探尋作圖本質　明晰作法之理

萬濤

[摘? 要] 尺規(guī)作圖是考查學生動手實踐的數學思維能力和運用數學知識解決問題的能力，試題主要考查學生明晰尺規(guī)作圖的作圖原理.這給我們的教學啟示是在課堂教學時可以對同一道尺規(guī)作圖題進行深刻的剖析，不斷優(yōu)化作圖的方法，增強學生與數學知識之間的關聯，訓練學生思維的發(fā)散性，提升學生的數學核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 尺規(guī)作圖;作圖原理;發(fā)散思維

尺規(guī)作圖是在學生已有的認知基礎上和所具備的基本活動經驗的前提下，考查學生動手實踐的數學思維能力和運用數學知識解決問題的能力. 這種考查能使學生明晰尺規(guī)作圖的原理，構建數學知識之間的聯系，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維[1]. 下面針對2021年南京市中考數學試題第25題，和大家一起探討這道題的作圖原理，同時思考教師如何在課標的引領下，提升學生尺規(guī)作圖的能力，使得學生學會分析問題，明晰作圖原理.

試題呈現

如圖1，已知P是☉O外一點，用兩種不同的方法過點P作☉O的一條切線. 要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖;（2）保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明.

試題分析

這是一道尺規(guī)作圖題，要求學生只用直尺和圓規(guī)，過點P作☉O的一條切線. 要確定切線，根據兩點確定一條直線，已知點P，關鍵在☉O上找一個點（即點B），使得滿足直線PB與☉O相切.

本題簡潔明了，但立意較高，學生感覺困難的主要原因是不理解尺規(guī)作圖的原理，找不到目標圖形，在有限的時間內，部分學生難以形成正確的思路，該如何突破尺規(guī)作圖的思維屏障，該怎么想？方法是什么？要解決尺規(guī)作圖這類問題，首先要想象出符合要求的圖形，在此基礎上展開幾何逆向推理，進行有關聯想，獲得目標圖形，然后利用基本的尺規(guī)作圖，作出目標圖形.

作法探尋

1. 作圖原理——直徑所對的圓周角是直角

首先需要畫出符合要求的圖形，進行可能的幾何構圖. 如圖2，假設過點P已經畫出PB是☉O的切線，根據切線的性質，我們能得到PB⊥OB. △PBO是Rt△，并且點P和點O確定，現在要確定點B，點B是直角頂點，學生會想到什么？很自然地，學生會聯想到直徑所對的圓周角是直角，這個目標圖形就是直徑PO所對的圓周角.

作法：如圖3，作PO的垂直平分線，找到PO的中點A，然后以A為圓心，AP或AO為半徑作☉A，交☉O于點B，則直線PB就是☉O的切線.

2. 作圖原理——同弧所對的圓周角相等

如圖4，假設過點P已經畫出PB是☉O的切線，根據切線的性質，得到PB⊥OB，△PBO是Rt△. 如果我們根據同弧所對的圓周角相等，構造一個△PCO，使PC⊥OC，這樣只要作Rt△PCO的外接圓☉A，☉A與☉O的交點為點B，則∠PBO=∠PCO=90°，又因為PB經過☉O的外端點B，所以PB是☉O的切線，目標圖形就是直角∠PCO.

作法：如圖5，作射線PE，過直線外一點O作OC⊥PE，垂足為C，作△PCO的外接圓，交☉O與點B，作直線PB，則直線PB就是☉O的切線.

3. 作圖原理——一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形

除了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等外，還能如何判斷△PBO是Rt△呢？學生會聯想到在一個三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形也是直角三角形，目標圖形就是中線BC（滿足BC=1/2PO）.

如圖6，學生只需要找到PO的中點C，然后以C為圓心，CO為半徑畫弧，交☉O于點B，則直線PB就是☉O的切線.

作法：如圖7，作PO的垂直平分線，找到PO的中點C，或者為了和作法1不同，也可以在☉O上任選一點A，連接OA，PA. 作OA的垂直平分線，找到OA的中點D，作∠OAP=∠ODC. 交PO于點C，以C為圓心，CO為半徑畫弧，交☉O于點D，則直線PB就是☉O的切線.

4. 作圖原理——全等三角形對應角相等

由于確定點B存在困難， 不妨先構造一個與其全等的Rt△DAO，使得半徑OA=OB，OD=OP，DA=PB. 由于∠DAO為90°，所以∠PBO為90°，又因為PB經過點B，所以，直線PB就是☉O的切線. 所以目標圖形就是Rt△DAO.

作法：如圖8，在圓上任意選一個點A（不與點B重合），連接OA，過點A作OA的垂線AC，以點O為圓心，OP為半徑畫弧，交直線AC與點D，連接OD，得到Rt△DAO，顯然直線DA是☉O的切線，以P為圓心，DA為半徑畫弧，交☉O于點B，則直線PB就是☉O的切線.

5. 作圖原理——等腰三角形三線合一

由于切線垂直過切點的半徑，不妨構造目標圖形——等腰△POC. 根據等腰三角形三線合一，能得到直線PB是☉O的切線，所以目標圖形就是等腰△POC.

作法：如圖9，在圓上任意取一點A，延長OA并截取，使得OA=AD，以O為圓心，OD為半徑畫大圓O，再以點P為圓心，OP為半徑畫弧，交大圓O于點C，連接OC，OP，PC，則得到目標圖形——等腰△POC. 因為OC與小圓O交于點B，則OB=BC，連接PB，根據等腰三角形的三線合一，得到直線PB是☉O的切線.

6. 作圖原理——射影定理和切割線定理

如圖10，畫好切線PB，割線PA交☉O于點D，根據切割線定理，得到PB2=PD·PA，聯想到母子三角形相似時，根據射影定理，得到PE2=PD·PA，那么PB=PE，要想作出切線PB，只要得到PE即可，所以目標圖形就是線段PE.

作法：如圖11，連接PO，并延長，交☉O于點D和點A，作PA的中點C，以點C為圓心，CP為半徑畫半圓，過點D作DE⊥PA，交半圓于點E，連接PE和AE. 這樣根據射影定理，得PE2=PD·PA，然后，以點P為圓心，PE為半徑畫弧，交☉O于點B，連接PB，則直線PB是☉O的切線.3B07C8FC-B918-4C58-BC2A-B1B86894886D

教學啟示

1. 關注課程標準，培養(yǎng)作圖能力[2]

課標要求：（1）能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段;作一個角等于已知角;作一個角的角平分線;作一條線段的垂直平分線;過一點作已知直線的垂線. （2）會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形. （3）會利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓，作三角形的外接圓、內切圓;作圓的內接正方形和正六邊形. （4）在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.

由于教材中沒有把尺規(guī)作圖作為獨立的一章來歸納和總結，只是把與尺規(guī)作圖有關的知識零星分布在不同的章節(jié)，導致一些教師教學時對尺規(guī)作圖不太關注. 遇到尺規(guī)作圖的問題，把其當成技能來訓練，忽略對其背后的作圖本質和作圖的原理的思考. 在日常教學中，因為平時作業(yè)中很少尺規(guī)作圖，平時考試也幾乎不考作圖，導致部分教師沒有把尺規(guī)作圖放在一個重要的位置，忽視了尺規(guī)作圖的重要性，使得學生對尺規(guī)作圖題不會分析，找不到作圖的本質，不明白作圖的原理，缺乏系統的認識. 因此，筆者借這次南京市中考數學尺規(guī)作圖題，引導教師關注課標，重視尺規(guī)作圖，培養(yǎng)學生尺規(guī)作圖的能力.

2. 深入分析條件，探尋作圖本質

尺規(guī)作圖需要學生先分析條件，這道題 “已知什么，要作什么”，然后再思考該怎么作？已知圓外一點P和☉O，要過點P作☉O的切線. 下面該怎么作呢？在☉O上找點B，使得直線PB是☉O的切線. 怎么找點B，進行可能的幾何構圖，在構圖直觀的基礎上展開幾何逆向推理，并作出判斷，獲得目標圖形，作出目標圖形.

在平時的教學中，應引導學生以分析條件為重點，要求學生對題中的條件要逐個地去思考，依據定義、公理或定理等，把已知條件進行一步步推理，得出新的結論，由果索因，延伸出盡可能多的結論，貫通條件和結論的“橋梁”. 同時分析問題的過程中也不要忽視題中的隱含條件，比如本題中☉O的半徑和OP的長是已知的. 這道尺規(guī)作圖題，找到目標圖形是直角三角形后，學生接著就要思考，如何才能確定直角頂點，如何作出目標圖形，學生自然會和數學知識建立關聯，想到直徑所對的圓周角是直角，如果一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形，等腰三角形的三線合一等，這些就是學生需要探尋的作圖原理.

3. 經歷作圖過程，明晰作法之理

教師在日常教學中，應該讓學生經歷完整的尺規(guī)作圖的思考過程，不僅要求學生會尺規(guī)作圖，還要求學生明白尺規(guī)作圖的道理. 筆者曾經問過一個九年級的學生，作一個三角形的外接圓該怎么作？這個學生不假思索地告訴筆者：“作這個三角形兩條邊的垂直平分線，其交點就是圓心，這個交點與其中一個頂點的連線就是半徑. ”筆者接著追問：“為什么要作垂直平分線呢？”他的回答出乎筆者的意料，他說：“老師就是這樣教的. ”可見，學生并不清楚這樣作圖的道理，作一個三角形的外接圓為什么要作這個三角形兩條邊的垂直平分線，其實作三角形的外接圓是根據到線段兩端的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，這才是“作法之理”.

在平時的教學中，教師要關注學生這種尺規(guī)作圖的方法是“怎么想到的”，要對學生適時進行引導，讓學生親自去分析條件，去體驗，去動手操作，去經歷探索作法的過程，明晰作圖的道理. 學生只有親歷這個過程，才能對尺規(guī)作圖問題積累更加豐富的作圖經驗.

4. 發(fā)散學生思維，領悟多種作法[3]

根據五種基本的尺規(guī)作圖，能產生很多綜合性的方法，這個探究的過程就是學生數學思維的發(fā)散. 本題要求用兩種不同的方法作圖，并對每一種方法給出文字說明，在學生知法明理的基礎上，融入邏輯推理，讓學生在動手、動腦、動口中發(fā)散數學思維.

在教學過程中，教師要引領學生從不同的方向和角度去深入探究，找到此題尺規(guī)作圖問題的不同作法，領悟到數學的魅力和樂趣. 只有學生認真去研究一個問題，深入地思考下去，主動去分析，才能逐漸領悟出其中的道理. 同時對一道尺規(guī)作圖題進行深刻的剖析，可以優(yōu)化作圖的方法，訓練學生思維的發(fā)散性，建立與該幾何知識點相關的知識鏈，使得學生對幾何的學習形成一個系統的結構，提升學生的數學核心素養(yǎng).

在平時的課堂教學中，教師要不斷優(yōu)化自己的教學設計，多從學生的角度去考慮，對尺規(guī)作圖的教學課可以設計一些開放性問題，以解放學生的思維，促進學生思維的發(fā)展. 問題的設計，需讓學生先獨立思考，然后互相交流，這樣學生能積極投入思考中，通過變換不同的思維方式，明晰作圖之理，學會尺規(guī)作圖. 同時，問題的設計也能發(fā)散學生的數學思維，激發(fā)學生的創(chuàng)新意識，促使學生領悟多種作法.

參考文獻：

[1]顧香才. 歸納來“推斷”，演繹去“驗證”——在“尺規(guī)作圖”教學中領悟波利亞的解題思想[J]. 中學數學，2021（04）：21-22+25.

[2]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]肖世兵. 近三年中考“ 尺規(guī)作圖”命題分析、感悟及實踐[J]. 中學數學雜志，2020（06）：60-62.3B07C8FC-B918-4C58-BC2A-B1B86894886D