、籃球的出手高度[h]、籃球的出手速度[v]、籃球的出手角度[α]等數據.

【設計意圖】籃球的運動軌跡符合拋物線特征，學生經過小組討論可以很直接地想到使用一元二次函數去刻畫. 但需要引導學生跳出數學學科，思考在其他學科中是否還有軌跡為拋物線的運動過程，從而得出斜拋運動.

問題2.3：我們可以使用一元二次函數模型將影響定點投籃命中率的因素聯系起來嗎？

【設計意圖】根據前面的問題，發現影響定點投籃命中率的因素和運動軌跡之間存在關聯，而軌跡又可以使用拋物線進行刻畫，這個問題主要是想得出如何將影響定點投籃命中率的因素和籃球命中率聯系起來，即使用[h，v，α]這三個數據刻畫運動軌跡. 也就是說，可以將拋物線方程簡單表示為[fh，v，α=0.]

4. 收集數據，建立模型

【設計意圖】結合實際情況選擇更大出手角度，恰好是數學建模活動與常規應用題等數學問題的不同之處，其主要目的是解決實際問題，故需要考慮問題的現實意義. 讓學生體會數學來源于生活又服務于生活.

7. 課堂小結，布置作業

小結：這節課通過實例讓學生體會了數學建模的整個流程；從生活情境發現問題、提出問題和分析問題，收集數據，進而選擇和求解函數模型. 在求解之后需要進行檢驗、優化模型.

在研究過程中，確定出手高度、出手速度和出手角度三個影響定點投籃命中率的關鍵因素，三個變量增加了研究難度，所以采用控制變量法，先固定部分影響因素，僅研究某一個因素對定點投籃命中率的影響. 這是針對多變量模型的重要研究方法，整個過程體現了函數與方程思想、數學建模思想和數形結合思想.

雖然初步建立的模型不夠貼合實際，但是通過探究讓學生體會了數學建模的過程，讓學生學會了突出主要因素、忽略次要因素、逐步優化模型的建模要領. 這對學生今后的數學建模學習有著重要意義.

作業：整理、完善導學案上的研究報告.

【設計意圖】研究報告的撰寫是數學建模活動的重要內容，有助于學生厘清建模流程，方便保存學生思考討論的痕跡，同時可以作為活動評價的依據.

六、教學反思

本節課的主題是數學建模活動. 章建躍博士認為，數學教育需要做到“四個理解”，即理解數學、理解學生、理解技術、理解教學. 本節課的設計正是基于“四個理解”.

1. 理解數學是提高教學質量的前提

理解數學，即了解數學概念的背景，掌握概念的邏輯意義，理解內容所反映的思想方法等. 落實到本節課就是厘清數學建模的基本概念、流程、環節等. 只有教師弄懂了數學建模，才能引導好學生.

2. 理解學生是課堂成功的重要因素

理解學生，即對學生的知識水平、認知結構，甚至個性差異有充分的了解. 具體到本節課就是課題的選取是與學生息息相關且感興趣的籃球. 對于定點投籃的數學模型，很多教師都發表過類似文章，其中曾文藝早在1994年就對該模型進行了較為詳細的闡釋，本文也正是在此基礎上構建的模型. 但是各位學者討論的定點投籃的數學模型往往考慮得更為全面. 例如，入射角、球筐在球員投球時眼中看到的為橢圓等情況. 但對模型原封不動地生搬硬套，而不去理解學生、適應學生，將加大本節課的教學難度，甚至導致課程的失敗. 因此，在備課之初，筆者對模型進行了刪繁就簡和重新建構，利用的是當前階段學生能理解甚至能上手自行操作的知識點.

3. 理解技術是提升效率的有效手段

理解技術，即在“互聯網+”背景下，教師應該與時俱進，懂得如何有效借助信息技術手段去輔助教學，助力高效課堂. 具體到本節課，就是課前播放與課程內容息息相關的視頻用以提升學生的興趣；利用PPT對教學主體內容進行展示，提高教學效率；借助GeoGebra軟件繪制關鍵步驟圖象并將其動畫展示. 從而使抽象內容形象化，協助學生理解數學建模的關鍵環節.

4. 理解教學是課堂質量的直接保障

理解教學是對數學教學規律和特點的理解. 在教學過程中，基于對課堂教學中載體知識的理解，對教學對象學生的理解，保證教學質量. 針對本節課，就是從引入開始每個環節都精心設計，在保證學生興趣的同時，利用環環相扣的問題串激發學生的主觀能動性，促使學生積極參與到課堂探究之中.

七、思考感悟

當然，在實際教學中也發現了諸如課堂容量大、對學生知識水平要求高、學生小組討論及展示環節較少等缺點. 但經過實踐，也據此總結了基于《標準》提高高中生數學建模素養的幾點思考.

1. 突出學生在數學建模活動中的主體性和參與性

學生是課堂的主體，在數學建模活動中，更是獨一無二的探究者. 數學建模的教學與傳統課堂教學有著根本性的差別. 教師應該找準自己的定位——引導者，負責給學生創設情境、提供資料并給予必要的引導，可積極探索基于情境和問題導向的體驗式、探究式、啟發式、互動式等課堂教學方式，從而讓學生真正動起來，主動去參與數學建模活動. 具體而言，可對問題本身進行必要的簡化，抓住關鍵因素，逐步厘清變量之間的關系，從而建立并完善數學模型；給學生營造課題研究的氛圍，強調小組合作，以團隊為單位參與全過程；培養學生過程記錄的習慣，加強數學論文寫作的教學，幫助學生順利完成研究報告，培養綜合性人才.

2. 重視數學建模活動的過程性評價

數學建模活動重結果但更重過程. 數學建模活動的評價體系與其他數學知識的評價有所不同. 在數學建模活動中能得到一個完善的、符合實際的結果固然值得欣喜，但更為重要的是根據實際情境發現問題、提出問題，從而逐步構建模型的過程. 因此，應該重視數學建模活動的過程性評價. 可采用教師評價占比40%與小組互評占比60%相結合，教師評價可以從提出問題合理性、運用知識正確性、數據的翔實性、建模的創新性、結果的有效性等方面對以小組為單位的課題表現、研究報告進行評價；小組互評主要為小組成員間的互評和給其他小組的匯報打分，并簡單給出理由.

3. 鼓勵數學建模選題多樣化

數學建模活動的選題直接關系活動的順利進行. 一個好的選題可以引起學生的興趣并促使其積極參與其中. 同時，難度適宜的選題可以增強學生學習的自信心，提高學習效率，選題的重要性不言而喻. 針對選題，一方面，可以對教材中給出的情境和問題進行擴展，如“三角函數”章節的摩天輪模型；另一方面，可以根據學生的知識水平和學習生活提煉設計相關的選題，如投籃命中率、測量教學樓高度等. 除此之外，也可以鼓勵學生自己提出選題，培養學生用數學的眼光觀察現實世界，以及根據實際情境發現和提出問題，并運用數學的知識和方法分析和解決問題的能力.

4. 合理使用信息技術輔助教學

數學建模活動應該與時俱進，合理使用信息技術輔助教學. 在數學建模過程中，往往需要測量大量信息或進行較為煩瑣的計算，離開信息技術的支持很難開展下去. 同時，信息技術與教學的融合可以使數學課題變得有聲有色，將難以理解的情境實物化，有效提高課堂教學效率. 信息技術還可以提供交互學習、合作共享的學習環節，充分調動學生的主動性和積極性，從而鍛煉學生的創新能力和實踐能力，有效落實《標準》要求，為新時代培養所需的創新型人才.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建躍. 理解數學是教好數學的前提［J］. 數學通報，2015，54（1）：61-63.

［3］曾文藝. 定點投籃中的數學問題［J］. 數學通報，1994（7）：44-46.

作者簡介：郭治鑫（1995— ），男，中小學一級教師，主要從事高中數學和數學教育研究；

黃丹（1995— ），女，中小學一級教師，主要從事高中數學教育教學及數學競賽研究；

廖俊宇（1987— ），男，中小學一級教師，主要從事數學教育及高考試題研究.