中小學數學中各類數的意義

安柯墁

摘 要：數是對一些事物、現象，或抽象概念的符號表達。中小學數學中學習了實數和復數。主要闡述實數中有理數的產生、發展和代表的意義，并簡單地介紹實數中的無理數及復數。

關鍵詞：計數；抽象；對應；自然數；分數

數是什么？瀏覽中小學數學教材，對數的認識不斷深入，數代表的意義越來越抽象化，數域慢慢擴大。下面，按照中小學對數認識的順序來談談中小學數學中學了哪些數，這些數表示的意義是什么？為什么這樣表示？

一、自然數

自然數是對自然界中的實物進行抽象對應的符號，而抽象對應的方法又在不斷的改進中，所以要深層次理解數的意義，必須要了解數產生的歷史和計數原理。

遠古時代，為了記錄勞動成果，人們發明了石子計數、結繩計數、刻痕計數。以一群羊為例，一頭羊對應一個石子，繩結或刻痕。一頭羊有眾多的屬性，羊角的形狀，羊毛的長短等，這樣計數，依據的是羊的什么屬性呢？（1）羊的獨立性，每一只羊是獨立的。（2）羊的整體性，以一整只羊為一個單位。（3）計數的群體具有相同的屬性。計數的方法是一對一的抽象對應。

人類在不斷發展，需要記錄的數越來越大，于是增大了計數單位，以一個大的石子代表十只羊或者更多，盡管這樣，原始的計數方法還是有很多不足之處，人們就發明了一些文字符號，如阿拉伯數字并且沿用至今。

對比古代計數方法和阿拉伯數字，所依據的羊的屬性相同，其計數的對應方法不同。古代計數方法是每一只羊對應一個相同的計數符號，加大了計數單位后，對于大的數還是需要繁多的計數符號；阿拉伯數字中，一只羊對應數字“1”，兩只羊對應數字“2”，以此類推，阿拉伯數字用不同的簡化符號來對應不同的羊。這樣就大大簡化了計數的文字符號，阿拉伯數字的位值法，增大了計數單位，能表示很大的數，又便于理解和記錄。

阿拉伯數字對應的事物滿足獨立性、整體性（單個事物的整體性作為最基本的計數符號，多個事物又可以看做新的整體對應一個計數符號）和相同屬性。例如，一片果林的蘋果，一個學校的學生，一個人體內的某細胞……這些事物，我們都可以用一些抽象符號來與之對應。

數的發展初期就是對這些自然界中實際存在的事物進行抽象對應的符號，所以這些數被人們稱作自然數。

后來人們用“0”來對應沒有任何事物的情況，并把它歸納為自然數。具體代表沒有什么事物，要依據所研究的對象了，“0”作為一種最特殊的狀況，在實際研究過程中，都會作為一個特例拿出來單獨討論。

二、分數

自然數和分數的本質區別在于，自然數與分數分別體現事物的整體與均分的思想。均分也要選擇一定的整體作為基礎，以一堆西瓜為例，首先它滿足自然數計數的三點：獨立性、整體性、相同屬性，因此，它可以計作“0，1，2，3，4…”，那么，被分成塊的西瓜用什么符號來表示呢？于是人們發明了分數。

把西瓜分成八份，取一份對應符號“1/8”（此分數的計數單位），取兩份對應符號“2/8”，以此類推，取八份對應符號“8/8”，以自然數計數也可對應“1”。

對于這類均分的事物，就可以用分數來對應，分數就是這些事物對應的抽象符號。這些事物同樣滿足獨立性、整體性、相同屬性。

小數作為一種特殊的分數，其計數單位為：“1/10，1/100，1/1000……”為什么有了分數，還要發明小數呢？在計算和解決一些實際數學問題過程中，分數有諸多不便的地方：（1）有些事物不能清楚地知道被均分成了多少份而取了幾份。（2）分數單位不統一帶來的不便。因此發明了小數，小數作為分數的近似，不必像分數這樣精確，而小數又統一了計數單位。小數沿用了整數的位值法，在任意一個整數中，任意選中一個數字，左邊一位數的計數單位是當前這位數的10倍，所以個位的計數單位為“1”，第一位小數上的數字的計數單位為“1/10”，因此稱作“十分位”，以此類推。

三、負數

生活中會有這樣一些量，收入和支出，升高的量和降低的量，增加的量和減少的量……以收入和支出為例，收入5元，支出5元，但是這兩個5代表的意義不同，所以單單一個數字“5”是不能表達他們的不同的，要在前面加上一些描述性語言來區分，即收入和支出，這些語言也是一些抽象的符號，不過沒有數學符號簡潔。

于是人們用“+”和“-”來表示這種具有相反意義的關系，這樣數字前面加上正負號表示了更多的抽象意義。

引入負數以后，數字所抽象對應的事物就從自然界的實物拓寬到一些事件，以及人類自定義的一些抽象概念。例如：海拔高度，海平面零米是人為規定的臨界點，高出和低于海平面高度的數字前面分別加上“+”于“-”，正號可省略。要用負數來抽象對應事物，必須要注意：（1）臨界點是什么？即“0”表示什么。（2）相反意義的量是什么？（3）確定數值。

四、有理數

把自然數向負數擴充，正整數、零、負整數統稱為整數；正分數、負分數統稱為分數；整數和分數統稱為有理數。整數、分數、正數、負數都可以顧名思義，而有理數卻讓我費解了，更有道理的數？

有理數是對“Rational number”的直譯。這詞源自古希臘，詞根為“ratio”，比率的意思。不難理解，有理數表示的是能化成比率的數。分數自然能看作一個比例，整數又能化成分數，因此，所有的有理數都能化成比例。有理數的意義在前面已經說明，就不在此累述。

五、無理數

在研究一些開方數和圓周率時，人們發現一些不能表示成比例的數，對比有理數，就稱這些數為無理數。無理數可分為正無理數、負無理數，所有的無理數可化為無限不循環小數。無理數的意義可以類比有理數得到。

六、復數

復數是指能寫成如下形式的數a+bi，這里a和b是實數，i是虛數單位（即-1開根）。其代表的意義在中小學階段不作要求，就不作說明。

參考文獻：

[1]塔巴克.數[M].王獻芬，譯.商務印書館，2008-03.

[2]約翰·塔巴克.數學和自然法則：科學語言的發展史[M].商務印務館，2007-01.