初中數(shù)學(xué)教材中“數(shù)學(xué)情境”的教學(xué)解讀之道

摘要：以蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級下冊第12章第1節(jié)“二次根式”為例，談初中數(shù)學(xué)教材中“數(shù)學(xué)情境”的教學(xué)解讀之道：可以借助數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)類比、數(shù)學(xué)歸納、數(shù)學(xué)整體等解讀。

關(guān)鍵詞：教材解讀;數(shù)學(xué)情境;二次根式

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“教學(xué)建議”中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)……從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境……”現(xiàn)行教材的編寫，針對具體的教學(xué)內(nèi)容，都會設(shè)置問題情境，要么選擇生活情境，要么選擇數(shù)學(xué)情境。因此，教師需要掌握解讀教材中問題情境的一般方法，從而提高對情境意義的理解和對情境本質(zhì)的認(rèn)識，進(jìn)而有效實(shí)施基于問題情境的課堂教學(xué)。

筆者曾撰文給出初中數(shù)學(xué)教材中“生活情境”的教學(xué)解讀之道。下面以蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級下冊第12章第1節(jié)“二次根式”為例，談一談初中數(shù)學(xué)教材中“數(shù)學(xué)情境”的教學(xué)解讀之道。

蘇科版教材為了引入二次根式概念，創(chuàng)設(shè)了如下“數(shù)學(xué)情境”：

用帶有根號的式子表示下列問題中的數(shù)量：

（1）邊長為1的正方形的對角線的長;

（2）面積為S的圓的半徑;

（3）直角邊長分別為a、b的直角三角形斜邊的長;

（4）一個(gè)物體從靜止?fàn)顟B(tài)自由下落的高度h（m）與所需的時(shí)間t（s）滿足關(guān)系式h=12gt2，試用h表示t（g的值取10 m/s2）。

顯然，這四個(gè)情境中的數(shù)量用帶有根號的式子表示分別是：（1）2;（2）Sπ;（3）a2+b2;（4）2hg。

一、借助數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)解讀：尋找學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)

學(xué)習(xí)的本質(zhì)是經(jīng)驗(yàn)在深度或廣度上的持續(xù)變化。教師的作用是讓學(xué)生在新舊經(jīng)驗(yàn)之間發(fā)生更順利、更有價(jià)值的順應(yīng)與同化，即發(fā)生更好的學(xué)習(xí)，也就是幫助學(xué)生由舊的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)成新的經(jīng)驗(yàn)或從經(jīng)驗(yàn)的此岸過渡到經(jīng)驗(yàn)的彼岸。所謂“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，是指學(xué)生在前面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中積累的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)。只有從中找到要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的“前概念”和“前經(jīng)驗(yàn)”，并能夠明確指向要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，才能使學(xué)生既有繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，又有學(xué)習(xí)前進(jìn)的方向。所以，尋找學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，通常是“數(shù)學(xué)情境”教學(xué)解讀的開始。

例如，由上述“數(shù)學(xué)情境”得到的四個(gè)式子2、Sπ、a2+b2、2hg中，2就是學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。對此，可以作出如下教學(xué)解讀：

上述四個(gè)式子中，2認(rèn)識嗎？另外三個(gè)式子Sπ、a2+b2、2hg認(rèn)識嗎？

對于學(xué)生來說，2是認(rèn)識的：從代數(shù)的角度看，是一個(gè)數(shù)，是一個(gè)無理數(shù)，是2的算術(shù)平方根;從幾何意義的角度看，可以看成邊長為1的正方形的對角線的長。而Sπ、a2+b2、2hg這三個(gè)式子目前不認(rèn)識。

二、借助數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)解讀：尋找新舊知識的相互聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識不僅與學(xué)生的學(xué)科知識、生活經(jīng)驗(yàn)有緊密的聯(lián)系，而且一些數(shù)學(xué)知識之間存在邏輯順序以及實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。這些聯(lián)系有助于展示數(shù)學(xué)知識的整體性和數(shù)學(xué)方法的一般性。所謂“數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)”，是指數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系。只有及時(shí)提取與新知識相關(guān)的舊知識，建立起知識之間的相互聯(lián)系，才能讓學(xué)生有效地利用已有經(jīng)驗(yàn)支持新知識的學(xué)習(xí)。所以，尋找新舊知識之間的相互聯(lián)系，是“數(shù)學(xué)情境”教學(xué)解讀的第二步。

例如，由上述“數(shù)學(xué)情境”得到的四個(gè)式子中，舊知2與新知Sπ、a2+b2、2hg存在著必然的聯(lián)系。對此，可以作出如下教學(xué)解讀：

2與Sπ、a2+b2、2hg究竟有怎樣的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)呢？

首先，這四個(gè)式子都帶有根號。其次，2的根號下面是具體的數(shù)，而另外三個(gè)式子的根號下面是含有字母的式子。所以，從2到Sπ、a2+b2、2hg，本質(zhì)上是由具體的數(shù)走向抽象的式，從特殊走向一般。最后，從代數(shù)式的角度看這四個(gè)式子，就可以統(tǒng)一抽象出二次根式的一般形式（a）及其描述性定義。

三、借助數(shù)學(xué)類比解讀：由舊知走向新知

在數(shù)學(xué)中，我們常常會遇到“似曾相識”。此時(shí)，我們可以對“似曾相識”的類似對象進(jìn)行聯(lián)想比較，由一個(gè)對象的已知定義、性質(zhì)等獲得另一個(gè)對象的未知定義、性質(zhì)等。所謂“數(shù)學(xué)類比”，就是把數(shù)學(xué)中有關(guān)聯(lián)的相近或同類知識放在一起進(jìn)行比較，找出兩者之間的異同點(diǎn)。由此可以從舊知中來，到新知中去，找到由舊知走向新知的橋梁。

例如，由上述“數(shù)學(xué)情境”得到的四個(gè)式子統(tǒng)一稱為“二次根式”后，可以作出如下教學(xué)解讀，引導(dǎo)學(xué)生類比得到二次根式的性質(zhì)：

2是2的算術(shù)平方，算術(shù)平方根有怎樣的性質(zhì)？二次根式a又有怎樣的性質(zhì)呢？

二次根式a也可以認(rèn)為是a的算術(shù)平方根。由平方根的定義x2=a，有（a）2=a≥0;又a是算術(shù)平方根，則a≥0。因此，對二次根式的全面認(rèn)識應(yīng)該是：一般地，形如a（a≥0）的式子叫作二次根式，并且有a≥0，（a）2=a等性質(zhì)。可見，二次根式的式與算術(shù)平方根的數(shù)一樣，數(shù)式通性，都具有雙重非負(fù)性。

四、借助數(shù)學(xué)歸納解讀：由特殊走向一般

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)通常都是通過類比、歸納等方法進(jìn)行探測，獲得對有關(guān)問題的結(jié)論或解決方法的猜想，然后設(shè)法證明或否定猜想。所謂“數(shù)學(xué)歸納”，是指通過特殊情形成立與否得出一般情形成立與否。由此可以從部分到整體、從個(gè)別到普遍，發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論。

例如，由上述“數(shù)學(xué)情境”得到的四個(gè)式子統(tǒng)一稱為“二次根式”后，也可以作出如下教學(xué)解讀，引導(dǎo)學(xué)生歸納得到二次根式的性質(zhì)：

2是二次根式a的特殊情形，你還能舉出其他的特殊情形嗎？由此可以得到一般的二次根式a具有怎樣的性質(zhì)？

由（2）2=2，（3）2=3，（4）2=4，（5）2=5，…，可知（a）2=a，a≥0，并且a≥0。

五、借助數(shù)學(xué)整體解讀：構(gòu)建新舊知識的體系

從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角看，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該把數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性放在非常重要的位置。所謂“數(shù)學(xué)整體”，是指把本課所學(xué)的新知識與學(xué)生已有的舊知識放在一起作為一個(gè)整體加以認(rèn)識，在融合中構(gòu)建新舊知識的體系，從而產(chǎn)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如，由上述“數(shù)學(xué)情境”從舊知2出發(fā)形成新知a后，可以作出如下教學(xué)解讀，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)新舊知識的體系：

把舊知算術(shù)平方根2與新知二次根式a統(tǒng)一成一個(gè)整體，如何全面構(gòu)建新的知識體系？

構(gòu)建的新的知識體系如圖1所示。

從上述過程可以看出，數(shù)學(xué)情境的教學(xué)解讀既是課堂教學(xué)的開始，又是課堂教學(xué)的過程，還是課堂教學(xué)的收尾，完整地呈現(xiàn)了新知的產(chǎn)生、形成和發(fā)展，而其中的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)類比、數(shù)學(xué)歸納、數(shù)學(xué)整體都是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在。

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