尺規作圖促學生幾何直觀素養發展

陳華明

【摘要】2011年新《課標》的提出，對初中數學教學產生了指導性作用。《課標》中針對數學核心素養，提出幾何直觀、推理能力等10個核心概念。筆者以”尺規作圖”“幾何直觀”為關鍵研究詞，并結合近五年廣州市中考的數學命題，基于內容分析法，對“尺規作圖”這一教學內容與“幾何直觀”核心素養的培養進行定量與定性相結合的內容分析，挖掘尺規作圖的教學現狀、存在問題，并據此提出合理的教學建議。

【關鍵詞】初中數學；幾何直觀；尺規作圖；核心素養

一、研究背景

2011年《義務教育數學課程標準（2011年版）（以下簡稱《課標》）》頒布實施，新《課標》的提出，對初中數學教學產生了指導性作用。《課標》中針對數學核心素養，提出幾何直觀、推理能力等10個核心概念。而對于“幾何直觀”這一核心素養，筆者直接能聯系起來的便是“尺規作圖”這一關鍵詞語。

二、研究對象與方法

筆者以”尺規作圖”“幾何直觀”為關鍵研究詞，運用內容分析法，查找了自2014年至2018年中國知網收錄以此為主題詞的研究文獻共216篇，剔除無關文獻，共得到196篇原始文獻，其中期刊文獻194篇，報紙1篇，會議1篇。為保障研究的可靠性與有效性，選取得到35篇有效研究文獻。

圍繞著這35篇有效文獻，結合近五年廣州市中考的數學命題，基于內容分析法，筆者對文獻和命題中關于“尺規作圖”這一教學內容與“幾何直觀”核心素養的培養進行定量與定性相結合的內容分析，挖掘尺規作圖的教學現狀、存在問題，并據此提出合理的教學建議。

三、研究結果

1.尺規作圖在數學課程標準中的要求

《課標》在第三學段（7～9年級）的知識與技能目標中明確提出，學生掌握基本的證明方法和基本的作圖技能；數學思考中提出經歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀。

就內容方面，《課標》對尺規作圖的學習提出四點要求：1. 能用尺規完成五種基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線。2. 會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形。3. 會利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內切圓；作圓的內接正方形和正六邊形。4. 在尺規作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法。

通過對35篇有效文獻的分析中，筆者發現無一例外地認為尺規作圖與圖形的判定有著本質的聯系，且均表達出尺規作圖及利用其證明的數學培養，對學生初步建立幾何直觀素養有著重要的作用。

然而通過對近五年的廣州中考數學考題的分析，筆者不難發現尺規作圖一直都占有一席之地。但是無論是日常的教學與測試考察結果均發現學生對此掌握并未如理想。

2.尺規作圖在初中數學教學中的現狀及問題

①近年來多作為動手解決問題題型載體，成為中考數學考查熱點。回顧廣州市近五年中考考題。

注：數據摘自《廣州市初中畢業生學業考試年報》，2018年暫未發布。

我們發現每年尺規作圖題型均以解答題的形式出現，并且是后續證明及計算的前提。其中三年是以倒數第3題，中難度題型出現，占全卷分值8%；另外兩年是以中等題型出現，最低占比達6.67%。尺規作圖因其特有的性質，對于作圖技能的考查具有得天獨厚之處。充分展示學生動手解決問題的情況，因此成為了中考檢驗學生的熱門題型。

②雖有重視，但落實延續性不足。由于《課標》的明確、中考的青睞，尺規作圖在日常教學都受到普遍的重視，亦對其作圖的道理進行相應分析證明。但是由于尺規作圖知識點分布特性及其動手操作的特殊性，導致整個初中學段過程存在較長真空期。如①作一條線段等于已知線段，出現在七年級上冊第四章“幾何圖形初步”；②作一個角等于已知角，③作一個角的平分線，出現在八年級上冊第十二章“全等三角形”；④作一條線段的垂直平分線，⑤過一點作已知直線的垂線，安排在同冊第十三章“軸對稱”。其他依據基本作圖三角形部分在第十二、三章，圓部分在九年級三冊第二十四章“圓”。知識內容章節跨度遍及整個初中學段。尺規作圖動手實踐的特殊性以及與其他知識的直接關聯相對薄弱，特別是我們教學上相對重視辨析論證及計算，導致尺規作圖教學落實的延續性不足。

③因對作圖語言的不了解，無法通過題意及圖形分析得到作圖思路，導致無法入手。案例為[2016廣州.21] （本小題滿分12分）如圖 ，利用尺規，在△ABC的邊AC上方作∠CAE=∠ACB，在射線AE上截取AD=BC，連接CD，并證明：CD∥AB（保留作圖痕跡，不寫作法）。其實，題中出現“邊AC上方作∠CAE=∠ACB，在射線AE上截取AD=BC”的作圖語言，但學生在解題時卻未能正確理解導致作圖錯誤。

④動手能力障礙，導致無法合理運用直尺和圓規進行作圖操作。由于對圓規的使用頻次的限制，部分學生對如何操作圓規存在困難。對尺規作圖中直尺無刻度的要求與現實直尺存在刻度及日常使用習慣間的矛盾，導致形成操作失誤。案例為[2014廣州.23]（本小題滿分12分）如圖6，△ABC中，AB=AC=，.（1）動手操作：利用尺規作以AC為直徑的⊙O，并標出⊙O與AB的交點D，與BC的交點E（保留作圖痕跡，不寫作 法）；（2）綜合應用：在你所作的圓中，①求證：；②求點D到BC的距離。在考題的年報分析中以及筆者閱卷中都發現有大量學生存在直接使用直尺刻度尋找AC中點問題。

四、教學建議

尺規作圖，指有限次使用無刻度直尺和圓規作圖。它有著悠久的歷史，遠在古希臘就已經提出，并由歐幾里德在《幾何原本》中以理論形式具體明確。我國也有關于尺規作圖的教學傳統，在《課標》中更對尺規作圖做出了明確要求。尺規作圖因其動手實踐的特性，符合《課標》提出的觀察、實驗、推理的學習過程，對培養學生幾何直觀數學核心素養具有不可替代作用。

通過內容分析法得到的研究結果，并結合筆者在教學一線的教學體會，筆者對“尺規作圖”這一教學內容提出如下教學建議。

1.重歷史背景，依人文故事，挖幾何魅力。尺規作圖這一知識板塊具有非常悠久的歷史，例如尺規不能問題中最著名的“幾何三大問題”：“倍立方問題”“化圓為方問題”和“三等分角”。在教學前，教師可以簡單介紹相關的歷史背景，告訴學生尺規作圖對“尺”“規”的要求。這樣既有趣又有現實背景的知識比較容易得到學生的接受，從而吸引學生學習的興趣。又如，通過高斯得到正十七邊形的尺規作圖法的故事，激起學生挑戰的欲望。再如，在講授作圓的內接正方形和正六邊形是可以作為前置作業，讓學生自己嘗試作圖，加深學生對知識掌握。而作為能力的拓展提高，教師可以在掌握尺規作圖的基本作圖后，通過開展專題的數學活動，讓學生感受幾何圖形美，培養學生運用知識解決生活實際問題能力。比如，教師可以結合軸對稱、中心對稱等知識對著名商標進行圖形欣賞及學習，如，“寶馬”“抖音”“蘋果”等，然后鼓勵學生對商標利用尺規作圖畫出基本圖形，感受幾何直觀，最后還可以開展自主創作活動，讓學生明白數學源于生活，服務生活。

2.明道理，定步驟，顯關系。“尺規作圖”的關鍵一步就是要善用并用好“尺”與“規”這兩個工具。“直尺”無刻度，實際就是作直線，可以用“飯卡”“筆桿”等替代。“圓規”其實就是截等長線段，可以用繩子代替。教師甚至可以通過“徒手畫圓”“繩子畫圓”的技巧展示“手臂”“繩子”這些定長度的性質。明白兩個工具的作用后，五種基本作圖其實就是利用它們來“作點”的工作。作一條線段等于已知線段其實就是最直接的運用。再結合學生最為熟知的“全等三角形的判定”，學生并不難掌握其他四種作圖的原理。掌握原理接下來就是操作流程，已有定點為圓心，畫弧找交點。簡而言之以點找點。例如，作一個角等于已知角，步驟1以角頂點為定點，畫弧得與角兩邊的交點，步驟2以兩點間的距離定新交點。通過作圖，直觀感受圖形的位置關系和等量關系，為進一步解決問題提供條件。

3.多聯系，常操作，會表達。尺規作圖重操作，但知識內容跨越整個初中學段特性是它的弱點，為此在宏觀上，作為教師需要統整課程，有依據、有目的、有計劃地合理運用其動手實踐，幾何直觀強，便于發現圖形內在關系的特點，建構在整個初中階段的幾何教學。在微觀處，教師應利用條件，甚至創造條件讓學生經常使用尺規，用多了自然就熟練，遺忘的情況就能避免。例如，三角形、圓部分本來就是基本作圖植根的基礎，而四邊形部分我們可以多發掘，諸如結合四邊形的性質及判定設計尺規作圖——已知三個頂點作平行四邊形；已知矩形相鄰兩邊長作對角線，求長度；已知兩對角線長作菱形，求面積。

在尺規作圖的教學中，筆者認為尺規作圖不僅要會操作，更應該會表達、能交流，然而由于《課標》提出“保留作圖的痕跡，不要求寫出作法”這要求，以致作圖語言在教學中普遍得不到重視，進一步導致學生對作圖語言不會說，產生看不懂的問題。因為作圖語言不同于日常用語和幾何證明語言，學生不宜掌握，所以定好范句，扎根證明，對學生尤為重要。如“連接**”“作直（射）線**”“在**上截取**=**”“延長**到*，使**=**”“作∠***=∠***”“作∠***的平分線**，交**于*”“作**⊥**，垂足為*，交**于*”，等等。只有做到作圖語言規范、精煉、準確，才能讓學生暢通表達，并借此引導學生將這些常用作圖語言的書寫遷移并落實在日后的幾何證明中，以此為依托，最終達到培養和提升學生建立幾何直觀核心素養的目的。

五、結束語

數學家阿蒂亞曾提出：“在幾何中，視覺思維占主導地位。”引導學生學會找到尺規作圖的道理，化抽象為具體，可以促進學生的幾何直觀能力的提高。尤其是在深入課改、突顯基本的今天，如何更好地培養學生的幾何直觀能力，如何跟有效、高效地將尺規作圖與學生能力的培養相結合，還有待于我們進一步研究，并時刻提醒我們在平日的教學中要善于做個有心人。

參考文獻：

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