基于“再創造”的數學史與數學課堂教學融合

劉嘉　王秀彩

編者按：為推進中學數學教育教學改革與發展，促進教育工作者理論素養和專業水平的提升，搭建優秀教學交流平臺，在中國教育學會中學數學教學專業委員會的支持下，中國數學教育雜志社舉辦了“2022年度中國數學教育論文評選活動”. 在此次活動中，多篇選題新穎、內涵豐富的文章脫穎而出. 為進一步激發教育工作者的寫作熱情，并對此次活動中的獲獎者表示祝賀，《中國數學教育》雜志將分批次擇優刊登“2022年度中國數學教育論文評選活動”中的獲獎文章. 同時，歡迎各位讀者積極參與“2023年度中國數學教育論文評選活動”.

摘? 要：以“橢圓及其標準方程”一課的教學為例，在弗賴登塔爾“再創造”理論的支持下，進行數學史和數學教學融合的嘗試. 對橢圓概念和橢圓標準方程發生、發展的歷史進程進行改造和重建，包括梳理橢圓概念歷史發展過程中的關鍵環節，從一個環節發展到下一個環節的動因，以及數學家所面臨的困難和障礙. 在此基礎上，結合學情重構相關環節，并調整一些環節的歷史順序，使之適合課堂教學，設計出一系列由易至難的問題串，引導學生逐步完成對知識內容的再創造.

關鍵詞：數學史；數學教學；再創造

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，通過數學概念和思想方法的歷史發生、發展的過程，一方面，可以使學生感受豐富多彩的數學文化，激發學生數學學習的興趣；另一方面，有助于學生對數學概念和思想方法的理解. 但是數學概念和思想方法的歷史發生、發展過程和數學教材的呈現順序往往存在較大的差異. 以橢圓概念的歷史發展過程為例，從數學史上看，橢圓概念的形成大致可以分為三個時期：古希臘時期的截線定義；17世紀的動點軌跡定義；1822年比利時數學家旦德林將截線定義和動點軌跡定義統一. 橢圓概念的歷史發展過程如圖1所示.

在實際教學過程中，教師往往會從17世紀舒騰給出的三種作圖法之一出發：在平面內固定兩點，繃緊一根定長（大于兩固定點之間的距離）的繩子繞兩點旋轉一圈得到橢圓，隨后給出17世紀洛必達對橢圓的定義，利用定義推導橢圓的標準方程，進而引導學生對橢圓的性質展開研究. 但是這種在教學中通常使用的處理方法與橢圓概念發生、發展的歷史并不是完全一致的.

數學教學中類似的例子比比皆是. 這說明：在數學教學中，不應該只是簡單地重現真實的歷史，而應該是對歷史的適當重建，即對數學史素材進行適當“改造”，使之能夠更好地服務于課堂教學目標. 這與數學教育學家弗賴登塔爾提出的“再創造”理論基本吻合.

一、“再創造”理論指導下的數學史和數學教學融合

弗賴登塔爾認為，數學教育必須面向社會現實，必須聯系日常生活實際，注重培養和發展學生從客觀現象中找出數學問題的能力，用“再創造”的方法進行教學. 他還認為，“再創造”應該貫穿數學教育的全過程，教師的任務就是引導學生參與概念、法則、定律等形成的全過程，為學生提供廣闊的天地，聽任不同的思維和方法自由發展，不要對學生的發現設置任何圈套.

由于學生個體學習數學的進程和數學發展的歷史之間存在一些相似之處，所以教師可以創設與相關數學概念、法則、定律等發生、發展過程相似的情境，引導學生經歷這些概念、法則、定律等產生的過程，并引導學生結合自己獨立的學習體驗，完成對概念、法則、定律等的再創造.

正如數學教育學家波利亞所說：我們應該讓兒童重演人類心理演進的重大步驟. 當然，我們不用讓他重復過去一千零一個錯誤，而只是重復“重大步驟”. 由于相關概念、法則和定律發生、發展的歷史并不一定符合學生的思維習慣，因此教師在創設數學史情境引導學生完成對數學教學內容的再創造時，往往需要對歷史素材進行改造和重建. 下面以橢圓概念的再創造為例進行說明.

如前所述，橢圓概念的發生、發展歷史和目前大多數教師常用的教學設計并不太一致. 之所以這樣，是因為盡管從平面截圓錐引入橢圓非常自然，且符合學生的已有認知基礎，但是要從橢圓的截線定義過渡到橢圓的軌跡定義是非常艱難的. 因此，教師放棄了平面截圓錐的引入方式.

但是近年來由于信息技術在教育領域的廣泛使用，使得我們可以借助信息技術突破從橢圓的截線定義過渡到橢圓的軌跡定義的難點，因此教學中也可以考慮基于數學史素材創設情境，引導學生經歷橢圓概念的演變過程，并重復其中的“重大步驟”，完成對橢圓概念的再創造.

1. 創設情境，引入橢圓的截線定義

如圖2，使用學生生活中常見的橢圓形的建筑、傾斜燒杯中的水面橢圓等引入橢圓，這樣符合學生的認知規律. 學生很容易指出這些圖形叫橢圓.

緊接著，教師便可以拋出歷史素材：古希臘數學家阿波羅尼奧斯發現用平面截圓錐可以得到不同的曲線，今天我們將這些曲線統稱為圓錐曲線. 其中，當截面和底面夾角小于母線和底面夾角時，所截得的曲線稱為橢圓（如圖3）.

我們在這里對歷史素材進行了改造. 實際上，在阿波羅尼奧斯之前，古希臘的學者們在研究倍立方問題時被引到了對圓錐曲線的研究上. 例如，歐幾里得在《幾何原本》第6卷中談到了用垂直于母線的平面截銳角圓錐、直角圓錐、鈍角圓錐所得的曲線. 這里我們忽略了這部分歷史，正如波利亞所說，我們只需引導兒童經歷其“重大步驟”.

2. 探究新知，發現橢圓的軌跡定義

由截線定義所得的橢圓和學生已有認知中的橢圓完全相符. 因此，學生接受起來十分自然. 接下來，我們可以借助信息技術引導學生完成從橢圓的截線定義到橢圓的軌跡定義的過渡.

這里，我們需要再次對歷史進行改造和重建. 我們可以將1822年旦德林的工作放到17世紀洛必達的軌跡定義之前，之后再進行作圖驗證，最后得到橢圓的標準方程，如圖4所示.

在數學教學中，像這種對數學概念、法則、定律等發生、發展的歷史順序進行改造重建的例子非常多. 例如，從指數的逆運算引入對數更簡潔，但是歷史上卻是在對數誕生數百年后，才由數學家歐拉指出了指數和對數的關系. 有時候，數學的發展史并不一定符合學生的認知習慣，因此對數學發展的歷史順序進行改造和重建非常必要.

如圖5，大球和小球都和圓錐面相切，平面和大球相切于點[F1，] 與小球相切于點[F2.] 通過度量，學生發現當點[P]在橢圓上運動時，[PF1+PF2]為定值. 之后可以設計探究活動，引導學生思考、論證為何[PF1+][PF2]的值為定值. 事實上，由于[PF1，PN]均為大球的切線，所以[PF1=PN.] 同理，[PF2=PM.] 所以[PF1+][PF2=MN，] 為定值.

通過此探究活動，學生借助信息技術帶來的直觀體驗，實現了對橢圓概念的再創造：橢圓是平面內到兩定點距離之和為定值（大于兩定點間的距離）的點的軌跡.

3. 應用新知，設計橢圓繪圖工具

從歷史上看，17世紀笛卡兒在《幾何學》中對圓錐曲線方程的研究引起了數學家對圓錐曲線作圖方法的探究. 法國數學家舒騰給出了橢圓的三種作圖工具（如圖6），其中圖6（b）就是利用了橢圓上的點到橢圓兩焦點距離之和為常數.

課堂上，教師也可以設計活動，讓學生經歷這個歷史過程，既有助于學生對橢圓概念的理解，又能夠培養學生將數學知識運用到處理實際問題中的能力. 因此，在得到橢圓的定義后，教師可以進一步讓學生設計一種能夠繪制橢圓的工具. 根據探究所得，學生能夠想到在平面內固定兩點，繃緊一根定長的繩子（大于兩定點間的距離）繞兩點旋轉一圈繪制的圖形便是橢圓.

如果學情允許，教師可以進一步提供舒騰的另外兩種繪制橢圓的工具，讓學生運用所學知識得到橢圓的概念，并論述使用這些工具繪制的曲線的確為橢圓.

4. 鞏固新知，推導橢圓標準方程

在學生完成橢圓繪制工具的設計后，教師引導學生經歷橢圓概念發展歷史中的又一“重大步驟”，即橢圓標準方程的建立. 這始于17世紀笛卡兒在其著作《幾何學》中的工作. 同時，對橢圓標準方程的推導往往也是橢圓起始課的一個重要教學目標. 數學史素材的使用，始終是為達成教學目標而服務的.

可以發現，洛必達的方法能避免二次平方帶來的煩瑣運算，使學生體會到對稱的思想，提升他們的數學運算素養.

至此，教師通過對橢圓概念發生、發展的歷史進行改造和重建，使其變成了適合學生課堂探究的素材，并引導學生完成了對橢圓的概念和標準方程的再創造.

二、結論

教師通過對數學史素材進行篩選、改造和重建，利用歷史素材創設適合學生“再創造”的情境，引導學生經歷數學內容發生、發展的歷史過程，有助于增強學生的學習動機，促使學生保持對數學的興趣，解釋數學在社會中的作用及數學與其他學科的關聯. 同時，歷史上數學概念、法則、定律等發展的障礙，有助于學生認識到學習中的困難. 數學家突破這些障礙的事跡，以及在突破障礙過程中運用的思想方法等，有助于學生增強克服困難的勇氣和決心. 通過近距離感受數學大師的風采，使學生更深刻地理解學習的內容.

教師在“再創造”理論指導下進行數學史和數學教學融合的設計，對教師也提出了更高的要求. 教師要了解所講授知識內容的歷史發展過程，能確定歷史發展過程中的關鍵環節，從一個環節發展到下一個環節的動因，以及數學家所面臨的困難和障礙，并在此基礎上，重構這些環節，使之適合課堂教學. 同時，要在此基礎上設計一系列由易至難的問題串，引導學生逐步完成對知識內容的再創造.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］汪曉勤，王苗，鄒佳晨. HPM視角下的數學教學設計：以橢圓為例［J］. 數學教育學報，2011，20（5）：20-23.

［3］鄒佳晨. 橢圓的歷史與教學［D］. 上海：華東師范大學，2010.

基金項目：北京市教育學會“十四五”規劃立項課題——基于核心素養培養的數學史與高中數學課堂教學深度融合研究（CYYB2021-346）.

作者簡介：劉嘉（1983— ），男，中學高級教師，主要從事數學史與數學教學融合研究；

王秀彩（1971— ），男，正高級教師，北京市特級教師，主要從事高中數學大單元主題教學結構化研究.