“平面向量基本定理”深度教學分析與設計

李璐　陳算榮

摘? 要：平面向量基本定理是高中數學重要的定理之一，基于深度學習的理念，在高觀點視角下分析平面向量基本定理，并在問題驅動下引導學生自主探究，導向學生的深度學習，以實現深度教學目標，發展學生的數學核心素養.

關鍵詞：平面向量基本定理；教學設計；深度學習

一、問題提出

題目 （2020年高考數學江蘇卷·13）在[△ABC]中，[AB=4]，[AC=3]，[∠BAC=90°]，點D在邊BC上，延長AD到點P，使得[AP=9]，若[PA=mPB+32-mPC]（m為常數），則CD的長度是? ? ? ? .

此題是填空題的倒數第二題. 解答此題需要學生具備向量的基礎知識，在數形結合思想的指導下借助基本活動經驗抽象出數學模型，在數學運算素養的支持下開展探究. 在該題中，可以建立平面直角坐標系，結合函數與方程思想計算出CD的長度，這是學生容易想到的方法，但是計算量較大. 如果有效利用平面向量基本定理，找出“三點共線”向量表達式的特征，再利用“表示唯一性”這一特點進行計算，便能夠快速得出AP與PD之間的比例關系，從而降低計算量. 在考試中發現問題，在問題中改進教學. 這道試題映射出了在平面向量基本定理這一課時中，教師不僅要重視知識點的講解，還要教會學生如何關聯已有知識進行數學思考，即教方法、教思想，最終指向深度學習. 基于深度學習的數學課堂是提升學生數學核心素養的有效陣地，也是對教知識、教方法、教思想的教學理念的較好詮釋.

深度學習是在學生理解的基礎上解決具有挑戰性的問題和發展高階思維的學習方式. 相對于以教師為主導的傳統教學模式，基于深度學習理念的課堂教學更能彰顯學生的主體性，能有效發展學生的數學核心素養，促進學生對知識本質的理解. 向量是抽象的數學概念，很多學生對于該知識的理解浮于表面，停留在機械計算. 例如，學生能進行向量的坐標運算，但是卻不知道向量為什么能用坐標表示. 平面向量基本定理作為高中數學教材中為數不多的“基本定理”之一，是溝通向量與坐標表示的橋梁，是代數化解決向量問題的理論基礎，對于學生整體掌握向量的知識體系是至關重要的.

通過對“平面向量基本定理”的相關文獻進行分析，發現當前很多教學設計存在以下幾點問題：（1）缺乏對向量共線定理和平面向量基本定理之間聯系的揭示；（2）教學活動及例題和習題的設置比較單一，缺乏對學生思維的深度挖掘；（3）固化“一個定理，三點注意，定理應用”的教學模式，簡化定理的探究過程，忽略定理的本質，使得學生對定理的理解浮于表面，知其然而不知其所以然.

基于以上問題分析，結合深度學習理念，探索深度教學設計. 下文的設計經過多次實踐反思后打磨而成，力求構建具有探究性、理解性和批判性的數學課堂，在高觀點視角下分析平面向量基本定理，在問題驅動下引導學生自主探究，幫助學生理解定理的實質，真正體驗深度學習，感受由平面向量基本定理所體現的數學之美.

二、教學內容分析

1. 教材分析

“平面向量基本定理”是《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）必修課程“幾何與代數”主題“平面向量及其應用”中的內容，要求學生理解平面向量基本定理及其意義，掌握平面向量基本定理的應用. 結合高等數學來看，平面向量基本定理是線性代數中向量線性表示的特殊情況. 結合人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）進行分析，該節課位于教材必修第二冊“平面向量及其應用”一章的第三小節，在內容上起到了承上啟下的作用，既與向量的運算密不可分，又為向量的坐標表示奠定了基礎.

2. 深度教學目標

確立深度教學目標是導向學生深度學習的前提. 根據布魯姆教育目標分類學，機械記憶和淺層理解屬于淺層學習，而應用、分析、評價和創造可以歸為深度學習的范疇，能觸發學生高水平的認知，調動學生的高階思維.

依據《標準》及具體內容的分析，“平面向量基本定理”的教學目標設置如下：（1）能夠用數學語言表述平面向量基本定理，理解平面向量基本定理及其意義（理解層次）；（2）結合平面向量的概念和運算探究平面向量基本定理，分析定理的實質和意義（分析層次）；（3）能應用定理解決相關數學問題，能依據具體問題靈活利用“基底不唯一性”“表示唯一性”等性質（應用層次）；（4）積極參與質疑、思考和交流活動，在探究活動中體會反證法的證明過程，深化數形結合、轉化與化歸的基本思想，體會探究數學定理的基本方法（評價層次）.

教學重點：平面向量基本定理的形成過程，以及平面向量基本定理的應用.

教學難點：平面向量基本定理的探究.

三、教學過程設計

1. 創設問題情境，引發深度思考

問題1：如圖1，在直線l上取向量[OA]，那么直線l上的任一向量可以如何表示？

【設計意圖】根據向量共線定理，可知對于直線上任一向量a，都存在唯一的實數m，使得a[=mOA]. 這實際上揭示了任意非零向量都可以構成一維向量空間的基，進一步引導學生關注任一向量與實數之間的對應關系，引出一維向量的坐標表示. 由此讓學生體會向量共線定理的魅力，建立向量與實數之間的聯系，為引出平面向量基本定理及后續探究活動做鋪墊.

問題2：數學中，人們總是追求用最少的量來表示一類問題. 那么，平面內的任一向量可以如何表示？

【設計意圖】由一維問題類比提出二維問題，引發學生進階思考. 這個問題作為懸念設置，不要求學生立刻作答，而是引出新的課題和研究任務.

承接這一問題，教師提出：在物理矢量的學習中，是否有過將一個矢量用其他兩個矢量表示的經歷？自然引出下面的情境.

2. 巧設物理情境，抽象分解模型

問題3：如圖2，某渡口處，江水以速度v1向東流，小船在靜水中的速度為v2. 若使得小船垂直過江，該如何確定小船的航向？

【設計意圖】該問題從矢量分解出發，促進學生進行知識遷移，讓學生初步體會向量分解的過程. 學生不難得到通過平行四邊形法則可以將一個向量分解成兩個方向不同的分向量，從而表示成兩個分向量代數和的形式.

問題4：問題3的解答的實質是什么？

問題5：根據平行四邊形法則，向量可以分解成多組大小、方向不同的兩個分向量，并表示為分向量的和. 若給定兩個分向量，平面內任一向量可以如何表示呢？

【設計意圖】從問題3到問題4是引導學生透過具體的物理實例看問題的本質，即一個平面向量可以唯一分解到給定的兩個方向上，使學生形成初步感知. 問題5可以幫助學生建立完整認知，即至少需要給定兩個向量才能表示平面內任一向量.

教師進一步提問：給定的兩個向量需要滿足什么條件？

【設計意圖】問題4啟發學生明白平面內任一向量可以用給定的兩個不共線的向量表示，并且在不給定方向的情況下，可以分解到兩個不同的方向上，這個過程體現了學生認知的進階性.

3. 助推知識建構，發展高階思維

探究活動1：如圖3，在同一平面內，如何將給定的向量a用兩個不共線的向量e1，e2線性表示.

【設計意圖】有了前面對平面向量分解的進階認知基礎，創設這一具體的操作活動，幫助學生內化這一認知，得到向量a可以表示成[λ1]e1+[λ2]e2的形式，并且發現這樣的分解是唯一的.

向量a是平面內的給定向量，而平面內的任一向量都可以通過改變向量a的大小和方向獲得. 因此，我們想要探究任一向量的情況，不妨分解成以下兩個探究活動.

探究活動2：不改變向量a的方向，改變向量a的大小，所得到的向量可以由不共線向量e1，e2線性表示嗎？

【設計意圖】分別從數和形的角度著手. 從形的角度分析，可以將所得向量按平行四邊形法則分解；從數的角度分析，所得向量可以表示為ma，若[a=λ1e1+][λ2e2，] 則[ma=mλ1e1+mλ2e2]. 這一活動有助于學生進行知識關聯，構建知識網絡，這也是深度學習的重要體現之一.

探究活動3：如果不改變向量a的大小，只改變向量a的方向，所得到的向量可以由不共線向量e1，e2線性表示嗎？

【設計意圖】探究活動3有助于學生深度體驗無論向量的方向如何改變，都可以按e1，e2的方向分解，從而表示成[λ1e1+λ2e2]的形式，并可以運用信息技術展現動態變化過程.

探究活動4：e1，e2是同一平面內兩個不共線向量，對于平面內任一向量a，能找到幾組[λ1，λ2，] 使得[a=λ1e1+][λ2e2]？

問題6：結合上述探究活動，分別用文字語言和符號語言說一說你得到了什么結論.

【設計意圖】探究活動4從幾何直觀出發引導學生體會向量與實數對之間的關系，并運用反證法證明，促使學生深刻理解“表示唯一性”的含義. 問題6旨在讓學生對所學內容進行抽象概括，有利于化被動接受為主動學習，培養學生的數學抽象素養.

歸納總結：請同學們進一步完善自己的結論. 阿基米德說過，只要給我一個支點，我就能撬起地球. 同一平面內兩個不共線向量就是該平面內所有向量的“支點”，我們將其稱為基底（base），同時將該定理稱為平面向量基本定理.

4. 設計變式練習，深化知識理解

例? 如圖4，在[△ABC]中，點D為AB的中點，[CD=][12AB]，用向量方法證明[△ABC]是直角三角形.

變式1：用[CA]，[CB]表示[CD].

變式2：若[AP=tAB]（t ∈ R），用[CA]，[CB]表示[CP].

【設計意圖】例題的設置有利于促進學生的認知從“知之”到“用之”，實現知識結構與知識應用的統一，避免“惰性學習”，激發“有活力的知識”. 該例題在一個問題模型的基礎上設計變式練習，囊括了用基底表示任一向量和怎樣選擇合適的基底等多個知識點，幫助學生從整體上把握知識，學以致用，深化學生對知識的理解.

5. 融入高觀點思維，引領深度反思

問題7：如圖5，平面向量基本定理與向量共線定理有什么區別和聯系嗎？

【設計意圖】深度教學基于教師對教學內容的深度理解，高觀點下看平面向量基本定理，實際上是向量線性表示在二維空間的特殊情況，揭示該內容背后的本質，對于三維空間乃至n維空間向量的學習都起到了指引作用. 通過思維導圖引導學生感受兩個定理之間的區別與聯系，建立向量與實數之間的聯系，為平面向量的坐標表示的學習做鋪墊，并為空間向量的學習打下基礎.

問題8：這節課你收獲了哪些知識與技能？令你印象最深刻的探究活動是哪一個？你有什么啟示？你還有哪些困惑？

【設計意圖】在課堂小結部分盡量引導學生從知識與技能、過程與方法和情感上分別談一談自己的體會，并引導學生思考平面向量基本定理的價值. 教師在學生反饋的基礎上進一步歸納、提升，將本節課的內容歸納為“一、二、三”（一個定理，兩個數學方法，三個數學思想），即認識了平面向量基本定理，通過類比矢量的分解學習向量的分解，并且初步了解了反證法，在解決問題的過程中用到了數形結合思想，以及轉化與化歸思想. 平面向量基本定理使得平面內所有向量都可以由一個基底唯一表示，體現了數學的簡潔美.

四、結束語

深度教學是促進核心素養在課堂上落地的有效途徑，那么如何在教學中體現“深度”？深度教學要求教師超越機械性、表層性和記憶性的知識講解，挖掘本質性、關聯性和應用性的深度思考，實現知識結構與知識應用的統一，促進基礎知識和基本技能的教學與數學核心素養培育的融合. 深度學習理念應貫穿于教學過程的始終，通過對《標準》、教材及學情的深度分析，建構深度教學目標，在教學活動設計和實施的過程中，緊扣深度教學目標，借助探究活動聚焦學生數學核心素養的培育，創設深層追問推進學生高階思維的發展，以深度教學導向學生的深度學習.

在“平面向量基本定理”的教學設計中，以一維問題引出二維問題，揭示向量坐標表示的本質，總結類似問題的研究路徑，提出富有挑戰性的數學任務. 通過巧設物理情境，引導學生初步感知平面向量的分解，并用探究活動引導學生步步深入，真正體驗定理的生成過程，經歷問題解決的思維過程，從而得到平面內任一向量都可以由一個基底唯一表示的結論. 這個過程促進了學生的深度認知，激發了學生的主觀能動性，從而驅動了學生的深度學習，培育了學生的邏輯推理和直觀想象等素養. 在認識平面向量基本定理之后，用例題進一步深化學生對知識的理解，并以直線、平面、空間為問題軸，用思維導圖的形式啟發學生類比學習，鼓勵學生自主探究，幫助學生形成整體認知.

參考文獻：

［1］朱先東. 指向深度學習的數學整體性教學設計［J］. 數學教育學報，2019，28（5）：33-36.

［2］章建躍. 利用幾何圖形建立直觀? 通過代數運算刻畫規律：“平面向量及其應用”內容分析與教學思考［J］. 數學通報，2020，59（12）：4-13，29.

［3］謝發超. 導向深度學習的數學教學目標設計：以“函數的單調性”為例［J］. 中小學教師培訓，2019（1）：41-45.

基金項目：揚州大學2021年度研究生教育教學改革與實踐課題——新情境下教育碩士實踐創新能力提升行動研究（JGLX2021_008）.

作者簡介：李璐（1999— ），女，碩士研究生，主要從事數學教育研究；

陳算榮（1972— ），女，副教授，博士，主要從事數學教育、課程與教學、教師教育研究，系本文通訊作者.