關注數學抽象，發展學生核心素養

孫曉華 朱峰

【摘要】“數的概念”教學，要緊扣形象和抽象的融合點，以直觀可感的“形”為依托，以形感知，建立表象；以形促思，抽象本質；以形建模，發展數感，從而發展學生的數學核心素養。

【關鍵詞】核心素養 抽象 表象 數感 建模

史寧中教授提出：“數學核心素養表現在小學階段，主要是數學抽象、邏輯推理和數學模型三個方面。其中，數學抽象是舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。”數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，而數是對數量抽象的結果，數的關系則來自于數量的關系，因此，數的概念教學和數學抽象是密切相關的。筆者以蘇教版數學三年級下冊“數的概念”教學為例，談談如何通過數學抽象有效培養學生的核心素養。

一、以形感知，建立表象

表象是感性認識的一種高級形式，它是從具體感知到抽象思維的過渡和橋梁，是形象思維的基礎。小學生獲得概念的方式離不開對具體材料的充分感知。所以，我們應該提供有效并且足夠豐富的感性材料，讓學生剔除非本質因素，把握數的本質屬性，從而建立正確的表象。

對三年級學生而言，對小數的生活經驗還遠未觸及小數的本質，還要進一步在已有認識基礎上幫助學生形成數學認知。這時候，形的引入是極其必要的。

（1）喚起生活經驗：超市購物袋0.1元就是多少錢？這時候學生在小數和整數之間形成了初步聯結：0.1元就是1角。

（2）以正方形為載體，表示出0.1元：如果用1個正方形表示1元，你能畫一畫、涂一涂表示出0.1元嗎？

這時候學生會出現各種不同的表示方式，教師及時組織學生進行辨析：有的學生說圖1不能表示出0.1元，只是大約涂了一塊，沒有平均分，看不出0.1元和1元之間的關系。有的學生認為圖2平均分的份數不對，而圖3、圖4都把1元平均分成了10份，表示其中的1份確實是0.1元。

根據學生零零散散的描述，進一步追問：從同學們的評價中，聽出了大家的意見，要表示出0.1元，先要平均分，把1元平均分成10份。你們是怎么想到平均分成10份的？

學生思路漸漸明朗起來：因為0.1元就是1角，1元=10角，1角就是這10角中的1份，所以要表示出0.1元，得把1元平均分成10份。圖3和圖4雖然平均分的方式不同，但都是把1元平均分成10份，表示這樣的1份，

（3）充允想象：看著涂色部分，還想到了什么？（1/10）

繼而，繼續用一個正方形表示1元，在正方形中表示出0.2元、0.3元，并想象0.4元、0.5元……0.9元以及相對應的分數。

在這個過程中，借助正方形，由“分”“畫”“看”和“想”，充分調動多種感官，厘清了0.1元和1元之間的關系，把0.1元和1元聯結起來。生活事例用數學中的形表達出來，學生獲得了豐富的直觀感知：零點幾元就表示十分之幾元，十分之幾元可以寫成零點幾元。

認識分數同樣如此，只有真正動手去“圈”“畫”“分”，表示4個、6個、8個以及更多桃的二分之一、三分之一、六分之一，等等，才能把一個整體平均分的直觀過程和抽象的分數對應起來，建立起清晰的表象，在具體事例和數學表象之間架起了橋梁。

二、以形促思。抽象本質

數是符號，是對數量抽象結果的表征，以“形”來進一步引發學生的數學思考，是學生在對概念形成表象的基礎上進一步進行概括與提煉、抽象出本質內涵，并最終實現符號化的有效方式。

用正方形來表示1元、1角，把4個桃、6個桃平均分，這時候的形是具體可感且直觀單一的，而抽象概括本身需要大量的事例，在不斷的變式比較中把非本質的屬性剔除開來，所以隨之還需呈現變化多樣的形，在不斷凝練和濃縮、逐步升華中抽象出數的本質屬性，

在認識整體的幾分之一時，可以把4個桃、6個桃、8個桃、16個桃……100個桃，平均分成2份、3份、4份，等等，甚至可以出現一堆數也數不完的桃，讓學生來想象平均分的過程，并在描述中把實物的桃子圖逐步虛化抽象成下圖。

進一步借助觀察比較得出：不管有多少個桃，只要平均分成兩份，每份就是這些桃的二分之一，平均分成三份，就是這些桃的三分之一……并追問：除了可以把一些桃平均分，還可以把什么平均分？隨著學生的回答：把一些橘子、一些本子、一個班的同學、一堆黃沙等平均分時，這個虛化的正方形的內涵越來越豐厚，最終達到高度抽象：只要把一個整體平均分成幾份，每份就是這個整體的幾分之一。不斷抽象化的圖形和具體事例的逐步抽象相輔相成，最終平均分、平均分的份數、表示的份數這樣一個動態的過程與分數這個高度抽象化的符號之間形成完美對接。

同樣，在認識小數時，可以用一個正方形表示1元，如果把正方形壓一壓，就變成了長方形，再壓一壓……最終方方正正的圖形變成了—條細細的線段。

教師進一步提問：這樣一條線段能表示1元嗎？能表示1角嗎？還能表示什么？啟迪性的問題催生著學生的思考：這條線段除了可以表示1元，還可以表示1角、1米、1分米，等等。于是在這條線段上，學生對小數的認識越來越深入：零點幾米表示十分之幾米，零點幾分米表示十分之幾分米，甚至零點幾角表示十分之幾角……最終得出：這條線段可以表示任何一個“1”，平均分成10份，依次都能找到0.1、0.2、0.3、0.4……0.9，這時候具體的1元、1角、1米、1分米等數量進一步被抽象成了數：任何一個一位小數都表示分母是10的分數，分母是10的分數就可以寫成一位小數。一位小數的本質內涵在層層抽絲剝繭后被發掘出來，并形成0.1、0.2、0.3……0.9的符號化表達。

三、以形建模，發展數感

數感歸屬于數學抽象，是建立在明確的數概念和計算活動基礎上的對數的感悟，良好數感的建立對學生數學學習起著極其重要的作用。小學階段數感的培養同樣離不開數與形的結合，從原生狀態的形到抽象意義的形，借助“形”承載“數”的實際意義，逐步建立數的模型，數感就是在形與數之間的穿梭承接中漸漸發展起來的。

無論是認識分數還是認識小數，都需要以形建模，發展數感。當一個個桃子用一個個圓形來表示，當一堆桃子被抽象成虛化的圖形直至線段：當1元用1個正方形表示，當正方形承載更多的具象并不斷變化成長方形、線段，學生對分數、小數的認識也隨之層層遞進，外在的物理屬性被層層剝離后只剩下簡約的形與數一一對應時，分數、小數的模型呼之欲出了。這時候，教師不能停下腳步，而是要進一步引著學生往下走——

結合線段圖提問：如果這是直線的一部分，我們把它向右延長，1右邊還有2，2右邊還有誰？3右邊呢？……這時候你還能找到哪些分數和小數呢？

然后進一步追問：老師也找一個，1.8，它在哪兒呢？怎么找的？2.6在幾和幾之間？它在2.5的左邊還是右邊？你能找到100.1嗎？在哪兒？

由線段到直線，由線段向右不斷延伸，這條被賦予了方向的直線成了數學意義上的數軸。在教師的連續追問下，大大小小的分數和小數與數軸上的點一一對應起來，每兩個整數之間都能找到9個一位小數（即分母是10的分數），0.1（1/10）和1的十進制關系被清楚地展現出來，并且在數數找數的過程中，學生清楚地認識到越往右數越大，小數可以很小，也可以很大。數的大小關系在數軸上呈現出來時，數的模型便也成功建立，而學生的數感也在這個過程中得到很大程度的發展。

“數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的、具有數學特征的關鍵能力和思維品質。”無論是本文中提到的符號意識還是數感培養，抑或是其他能力都不是一蹴而就的，正如數概念的建立不能一次完成一樣，只有遵循小學生的認知特點不斷建構、逐步完善，在系統化的學習中以素養的形成來展開教學活動，那么，學生終身受用的數學學習的品質和能力才會漸次形成。