挖掘教材資源 培養學生數學素養

宛新民

摘要：數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。培養和提升學生的數學素養，應該落實在教師每一堂課的教學活動中、每一道習題的解答中。充分有效地挖掘教材資源，只要方法得當，就能激發學生的學習興趣和主動探索的熱情。這不僅可以提高學生的學習效率，減輕學生課業負擔，還能達到有效提升學生的數學素養的目的。

關鍵詞：教材資源? 數學思想方法? 數學素養

提升學生的數學素養是義務教育階段數學教育的一項基本任務。如何培養和提升學生的數學素養？大部分教師采用簡單粗暴的題海戰術，不僅占據了學生大量的課余時間，增加了課業負擔，還得不到理想的教學效果，甚至適得其反，讓孩子產生厭學情緒，成績一落千丈。要擺脫這樣的困境，除了引導學生自身探索、總結外，更應該將培養學生素養的教育理念落實在教師的每一堂課的教學活動中、每一道習題的解答中。其中，有效地開發和利用教材資源，只要方法得當，就能激發學生的學習興趣和主動探索的熱情，不僅可以提高學生的學習效率，減輕學生課業負擔，也能達到有效提升學生的數學素養的目的。以下就是我在教學實踐中的一則實例。

一、發現問題

人教版九年級數學下冊第二十七章“相似”的復習題中，有這樣一道題：如圖1，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AD與BE相交于點F，連接ED。你能在圖中找出一對相似三角形，并說明相似的理由嗎？

顯然，這道習題并不復雜，但教材為了降低難度，只提出“找出一對相似三角形，并說明相似的理由”的問題。同時，這也是一道開放性的問題，為學生的回答提供了多種可能。不同的學生從不同的角度回答給出不同的答案。數學素養好的學生就會主動探究各種可能情況，而一般的學生只要找到一種答案就萬事大吉了。作為教師，我們應該有意識地引導學生進行探究，從而鍛煉學生的數學思維能力，促使他們領悟數學思想方法、提升數學素養。

在實際教學中，我根據學生提出的不同答案，因勢利導地提問：圖中共有多少對相似三角形？你能都找出來，并說出理由嗎？結果發現，學生馬上來了興趣，都積極地尋找起來，可是能把所有相似三角形都找出來的同學并不多。究其原因，我認為主要是他們的思想方法不對，一味盲目地猜測而不去尋找規律，只能得到片面的結果，歸根結底還是他們的數學素養問題。

二、解決問題

為了幫助學生解決問題，我引導學生先回顧復習一下前面學過的相似三角形的判定方法，有意識地運用如下的數學思想和方法來進行分析解答。

（一）建立模型

首先，回顧預備定理即“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”。有下列兩種情形：如圖所示，圖2、圖3中DE∥BC，則△ABC∽△ADE，我們分別稱為“A”型和“S”型，這樣就建立了數學模型。

（二）運用類比思想體會特殊與一般關系

在上述模型的基礎上，我們再通過類比全等三角形的判定方法分別得到：三邊成比例的兩個三角形相似（類比SSS）;兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似（類比SAS）;兩角分別相等的兩個三角形相似（類比ASA或AAS）三個判定定理。在判斷兩直角三角形相似時還有斜邊和一條直角邊成比例的兩直角三角形相似（類比HL）等。再拓展一下，很容易得到下面的兩種情形，若圖2、圖3中的DE與AB不平行時，如下圖所示：

圖4的△ABC與△ADE中∠A為公共角，且∠B=∠AED，則△ABC∽△AED;圖5的△ABC與△ADE中若∠B=∠E，又對頂角∠BAC=∠DAE，所以△ABC∽△AED。這兩種情況我們分別稱為反“A”型和反“S”型，從而又建立了兩個判定相似三角形的模型。

（三）分類的思想

現在，我們再回到開始的習題，如何正確地找出圖中所有相似三角形呢？我們從題目的已知條件入手，題中有兩個垂直，可以很容易想到直角三角形，那么，我們就從直角三角形開始分析。圖中有哪些直角三角形呢？它們相似嗎？這就要求我們能從復雜的圖形中找到我們所需要的簡單圖形或模型，我們可以看出圖6～12的以下情形：

從中不難分析出直角三角形相似的情況。除此以外還有非直角三角形的情形，如圖13、圖14中△ABC∽△EDC，△ABF∽△EDF

再回過頭來看一下可以發現，圖9、圖10、圖13都屬于反“A”型，圖8與圖14屬于反“S”型。根據模型可以在復雜的圖形中找到需要的簡單圖形，從而解決問題。

三、歸納反思

在上述尋找相似三角形并說明三角形相似的理由的過程中，我們首先要能從復雜的圖形中找出簡單的基本圖形，體現了模型思想及由簡單到復雜，再由復雜到簡單的認識規律及數學思想。

在找相似三角形時，從三角形的形狀來看分為直角三角形和非直角三角形兩類;在直角三角形中又有相似和不相似兩類;從兩個相似三角形的位置來看分為反“A”型、反“S”型及其他類型。在說明兩三角形相似的理由時，分為有公共銳角或對頂角的直角三角形（兩角分別相等的兩個三角形相似）、沒有公共銳角或對頂角的直角三角形及兩個非直角三角形等類型，體現了分類的數學思想，可以培養學生形成縝密的思維習慣。

我們還采用了類比的思想區分“A”型與反“A”型、“S”型與反“S”型等基本幾何圖形。

四、拓展應用

解決問題以后，我們再順勢提出：如果△ABC是等腰三角形（有AB=BC或AC=BC兩種情形）時，其他條件不變，情況又會如何呢？如果△ABC是等邊三角形時，其他條件不變，情況又會如何呢？也就是從一般情況看特殊情況，可以引導學生進一步去思考探究。

可見，充分有效地開發利用教材資源，不僅可以激發學生的學習興趣，提高學習效率，減輕課業負擔，也能達到有效提升學生的數學素養的目標。