類比思想引路，數(shù)學(xué)軟件輔助

李習(xí)凡 朱勝?gòu)?qiáng)

摘要：“球的表面積和體積公式”的教學(xué)通常采用直接告知結(jié)論（至少是直接提示方法）的方式。實(shí)際上，這一內(nèi)容的教學(xué)能夠采用引導(dǎo)探究結(jié)論（推導(dǎo)公式）的方式：引導(dǎo)學(xué)生基于類比思想，根據(jù)推導(dǎo)圓的周長(zhǎng)公式的方法，想到“水平等角或等距切割成若干層‘小圓片，近似看作圓臺(tái)或圓柱求側(cè)面積或體積和，再考察極限逼近準(zhǔn)確值”的方法;運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件，處理推導(dǎo)過(guò)程中具體而復(fù)雜的計(jì)算。

關(guān)鍵詞：類比思想;數(shù)學(xué)軟件;探究教學(xué);球的表面和體積公式

“球的表面積和體積公式”是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容。這一內(nèi)容在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中的學(xué)習(xí)要求是：“知道球的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。”它從屬于“幾何與代數(shù)”主線，并處于這一主線中知識(shí)邏輯鏈條的末端，不會(huì)對(duì)其他內(nèi)容產(chǎn)生明顯的影響。因此，從高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容選擇的基礎(chǔ)性（發(fā)展性）原則來(lái)看，這一內(nèi)容的教學(xué)通常不受重視。

就學(xué)生推導(dǎo)球的表面積和體積公式而言，雖類比推導(dǎo)圓的面積公式的方法，采用“指向球心分割成若干個(gè)‘小錐體，近似看作棱錐求體積和，再考察極限逼近準(zhǔn)確值”的方法，不難建立球的表面積和體積的關(guān)系，由此實(shí)現(xiàn)球的表面積和體積公式的互推，但是在球的表面積和體積公式都不知道的情況下，想到合適的方法推出其中任何一個(gè)都比較困難。因此，從高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容選擇的可行性原則來(lái)看，這一內(nèi)容的教學(xué)通常采用直接告知結(jié)論（至少是直接提示方法）的方式。例如，人教A版高中數(shù)學(xué)新教材[依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》編寫]先直接給出球的表面積公式，再基于球的表面積公式推出球的體積公式;蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材先直接提示倒沙實(shí)驗(yàn)和祖暅原理，給出“一個(gè)底面半徑和高都等于R的圓柱挖去一個(gè)以上底面為底面、下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后所得幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的半球的體積相等”的結(jié)論，得到球的體積公式，再基于球的體積公式推出球的表面積公式（這樣做改變了兩個(gè)公式的學(xué)習(xí)順序）。

我們知道，直接告知結(jié)論的方式，實(shí)際上不利于學(xué)生厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈，感悟其中的數(shù)學(xué)思想，從而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，新課改提倡引導(dǎo)探究結(jié)論的方式。那么，這一內(nèi)容的教學(xué)能夠采用引導(dǎo)探究結(jié)論（推導(dǎo)公式）的方式嗎？學(xué)生會(huì)遇到什么困難？如何才能在方法上想到？又如何才能在技術(shù)上做到？

一、教學(xué)思路分析

數(shù)學(xué)探究需要基于已有知識(shí)，利用一些具有概括性和普遍性的數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)其實(shí)就是最上位的一些數(shù)學(xué)思想方法）作為指引，通過(guò)一些具體的數(shù)學(xué)技術(shù)手段（本質(zhì)上也屬于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略）來(lái)實(shí)現(xiàn)。

采用倒沙實(shí)驗(yàn)或依據(jù)祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式，其關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)（猜想）與半球體積相等的幾何體，而學(xué)生幾乎不可能憑空發(fā)現(xiàn)這樣的幾何體（蘇教版教材只能直接給出這樣的幾何體）。因此，這樣實(shí)際上只能讓學(xué)生驗(yàn)證球的體積公式，不能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)球的體積公式。此外，作為“思想方法”，倒沙實(shí)驗(yàn)與祖暅原理也缺少一般性，不符合學(xué)生的已有基礎(chǔ)和發(fā)展需要。

那么，如何讓學(xué)生想到推導(dǎo)球的表面積或體積公式的方法？我們知道，立體幾何問題通常是平面幾何問題的升級(jí)，可以與平面幾何問題進(jìn)行類比，而類比是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想方法。因此，可以讓學(xué)生從圓到球進(jìn)行類比遷移，根據(jù)推導(dǎo)圓的周長(zhǎng)或面積公式的方法，探究推導(dǎo)球的表面積或體積公式的方法。

顯然，如前所述，根據(jù)推導(dǎo)圓的面積公式的方法，探究推導(dǎo)球的體積公式的方法，只能得到球的表面積和體積的關(guān)系。因此，先要讓學(xué)生根據(jù)推導(dǎo)圓的周長(zhǎng)公式的方法，探究推導(dǎo)球的表面積公式的方法。

不過(guò)，學(xué)生在小學(xué)是通過(guò)具體測(cè)量歸納的方法得到圓的周長(zhǎng)公式的，并沒有通過(guò)一般公式演繹的方法推導(dǎo)。而在高中推導(dǎo)球的表面積公式，一是無(wú)法具體測(cè)量歸納（因?yàn)榍蛎鏌o(wú)法變成平面），二是需要一般公式演繹（這樣才更理性、更可信，更有“數(shù)學(xué)味”）。對(duì)此，可以介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽曾經(jīng)采用的計(jì)算演繹的方法，即“割圓術(shù)”（這也是一種數(shù)學(xué)文化的滲透）。由此，可以引導(dǎo)學(xué)生采用“水平等角或等距分割成若干層‘小圓片，近似看作圓臺(tái)或圓柱求側(cè)面積和，再考察極限逼近準(zhǔn)確值”的方法推導(dǎo)球的表面積公式。其實(shí)，作為“思想方法”，這種方法體現(xiàn)了“分割、求和、逼近”（即“以直代曲，無(wú)限逼近”）的微積分思想，更具有一般性，也更符合學(xué)生的已有基礎(chǔ)和發(fā)展需要：在小學(xué)推導(dǎo)圓的面積公式時(shí)使用過(guò)，后續(xù)學(xué)習(xí)定積分時(shí)又會(huì)接觸到。

但是，采用上述方法推導(dǎo)球的表面積公式時(shí)，學(xué)生會(huì)遇到表示圓臺(tái)或圓柱的側(cè)面積，尤其是求和時(shí)技術(shù)上的一些障礙，導(dǎo)致很難完成推導(dǎo)過(guò)程（這可能是人教版教材干脆直接給出球的表面積公式的重要原因）。對(duì)此，可以利用一些數(shù)學(xué)軟件強(qiáng)大的計(jì)算功能，幫助學(xué)生處理推導(dǎo)過(guò)程中具體而復(fù)雜的計(jì)算（我們身處信息技術(shù)的時(shí)代，信息技術(shù)的應(yīng)用無(wú)處不在）。由此，學(xué)生也可以大膽設(shè)參數(shù)、列式子，并重點(diǎn)體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的過(guò)程，獲得思想方法的感悟;同時(shí)，感受信息技術(shù)的神奇，認(rèn)識(shí)信息技術(shù)的價(jià)值（讓數(shù)學(xué)探究“柳暗花明”），提升應(yīng)用信息技術(shù)的意識(shí)與能力，發(fā)展時(shí)代素養(yǎng)。

二、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)球的表面積公式

在學(xué)生發(fā)現(xiàn)球的表面積不能分割或展開成平面圖形來(lái)求之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生類比圓的周長(zhǎng)的求法。為此，教師可以先介紹劉徽的“割圓術(shù)”：把圓周等分成若干段，近似看作線段求長(zhǎng)度和，再考察極限逼近準(zhǔn)確值——注意，這里只要介紹“割圓術(shù)”的總體思想，不要介紹“割圓術(shù)”的具體過(guò)程，除了因?yàn)楹罄m(xù)探究中具體的計(jì)算都可以交給數(shù)學(xué)軟件之外，還因?yàn)閯⒒赵谟?jì)算線段的長(zhǎng)度時(shí)用到了遞推的方法，比較復(fù)雜。由此，學(xué)生可以想到把球面等分成若干塊，近似看作直邊圖形求面積和。隨即，又會(huì)遇到球面面積密鋪等分的困難。這時(shí)，教師可以舉出生活中一圈圈地削蘋果的事例。由此，學(xué)生可以想到把球面水平等弧（等角）或等高（等距）分割成若干層，近似看作圓臺(tái)或圓柱側(cè)面求側(cè)面積和（如圖1所示）。

這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)球的對(duì)稱性考慮半個(gè)球面進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，基于軸截面，以一種情況（如等弧分割成n層，近似看作圓臺(tái)）為例來(lái)計(jì)算各個(gè)部分的側(cè)面積和：如圖2，設(shè)球的半徑為R，從下往上，第i個(gè)圓臺(tái)的下、上底面半徑分別為Rcos（i-1）π2n、Rcosiπ2n，母線長(zhǎng)為2Rsinπ4n，因此側(cè)面積Si=πRcos（i-1）π2n+cosiπ2n·2Rsinπ4n，側(cè)面積和S=S1+S2+…+Sn。

然后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在GeoGebra軟件中輸入不同的n的值，計(jì)算S的表達(dá)式除以2πR2這一固定的公因式后的值。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n不斷增大時(shí)，算出的值不斷趨近于1。考慮到n越大，各個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)就越短，側(cè)面積與球表面對(duì)應(yīng)部分的面積就越接近，學(xué)生可以猜想球的表面積公式為S=4πR2。

（二）引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)球的體積公式

教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用教材給出的方法，基于球的表面積公式推出球的體積公式。同時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)運(yùn)用推導(dǎo)球的表面積公式的方法：如圖2，從下往上，第i個(gè)圓臺(tái)的高為Rsiniπ2n-Rsin（i-1）π2n，因此體積Vi=π3R3siniπ2n-

sin（i-1）π2ncos2（i-1）π2n+cos（i-1）π2ncosiπ2n+

cos2iπ2n，體積和V=V1+V2+…+Vn;在GeoGebra軟件中輸入不同的n的值，計(jì)算V的表達(dá)式除以π3R3這一固定的公因式后的值，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n不斷增大時(shí)，算出的值不斷趨近于2，從而可以猜想球的體積公式為V=4π3R3。

實(shí)際上，有了GeoGebra軟件幫助處理具體計(jì)算，學(xué)生便不再有“是否易于求和”的顧慮，從而可以嘗試更多的分割方法。比如，學(xué)生可以嘗試采用如圖3所示的“指向球心分割成若干個(gè)‘小錐體”的方法推出球的表面和體積公式——雖然列式麻煩一些，但是計(jì)算可以交給GeoGebra軟件。

參考文獻(xiàn)：

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