精彩是因為直觀

楊繪

【摘要】高年級學生的抽象思維有所發展，但這種初步的抽象思維仍然離不開豐富感性材料的支撐，仍然需要直觀形象思維的支持。在教學中，借助幾何直觀把復雜的數學問題直觀地展現在學生面前，可以有效地幫助他們理解概念、探索解決問題的思路。

【關鍵詞】幾何直觀 直觀形象思維 圖形表征

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。徐利治教授用這樣一段話來描述：“幾何直觀就是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。”由此可見，幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在數學學習過程中發揮重要的作用。

一、直觀演示，理解分數意義

高年級學生的抽象思維有所發展，但仍具有很大成分的具體形象性。借助幾何直觀，化抽象為直觀，能促進學生對概念的理解，進一步提升學生思維的深度。在《分數的意義》教學中，有效利用直觀圖，為學生提供充分的感性材料，讓學生經歷分數的形成過程，從而在感性認識的基礎上上升到理性認識。

1，感悟單位“1”

師：要想知道黑板的長是多少米，可以怎么辦？

師：把1米看作一個單位來度量，有這樣的4個1米，也就是4米。

出示：把4個圓片看作一個單位來度量，用1表示，12個圓片用哪個數來表示？把6個圓片看作一個單位來度量，用1表示，12個圓片又該用哪個數來表示呢？為什么？

師：同樣是12個圓片，為什么剛才表示3，現在又表示2呢？

師：作為度量標準的1發生了變化。這樣的1，我們稱它為單位“1”。

通過用米尺度量黑板，再分別用4個圓片、6個圓片看作“1”去度量12個圓片，形象化地理解不同的“1”去計數，會產生不同結果。這樣使學生感悟作為度量標準的“1”是適應客觀需要而產生的，并促進學生對單位“1”的理解。

2.建構3/4的模型

師：把1個正方形、1米這樣的長度單位、8個圓片組成的整體分別看作單位“1”，下面的涂色部分又分別用怎樣的數來表示呢？

師：為什么涂色部分都用3/4來表示？

指出：像這樣一個物體，一個計量單位或是由許多物體組成的一個整體，都可以用自然數1來表示，通常我們把它叫做單位“1”。

師：為什么不同的圖都用分數3/4來表示？

師：把單位“1”平均分成4份，表示這樣3份的數，是3/4。也就是說3/4這個分數與單位“1”是誰沒有關系。

通過一個物體、一個計量單位以及一個整體作為單位“1”來度量，學生理解有幾個單位“1”就是幾，清晰地看到了用單位“1”去“量”的過程，在經驗積累的過程中逐步感悟：把單位“1”平均分是因為不夠“量”，平均分成幾份是由比較量決定的。這里，學生除了感覺到“分”的過程，也能感覺到“量”的過程，還能隱約感覺到“比”的過程。這樣，學生對單位“1”才能理解得更深刻，

從上面的教學環節中不難看到，教師引領學生經歷了3/4這一分數的建構過程，逐步厘清分數的本質。借助形象的直觀圖，引導學生經歷了“量”“分”“比”的過程，在比較中逐步感悟分數本質，最終能自覺剝離掉物體個數、圖形形狀等非本質屬性的影響，真正理解分數的本質，從而形成對分數清晰、深刻的認識，提升對分數意義的理解，建構分數直觀模型。

3.抽象分數意義

在線段上表示出分數的圖形，將抽象的分數轉化為直觀圖形，可以更好地幫助學生從整體上理解分數。“沒有圖形就沒有思考”（笛卡爾），“幾何直觀是領悟數學最有效的渠道”（阿提雅）。正是這些操作經驗的不斷累積，學生的腦海中會深深地刻下這些經常感知的圖形，需要時成為可以隨時提取的清晰的數學表象，成為展開數學想象的重要材料。因此在教學中，應借助于直觀圖形，培養學生的數學直覺，引導學生從不同的視角、方向、策略來思考問題，尋找解決問題的突破口。

二、借助數軸，認識分數單位

數軸能體現分數的高度抽象性，表明分數與自然數一樣可以在數軸上表示出來。借助數軸，幫助學生感悟分數單位，學生在數軸上一小格一小格地數分數、讀分數，就能很好地感悟數軸上的分數就是由相同的分數單位累積而成的。體驗分數單位的概念具有“數”和“形”兩方面的特征，對分數單位的認識更加深刻。

分數單位是組成分數的基本單位，等同于自然數的單位1。在教學中，借助數軸揭示了分數單位累積成為分數的形成過程，學生結合數軸明確了幾個1/4就是四分之幾，體會分數單位與分數之間的關系。在數軸上數一數的過程中，進一步體會到分數是分數單位的累加，把分數看成是“分數單位的累加”，延續了自然數中計數單位的認知，將知識有效遷移到分數中，從本質上理解分數單位即是組成分數的基本單位，而不是機械記憶分數單位是幾分之一這一外部特征。

三、圖形表征，鞏固分數運用

小學生的思維以直觀、形象思維為主要形式。他們對抽象的數學概念容易停留在記憶層面，不能真正理解概念的本質，因而容易產生各種錯誤。因此，面對抽象的數學知識，我們可以采用圖形表征問題，將抽象的知識形象化、直觀化，以簡潔、清晰的圖形分析數量關系，尋找解題思路，學生較容易突破語言邏輯的限制，使得思維更加開闊、靈活。

學生之所以對2/3小時和2/3比較難理解，本質原因是對單位“1”這一比較抽象、復雜的知識理解不夠到位。借助直觀圖，將復雜的問題變得形象、直觀，更好地幫助學生理解題意，充分激活學生的解題思維，調動學生思考問題的積極性。

斯蒂恩認為：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖像，那么就整體地把握了問題。”我國著名數學家張廣厚也認為：“抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的，同樣，在抽象中如果看不出直觀，一般說明還沒有把握問題的實質。”所以在實際教學中，遵循小學生的思維特點和學習規律，引導學生采用數形結合的方法表征抽象的數學知識，借助圖形的直觀性理解題意，尋找解題策略。

幾何直觀是一種能力，是一種策略，因此作為能力的提升，不可能在一堂課、一道題中體現，而是一個長期的、動態的過程。我們應抓住平時的點滴機會，有意識地滲透，唯有如此，我們才能逐步提高學生的幾何直觀能力。