建構“直觀思維”：幾何直觀教學的重要使命

王燕

摘? 要：直觀性思維具有具體性、直接性、生動性等特質。在小學數學教學中，教師要引導學生直觀感知、直觀操作、直觀想象和直觀理解，進而培育學生的視覺性思維、動作性思維、想象性思維和理解性思維。直觀性思維，有助于提升學生數學學習力，發展學生數學核心素養。

關鍵詞：小學數學;幾何直觀;直觀思維

學生的數學思維，從根本上來說可以分為直觀思維、演繹思維。法國著名數學家帕斯卡爾將之命名為“敏感性精神”與“幾何學精神”。在學生數學學習中，往往很重視“演繹性思維”，而忽視了學生“直觀性思維”的培育。直觀性思維具有具體性、直接性、生動性等特質。在小學數學教學中，教師要有意識地建構學生的“直觀思維”，發展學生幾何直觀能力，提升學生幾何直觀素養。

■一、直觀感知：培養學生的視覺性思維

幾何直觀思維，首先是一種視覺思維。視覺思維是一種基于視覺感知建立的思維。這種思維不純粹是“直觀”，也不純粹是一種“簡單地看”。在數學教學中，筆者發現許多數學學習弱勢群體，在讀題時往往只是簡單地重復閱讀，以致于閱讀了幾遍，都沒有理解題意。這是因為，這些學生的感知是一種純粹的視覺，沒有融入思維，因而就導致了認識文字卻不理解題意的現象。

培養學生的視覺思維，不僅要增強學生的感知能力，更要借助圖片、實物、動作等直觀載體，誘發學生思維。只有當學生能在視覺中思考，才能說學生擁有了直觀思維能力。比如教學“分數的初步認識”這一部分內容，教師首先要引導學生動手操作、畫圖等，將一張紙進行不同方向的對折。如此，學生就會主動對直觀操作的過程、結果等進行比較，認識到盡管操作的過程不同（橫著對折、豎著對折、斜著對折等），盡管操作的結果不同（對折后的圖形不同），盡管每一份的形狀不同，但由于都是將一張紙平均分成了兩份，因而每份都可以用“2/1”來表示。這里，學生通過直觀，形成了對分數的本質性的認知，這種基于直觀基礎上的本質認知，我們不妨稱之為“本質直觀”。借助于“本質直觀”，學生舍棄了圖形的非本質屬性，提煉出了本質屬性。這種提煉的過程，不是邏輯推理的演繹過程，而是基于直觀操作、直觀感知基礎上的，因而是學生借助視覺思維研究出的成果。

直觀感知是發展學生直觀思維的基礎。只有借助于幾何直觀，學生才能有效地組織、解讀、理解各種信息。教學中，教師要引導學生對相關的數學問題，通過幾何直觀進行直觀表征。通過直觀表征，學生能更為有效地、更有針對性地進行直觀感知、直觀思維。

■二、直觀操作：培養學生的動作性思維

幾何直觀思維，不僅僅包括視覺思維，也包括操作思維。尤其對于小學生而言，操作思維更具有意義。“智慧自動作發端”。教學中，教師可以通過“擺實物”“做模型”“畫圖”等動手操作活動來調動學生的感官。通過操作，可以深化學生的幾何直觀表象積累，從而便于學生運用幾何直觀表象進行思維。

比如教學“角的認識”，為了讓學生深化“角的大小與所畫的邊的長短無關，與兩條邊張開的大小有關”，筆者組織學生動手操作，激發學生的動手操作思維。首先，出示兩個相等的角，但角的兩條邊畫的長短不同;其次，讓學生用活動角進行對比，通過對比，學生發現，這兩個角的兩條邊張開的大小是相同的。通過這樣的操作，學生認識到“角的大小”的深刻內涵，即“角的大小就是角的兩條邊張開的大小”。由于角的兩條邊是兩條射線，因而可以無限延長。所以，“角的大小與所畫的邊的長短無關，與兩條邊張開的大小有關”。通過操作，學生將手的動作與腦中建立的表象等聯通起來，從而有助于學生理解知識的本質。由于數學操作是學生積極、主動參與的數學活動，因而有助于積累學生的數學活動經驗。一般來說，學生的數學活動能積累實踐經驗和思維經驗，而直觀動作思維能將學生的實踐經驗與思維經驗等融為一體。

直觀是對事物的直接判斷，屬于學生經驗層面的內容。表象是學生直觀思維的最基本的元素。通過直觀操作，學生能獲得最為直接、最為生動的表象，能獲得切身的感受、體驗，從而能積累學生的數學活動經驗。從某種意義上說，學生的直觀操作，就是通過對數學活動經驗的不斷積累所形成的數學素養。

■三、直觀想象：培養學生的想象性思維

直觀思維，不僅包括直覺思維、動作思維，而且包括想象思維。直觀聯想，有助于培養學生的想象思維。過去，許多教師總是將想象與思維對立起來，導致學生的思維空間比較狹窄、逼仄。直觀聯想，往往能打開學生的思維空間。正如著名思想家愛因斯坦所說，想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。

教學中，教師要引導學生進行直觀聯想。以聯想、想象為媒介、載體，能提升學生直觀思維的高度，拓展學生直觀思維的廣度。而當下的信息技術又為學生的直觀想象添上了一雙翅膀。比如教學“圓的面積”，通過多媒體課件的展示，將圓平均分成若干份，然后拼接成一個近似的平行四邊形。隨著平均分成的份數的增加，學生展開了動態性的想象：長方形的長相當于原來圓的什么？長方形的寬相當于原來圓的什么？長方形的面積相當于原來圓的什么？在動態的直觀想象中，學生自覺地對長方形與原來圓的半徑、直徑、周長、面積等之間的關系展開了積極的思維。不僅如此，在直觀想象中，學生還初步感受、體驗到極限的數學思想方法，即當平均分成的份數越多時，近似的平行四邊形就越來越接近長方形，而演變到最后就成了長方形。這樣的一種思維，就是一種直觀的、動態的、想象性的思維。較之于其他的思維形式，直觀想象性思維更具靈動性、鮮活性。直觀想象性的思維豐富了學生的思維樣式，拓展了學生思維的空間。

直觀想象性思維是流動的、變化不居的思維。在數學教學中，教師要引導學生充分認識圖形的特點，讓圖形動起來，從而催生學生的想象。想象性思維，能打破學生的固化思維，具有多向性、靈活性、變通性、發散性、創新性，因而不僅有助于學生解決問題，更有助于學生發現問題。

■四、直觀理解：培養學生的理解性思維

直觀，包括實物直觀、圖形直觀和符號直觀等。一般而言，理解性直觀，有助于深化學生的認識。數學中有許多抽象性概念，作為教師，可以引導學生用直觀動作、直觀圖形等促進學生的直觀理解。不僅讓學生理解對象性特征，更讓學生理解對象的結構性特征。通過直觀理解，達成學生對學習對象的通透性把握。

比如教學“稍復雜的分數乘法應用題”，為了讓學生直觀理解“量”和“率”之間的對應關系，筆者引導學生畫線段圖，將題目中的數量關系直觀表征出來。通過畫圖，學生直觀地表征了題意，并且發現量和率之間的不對應關系。通過直觀思維，學生認為，解決問題的關鍵在于“將量和率之間的不直接對應轉化成直接對應”。借助于直觀的線段圖，學生不僅獲得了直觀的理解，而且能主動地提出解決問題的思路猜想，并積極地付諸實踐。換言之，直觀理解變成了直觀行動。比如當學生直觀看到“已經修了全長的■”，就能直觀推理出“還剩全長的■”;直觀看到了“甲數比乙數多■”，就能直觀推理出“甲數是乙數的■”，等等。有了這樣的直觀性理解，學生就能優化問題解決的思路、策略。比如學生能主動運用轉化、對應、假設等思想方法解決問題。這樣的直觀理解，有效地提升了學生的數學學習力，發展了學生的數學核心素養。

“幾何直觀”能為學生的數學理解提供重要支撐。作為教師，要充分應用幾何直觀這一有效的工具，促進學生的數學理解、建構與創造。在數學教學中，幾何直觀具有重要的價值，能引導學生將抽象的數學問題與直觀的手段、直觀的表征相結合，從而促進學生的數學理解、數學應用。直觀理解，打開了學生的數學思維的大門。作為教師，不僅要引導學生運用直觀感知、理解、想象，更要引導學生運用直觀去建構、創造。