歸納方法在初中數學教材中的滲透淺議

甘秀泉

摘 要 數學歸納是學生在數學學習中經常用到的思想方法，在教學活動中正確滲透歸納法，便于學生整體性把握教材。本文主要介紹歸納法在“定義性質、定理及數學知識結構”等幾方面的滲透，目的在于使學生掌握歸納法，提高論證推理能力。

關鍵詞 數學教學;歸納方法;教材滲透

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）22-0075-01

受新時代浪潮沖擊的數學教學，同樣面臨著持續、深入改革的新形勢，而這一改革應緊密圍繞“開發智力，培養能力”這一主題展開。

匈牙利（美籍）數學家G·波利亞在他的《數學與猜想》一書中的序言中明確指出：“數學家的任何研究都應具有創造性，在創造的過程中一刻也離不開論證推理，也就是證明。數學研究中的證明常常是通過科學的猜想得以實現的”，因此他進一步指出掌握兩種推理的必要性：“每一個會學習、有成就感的學生在數學學習中必須要掌握正確的論證推理方法，這是由數學知識的邏輯結構決定的。但是，為了使他們真正取得數學成就，還需要教會他們掌握合乎事理的推理”。

就目前學生的數學學習狀況而言，筆者認為他們不僅缺乏論證推理能力（平幾尤為突出），更缺乏合乎事理的推理能力，合乎事理的推理就是運用正確的思維方式進行猜想（而猜想又以類比、歸納總結為基礎），拿到一個定理或具體的證明題目，很少猜測證明的思路。

從教學的角度看，無論是教者的“教”還是學生的“學”，其主要宗旨是在數學學習活動中培養學生的推理能力和思維能力。切實掌握解決“特殊”與“一般”的演繹和歸納方法，正是達成此項要求的有效途徑和手段之一。

歸納，是以各種特殊、個別的論證結果作為研究基礎的，然后通過對這些一個個具有特殊性論斷的分析，歸結總結出具有普遍性特質的結論。其實歸納方就是從特殊到一般的推理方法。本文就歸納方法在初中數學教材中的應用談談實踐感悟。

一、定義、性質方面

如“n次方根”的定義，如果沒有“二次三次方根”的鋪墊，同學們一下子是難以接受的。因此，我們應首先討論“二次、三次方根”及其性質（正數有兩個互為相反數的二次方根;正數有一個正的三次方根，負數有一個負的三次方根;零的二次方根為零，零的三次方根為零），然后很自然地過渡到“n次方根”的定義及其性質的學習。學習中要求學生對照“二次、三次方根”及其性質的分析方法思考：（正數的偶次方根有幾個？它們有什么關系？正數的奇次方根是幾個？為正數還是負數？負數的奇次方根和正數奇次方根有什么異同？零的奇、偶次方根是不是都為零？）。

“相似多邊形”一節，雖然很多課本利用六邊形為直觀圖形討論其基本性質，但同學們卻能比較自然地聯想到“相似多邊形”的這些性質并接受。這與同學們具有“歸納”的思想是分不開的。還有“正多邊形和圓”的性質討論，教材一般也是以學生具有“歸納”思想作為基礎，以正五邊形為例，具有同樣的效果。

“二次根式”的性質是以幾個公式的形式給出，要讓學生很好地掌握這些公式，最好能讓學生了解公式的來源、推導公式。但應考慮到不少學生在初二剛開始接受嚴格的推理論證有困難，因此，教材主要通過一些簡單的實例做歸納，說明這些公式的合理性。

教材中這樣的例子很多，以上幾例足可看出，“歸納”對于“下”定義，討論性質具有不可低估的作用。

二、定理方面

關于“平行線分線段成比例”定理，有的教材沒有作出詳細、嚴格的證明，只是作了一些說明，但它的思想方法與證明是相同的。教學中只要求學生承認這個結論，并會具體運用就可以了，因此教材中的歸納性說明同樣起到了應有的作用。

試想，沒有歸納思想，而讓學生“量”——“余”——說明成比例，再“量”——“余”……如此無休止循環下去，那還“得了”？

圓周角定理，弦切角定理以及余弦定理的證明，都是從僅有的特殊情況入手，最后歸納總結出一般結論。

三、知識結構方面

比較突出的是平面幾何的知識結構，一般呈現“定義——判定——性質”三段式，它能給同學們一個有“章法”可“仿”、有“規律”可“循”的印象，從而既合情又順理地逐個討論“平行線”、“全等三角形”、“等腰梯形”……的“定義、判定、性質”，而不是每接觸一個課題，就猶如走數學“迷宮”，無頭無緒。

教材在介紹一些公式、性質、定義或法則時，盡可能遵循“實例或演繹——公式、性質定義或法則——譯成文字數學語言——圖形（幾何）解釋”這一線索，這樣一環扣一環地深入下去，學生對所學知識就會有一個正確的、全面的、數形結合的認識。

歸納法對數學的發展起著很大的思維引導作用，因為數學的證明雖然是演繹的（注意：“數學歸納”其原理之所以正確，是依賴于最小數原理。即在具有某種性質的自然數集合中必然有一個最小的，從公理出發，證出數學歸納法的原理，得到數學歸消法，但它的實質應當是一個演繹的逆推證法，實屬命名不當，有時很容易引起誤會，應當正名）。但在證明之前必須先有結論，說明就是證明結論的正確與否，沒有結論就談不上證明，而結論的導出，在許多情況下是依靠歸納的，歸納是探索規律、發現規律的一種重要途徑，科學的發展是歸納和演繹有機滲透、相互融合結合的產物，我們應該啟發學生，多注意個別事例或現象的歸納總結，從中找到或猜出規律，然后證明之，這才是科學的方法。

參考文獻：

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