例談探究式教學法在初中數學教學中的應用

王麗

[摘? 要] 探究式教學法能有效地培養學生的發散思維，促進學生創新意識與能力的形成，為學生數學思想與科學素養的形成奠定基礎.研究者以“全等三角形”的教學為例，提出“SAS”的全等三角形拓展問題“SSA”，并以此作為開展探究式教學的主題，分別從作圖——感知不同情形，探索——找出全等條件，應用——解決實際問題三方面展開闡述.

[關鍵詞] 探究式教學;數學教學;全等三角形

隨著新課改的推進，廣大教育工作者開始重視探究式教學法的應用.調查發現，教師雖然在思想上重視這種教學方法，但在實際應用時卻比較生疏，有時因掌握不好給學生的思考時間，而導致探究的失敗.

實踐證明，想要科學、合理地在初中數學教學中開展探究式教學，首先必須了解學情，根據學生的實際認知情況開展示范性的教學，引導學生掌握相應的學習策略與方法，獲得主動探究的能力[1]. 本文以“SAS”的全等三角形拓展教學為例，具體談談如何在課堂教學中靈活應用探究式教學法來拓展學生的思維.

提出問題

學完“探索三角形全等的條件”這一章節后，學生已經掌握了兩個三角形全等的判定方法，在對于“SAS”的判定方法中，遇到對應相等的角不是兩等邊夾角（SSA）的情況，該如何判定這兩個三角形是否全等的問題產生了思考. 通常情況下，教師會應用反例法來證明這個結論成立與否. 但是，學生常渴望從更深層次去理解“SSA”. 為此，筆者以探索“SSA判定兩個三角形全等的條件”展開教學設計與探究.

教學目標

1. 作圖，感知兩個三角形滿足“SSA”條件的不同情形.

2. 探究用“SSA”法判定兩三角形為全等關系的條件過程，形成良好的分類思想.

教學設計與意圖分析

（一）作圖——感知不同情形

問題1：通過之前的學習，我們都知道用“SAS”來判定兩個三角形全等，其中“A”的位置必須位于兩個“S”的中間，也就是兩條邊的夾角. 當“A”的位置不是兩條對應邊的夾角時，也就是在“SSA”的情況下，不一定能證明這兩個三角形是全等關系. 現在我們就探討兩個三角形在“SSA”的情況下，滿足什么條件可證得它們是全等的？若此“A”為直角，是否可證得這兩個三角形全等？為什么？（學生回顧舊知）

問題2：按照以下條件作一個△ABC：AB=4 cm，AC=3 cm，∠B=40°. 觀察自己所作的三角形與其他學生所作的三角形是否一樣. （先作圖，后交流）

問題3：作一個△ABC，條件為：AB=2 cm，AC=4 cm，∠B=120°. 觀察自己所作的三角形與其他學生所作的三角形是否一樣. （先作圖，后交流）

問題4：通過以上兩次作圖的觀察與交流，你們發現所作三角形在滿足“SSA”條件時，會出現哪些不同的情形呢？（交流）

設計意圖? 學生從自身已有的經驗出發（“HL”全等），在作圖后對比、交流中基本獲得滿足“SSA”條件的兩三角形存在哪些不同情形. 學生的思維經歷了從特殊到一般的過程，獲得了相應的分析問題的方法與分類討論思想.

問題1的提出是建立在學生對“HL”是“SSA”的特例基礎上，讓學生由∠B的特殊情況（直角）向一般情況（銳角或鈍角）拓展，使得學生將研究“SSA”的問題轉化為分類研究∠B的情況.

問題2、3，學生通過自主作圖，不僅掌握了如何利用圓規作出滿足相關條件的三角形，還在對圖形的對比和交流中獲得了以下結論：若∠B為銳角，能畫出不一樣的三角形;若∠B為鈍角，所畫出來的三角形都是一樣的（全等）. 教師在引導過程中，針對問題2，可讓學生將不全等的三角形按照順序重疊在一起，以感知兩個三角形滿足“SSA”條件，是不全等關系的反例.

問題4的提出是讓學生感知若∠B為直角或鈍角時，滿足“SSA”條件的兩個三角形是全等的關系. 并根據以上幾問總結出：當∠B為銳角時，滿足“SSA”條件的兩個三角形不一定全等，因此用“SSA”的條件來判斷兩個三角形全等具有不確定性.

（二）探索——找出全等條件

問題5：如圖1，△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，且∠B=∠B′（大于90°），求證：△ABC≌△A′B′C′. （先做題，后交流）

問題6：△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，且∠B=∠B′（小于90°），判斷△ABC與△A′B′C′是否全等？（獨立思考做題）

問題7：△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′（小于90°），AB

問題8：△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′（小于90°），AB>AC，判斷△ABC與△A′B′C′是否全等？（思考、做題后交流）

問題9：結合以上集體的解題過程，思考△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′（小于90°），在什么情況下可以判斷△ABC與△A′B′C′是全等的關系？什么情況下這兩個三角形是不全等的關系？

教師以幾何畫板來演示圖形的變化過程，讓學生在直觀中感知圖形之間的關系，在獨立思考的基礎上再進行分組討論.

設計意圖? 在此探索環節，首先引導學生對∠B=∠B′（大于90°）的情形進行分析，再著重分析∠B為銳角時的情況，讓學生經歷從特殊到一般的數學分類思想的應用與研究，從而歸納總結出多種類別中所存在的共性條件，獲得本題研究問題的結論，即滿足“SSA”條件的兩個三角形是全等關系的情況.

問題5，分別過點A與A′作AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，點D，D′分別為兩個垂足. 如圖2，通過△ABD≌A′B′D′（用“AAS”法）可證得AD=A′D′. 再通過HL法證得△ACD≌A′C′D′，由此可推導出∠C=∠C′，據此可證明△ABC≌△A′B′C′. 此過程是對學生猜想的論證，符合幾何應遵循的周密性原則.AB35040E-6393-4E15-8594-3F54D756C8B4

問題6是基于對第一個教學環節所獲得的猜想的論證，即∠B為銳角的情況下，兩個三角形不一定是全等關系. 根據從特殊到一般的情況分析，將條件中提到的AB=AC的條件逐漸轉化為ABAC）的情況，并加以分析. 顯然，如圖3所示，在AB=AC的情況下，△ABC≌△A′B′C′.

探索過程中，學生發現可將點C視為∠B的一邊（頂點B除外）和☉A（圓心為點A，半徑為AB的圓）的交點，由此可看出點C具有唯一性，也就是說以此畫出的三角形是唯一的. 因此，我們可以判斷，滿足問題2這個條件的兩個三角形為全等的關系，也就是將三角形全等的問題轉變成☉A與射線BC（點B不含）所獲得的公共點的個數問題的探索.

問題7和8的探討，如圖4，①在AB

如圖5，問題9以幾何畫板來演示前幾個問題的作圖流程，讓學生在直觀中看到∠B的變化情況與線段AB，AC的長度，深化學生對問題2、3、4的理解. 最后將∠B逐漸轉化成特殊的直角或鈍角來分析，學生通過畫圖與理解，不但自主地獲得了分類條件，還總結出以下結論：在△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，當AB≤AC或AC=AB·sinB時，△ABC≌△A′B′C′.

（三）應用——解決實際問題

問題10：如圖6，已知點P為∠AOB角平分線上的一點，且點C，D分別位于OA，OB的邊上，CP=DP，請從圖中找出等于∠PCA的角，并說明理由.

問題11：如圖7，四邊形ABCD為☉O的內接四邊形，已知AB=3，AD=5，∠BAD=60°，弧BD的中點恰巧為點C，求AC的長度.

設計意圖? 讓學生將所學知識靈活地應用到實際解題中，并在解題過程中感知數學的轉化思想. 問題11需先構造直角三角形，然后以“HL”論證，強化學生解決“SSA”類問題的能力，達到融會貫通的目的.

教學思考

（一）關注教學內容的深度探究

新課標提出：教學中，教師應挖掘教學內容中與發展學生各項能力相關的教學價值[2]. 本節課，筆者是基于學生在課堂中遇到的問題所展開的教學活動，在教師的引導下，學生對“SSA”這個內容展開了深度探究.

探究中，基于學生原有的認知經驗，教師利用一切手段拓展學生的視野. 在問題串的引領下，學生對教學內容逐步分析、思考，并及時與同伴交流解決問題的辦法等. 這為學生獲得分析問題的經驗與能力，開闊視野、提升思維，形成良好的數學核心素養奠定了堅實的基礎.

（二）注重批判性思維的培養

批判性思維是一種重要的思維品質，是創新意識形成與發展的前提[3]. 華羅庚曾經說過：我們要學習前輩的經驗，但不要拘泥于這種經驗中，我們完全有理由懷疑前人的成果. 本節課，對于兩個三角形滿足“SSA”的條件，不少學生從幾何直觀的角度來看，常會誤認為兩個三角形一定是全等的關系.

隨著本節課的探究，成功地推翻了學生的這種認知，讓學生清楚地明白“SSA”的條件并不能作為判斷兩三角形全等的依據.

總之，探究式教學是新課標所倡導的基本教學方式之一. 作為教師，應立足于課堂，采取問題引領的教學手段，引導學生積極探索問題，以形成良好的數學思想與思維品質，為數學核心素養的形成奠定基礎.

參考文獻：

[1]涂榮豹. 數學教學認識論[M]. 南京：南京師范大學出版社，2003.

[2]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]布魯納. 教學過程[M]. 上海：上海人民出版社，1973.AB35040E-6393-4E15-8594-3F54D756C8B4