基于數學核心素養的公式教學

魯依玲

【摘要】在新一輪的高中數學課程標準修訂的過程中，數學核心素養被明確寫入標準，它包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析.那么，在高中課堂教學中，如何落實數學核心素養呢？史寧中教授曾基于這些素養向大家描述了一個理想的教學過程：把握數學知識的本質、把握學生認知的過程;創設合適的教學情境、提出合適的數學問題;啟發學生思考、鼓勵學生與他人交流;讓學生在掌握知識技能的同時，理解數學知識的本質;感悟數學的思想、形成和發展數學核心素養.筆者將基于以上理想教學過程中的五個環節，努力踐行培養學生數學核心素養的教學追求，以“二倍角的正弦、余弦、正切公式”新授課為例談一些粗淺的想法.

【關鍵詞】數學核心素養;二倍角公式;一般到特殊;整體代換

一、教材分析

本節課是人教版普通高中數學教材必修4第3章“3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式”的內容，它是在研究了三角函數的兩角和與差公式的基礎上，進一步研究具有“二倍角”這種特殊關系的正弦、余弦、正切公式，它的學習不僅可以深化學生對兩角和與差公式的理解，同時也為研究三角恒等式及三角函數等問題提供了非常有用的理論工具.它的學習體現了類比推理、從一般到特殊的化歸思想、換元等重要數學思想方法.因此，我們必須深刻理解這一公式.

二、學情分析

其一：知識與經驗：學生經過了一般三角函數的兩角和與差公式的學習，體驗了類比推理、轉化與化歸等數學思想方法，但由于其對于知識的掌握程度還停留在表層，把知識只作為一個個獨立的模塊來認識，沒有把知識與知識互相聯系起來，所以不一定高效.其二：思維與習慣：學生思維逐漸由形象向抽象過渡，主要處于經驗偏理性思維，交流、提問、分享、筆記、反思等好習慣比較缺失.其三：情感與態度：學生雖然對一般三角函數的兩角和與差公式的理解與應用不夠自信，但對接下來的學習有一定的好奇心，愿學但受挫力和意志力不夠高.

三、教學目標

首先，理解二倍角公式推導，掌握二倍角公式及其變形公式;能綜合運用二倍角公式進行化簡、計算、證明.其次，可以通過經歷二倍角公式的類比與分析、推理與證明、歸納與反思、交流與分享等過程，進一步體會化歸這一基本數學思想在求值、化簡、恒等證明中所起的作用， 進一步掌握聯系變化的觀點，提高分析問題、解決問題的能力，提升數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養.最后，認識與體驗二倍角的正弦、余弦、正切公式的實用與審美價值，感受類比推理、從一般到特殊、轉化與化歸、換元等重要數學思想方法，進一步增強學習數學的信心與興趣.

四、教學過程

（一）溫習舊知

【片段實錄】師：在上兩節課呢，我們已經學習過了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，也已經感受過了它們給解決問題帶來的方便，那大家還記得多少呢？下面請一個學生來黑板上默寫這六個公式，其他學生在下面默寫.

生：（70%的學生都能正確默寫這六個公式）sin（α±β）=sin αcos β±cos αsin β，cos（αβ）=cos αcos β±sin αsin β，tan（α±β）=tan α±tan β1tan αtan β .

【片段設計意圖】復習回顧上節課所學的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，從而達到在幫助學生鞏固已學知識的同時，更好地聯系本節課將學的倍角公式的目的.由于倍角公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式中一種特殊的形式，因此，還可以借此將學生學習的積極性調動起來.

（二）提出問題

【片段實錄】師：復習完這六個公式，我們一起來看一個問題，看大家能否用已學的知識來解決它.

在△ABC中，AB=AC=2BC，求∠A的正弦值、余弦值、正切值？

學生思考.

師：一般我們求三角形中某個角的三角函數值時，是不是首先要考慮它是否在直角三角形中啊？∠A在直角三角形中嗎？

生：沒有.（大家異口同聲）

師：那我們要怎么辦？

生：（思考）構造直角三角形，過點A作BC的垂線，交BC于點D.

師：又因為等腰三角形“三線合一”的特性，所以求∠A的三角函數值也就相當于求2∠BAD的三角函數值，為了敘述簡便，我們令∠BAD=∠α，這題即求sin 2α，cos 2α，tan 2α，那如何求呢？

【片段設計意圖】創設合適的問題情境，既可以最大限度地抓住學生的好奇心，使學生在興趣和求知欲的驅動下積極、主動地去學習和探索豐富多彩的數學知識，又能引出本節課的核心知識.

（三）課堂探究

1.探索規律

【片段實錄】師：大家想一想，我們是如何由兩角差的余弦公式推導得出兩角和的余弦公式的？生：（思考）令cos（α-β） 中的β為-β.

【片段設計意圖】幫助學生回憶兩角和的余弦公式的推導，引導學生發現其中的規律，為接下來的自主探究做好知識和方法上的鋪墊.

2.類比探索

【片段實錄】師：那大家能類比上述公式推導過程，利用已學的公式推導出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式嗎？ 生：令兩角和的三角函數公式中的β=α即可得到

sin 2α=2sin αcos α，cos 2α=cos2α-sin2α，tan 2α=2tan α1-tan2α.

師：真不錯！但大家也要注意其中正切函數的定義域是有限制的，大家思考一下，對于二倍角的余弦公式，能否有其他表示形式？生：利用cos2α+sin2α=1，得到cos 2α=1-2sin2α或cos 2α=2cos2α-1.

師：大家觀察之前這兩組公式（兩角和的三角函數公式和剛剛推導出來的sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式），它們之間存在著什么聯系嗎？生：剛剛推導出來的sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式是之前所學公式的一種特殊形式.

師：是的！這里是不是體現了從一般到特殊的思想啊，我們將這種特殊的三角函數公式叫作二倍角的正弦、余弦、正切公式.

【片段設計意圖】引導學生在和角公式的基礎上令其中的β=α，讓學生領會到從一般到特殊的數學思想，使學生的思維品質和整體素質得到升華.

3.深化概念

【片段實錄】師：大家是如何理解“倍”的概念的. 生：2α是α的兩倍.

師：僅僅限于2α與α嗎？α與α2不行嗎？生：不是.

師：大家一定要用整體代換——換元的思想去看待“倍”，它描述的是兩個數量之間的關系，是一個相對數量關系，如α是α2的二倍、2α是α的二倍等，大家試著做下這個題目：

已知sin 2α=35，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值.

一半以上的學生都能做對.

教師再次強調“倍”的概念.

【片段設計意圖】先了解學生對“倍”的理解，最好能暴露學生的錯漏點，在此基礎上對學生的看法發表意見，不僅能加強學生對“倍”的理解，還能增強學生對學習的主動性;之后再次通過一道題加深學生對它的理解，強調“倍”是描述兩個數量之間的相對關系，引導學生對“倍”的正確認識.

4.鞏固探究

【片段實錄】師：（用多媒體展示題目）大家試著做一下下面這道題.

化簡 1-cos 2θ+ 1+cos 2θ 0<θ<π2.

極大部分學生不能正確選擇合適的二倍角的余弦公式.

師：要想化簡，是不是就要去掉根號啊？那我們是不是要想辦法將里面的式子變成平方的形式啊？

學生表示贊同.

師：所以1-cos 2θ中的cos 2θ應該選擇哪個公式啊？

生：選擇cos 2θ=1-2sin2θ.

師：為什么？

生：既能消掉1，又能升高次數.

師：那1+cos 2θ中的cos 2θ應該選擇哪個公式啊？

生：選擇cos 2θ=2cos2θ-1.

師：所以得到1-cos 2θ=2sin2θ，1+cos 2θ=2cos2θ.這也是非常重要的降角升冪公式.

【片段設計意圖】通過練習引出降角升冪公式，既能讓學生明白該公式的重要性，也進一步加深了學生對該公式的理解與應用.

（四）學以致用

師：（依次展示以下練習題）

類型一：逆用公式：求以下各式的值

（1）2sin 15°cos 15°.

（2）2cos2π8-1.

（3）2tan 22.5°1-tan222.5°.

類型二：正用公式與變形公式相結合

證明1+sin 2θ-cos 2θ1+sin 2θ+cos 2θ=tan θ.

類型三：綜合運用公式

在△ABC中，cos A=45，tan B=2，求tan（2A+2B）的值.

【片段設計意圖】設計以上練習題，既能加強學生對二倍角公式的記憶和理解，又能訓練學生的逆向思維及靈活思維，培養學生思維的廣闊性與靈活性.

（五）小結反思

【片段實錄】師：本節課你有什么收獲和困惑（從知識上、思想方法上、需注意的地方這三個方面讓學生討論再分享）.生：知識上知道了倍角公式和降角升冪公式，思想方法上體悟了從一般到特殊的思想和整體代換思想，在正切公式中需注意定義域的限制，做題時注意三角函數的正負問題，對倍的概念的理解.

【片段設計意圖】強調學以致用、小結反思、學法指導，授人以魚的同時授人以漁.

五、教學反思

基于學生現有認知水平，筆者按數學核心素養的培養要求設計本節課，有收獲也有遺憾.

（一）突出重點，突破難點.教學過程緊緊圍繞二倍角的正弦、余弦、正切公式這一重難點展開，筆者通過類比推理、從一般到特殊、整體代換的思想來加深學生對該公式的理解與應用，達成了教學目標，體現了培養學生數學核心素養的教學追求.

（二）突出學生的主體地位.在課堂的開端，筆者通過設置合適的問題情境，引導學生從數學內部發展的需求或生產、生活的需求出發，使學生感受到每個公式都不是憑空出現的，并用數學的眼光去看待生活世界與數學世界.在整個探究過程中，筆者通過引導，一步一步讓學生參與其中，啟發學生思考，引導學生學會學習，增強學生學習的主動性.

（三）思維基本連貫.本節課的設計著力于二倍角的正弦、余弦、正切公式的形成與應用，筆者通過設置教學環節，在潛移默化中實現學生核心素養的提升，最終使學生達到用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界的崇高境界：追溯從何——復習回顧已學知識、把握學生心向，把握是何——創設問題情境、引入新知，連接與何——探索新知與舊知的聯系，操作如何——類比探索、揭示新知本質，效果如何——設置習題、檢測學習效果，挖掘有何——引導學生對本節課進行總結、體悟公式本質及蘊含的思想與方法.

（四）對學生的認知不足.在某些習題的講解過程中，筆者忽略了目前這一階段學生的認知水平和認知過程，講得過快，導致學生只會了講評的習題，卻不能靈活運用在相同類型或變式題中.

【參考文獻】

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