高中函數概念教學研究

摘 要：在高中數學教學中，函數內容占了很大的比重，它是高中數學教學的一個基本概念，滲透在高中數學的各部分中，更是高考的一個重點和熱點。因此，學好函數成了高中學生學習數學的熱點和難點。函數概念是一個認知根源，是學生理解其他概念的基礎，架起了中學不同數學領域橋梁的，是常量數學到變量數學學習的開始，函數與、集合、方程式、不等式、代數式、數列、極限這些數學知識密切相連，函數思想是中學生應該掌握的基本數學思想之一。

關鍵詞：函數概念；數學教學；高中研究

一、 函數的表示方法

函數的表示方法有以下幾種：解析式法、圖像法、語言描述法和列表法。

（一） 解析式法

這種方法的優點是能簡明、準確、清楚地表示出函數與自變量之間的數量關系；缺點是求對應值時往往要經過較復雜的運算，而且在實際問題中有的函數關系不一定能用表達式表示出來。解析式法就是用含有數學關系的等式來表示兩個變量之間的函數關系的方法。

（二） 圖像法

把一個函數的自變量x與對應的因變量y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖像。這種表示函數關系的方法叫做圖像法。這種方法的優點是通過函數圖像可以直觀、形象地把函數關系表示出來；缺點是從圖像觀察得到的數量關系是近似的。

（三） 語言描述法

使用語言文字來描述函數的關系。

（四） 列表法

用列表的方法來表示兩個變量之間函數關系的方法叫做列表法。這種方法的優點是通過表格中已知自變量的值，可以直接讀出與之對應的函數值；缺點是只能列出部分對應值，難以反映函數的全貌。

二、 函數的特性

（一） 有界性

函數區別于數學中的其他概念的一個重要方面是：它可以利用語言、符號、表格、圖形等多種形式研究設函數f（x）在區間X上有定義，如果存在M>0，對于一切屬于區間X上的x，恒有|f（x）|≤M，則稱f（x）在區間X上有界，否則稱f（x）在區間上無界。

（二） 單調性

設函數f（x）的定義域為D，區間I包含于D。如果對于區間上任意兩點x1及x2，當x1f（x2），則稱函數 f（x）在區間I上是單調遞減的。單調遞增和單調遞減的函數統稱為單調函數。

（三） 奇偶性

設f（x）為一個實變量實值函數，若有f（-x）=-f（x），則 f（x）為奇函數。幾何上，一個奇函數關于原點對稱，亦即其圖像在繞原點做180度旋轉后不會改變。奇函數的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。設f（x）為一實變量實值函數，若有f（x）=f（-x），則f（x）為偶函數。幾何上，一個偶函數關于y軸對稱，亦即其圖在對y軸映射后不會改變。偶函數的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。偶函數不可能是個雙射映射設函數f（x）的定義域為D。如果存在一個正數T，使得對于任一x∈D有（x±T）∈D。

（四） 周期性

設函數f（x）的定義域為D。如果存在一個正數T，使得對于任一x∈D有（x±T）∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，則稱 f（x）為周期函數，T稱為f（x）的周期，通常我們說周期函數的周期是指最小正周期。周期函數的定義域D為至少一邊的無界區間，若D為有界的，則該函數不具周期性。并非每個周期函數都有最小正周期，例如狄利克雷函數。周期函數有以下性質：

（1）若T（T≠0）是f（x）的周期，則-T也是f（x）的周期。

（2）若T（T≠0）是f（x）的周期，則nT（n為任意非零整數）也是f（x）的周期。

（3）若T1與T2都是f（x）的周期，則T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整數倍。

（5）T*是f（x）的最小正周期，且T1、T2分別是f（x）的兩個周期，則T1/T2∈Q（Q是有理數集）

（6）若T1、T2是f（x）的兩個周期，且T1/T2是無理數，則f（x）不存在最小正周期。

（7）周期函數f（x）的定義域M必定是雙方無界的集合。

（五） 連續性

在數學中，連續是函數的一種屬性。直觀上來說，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數被稱為是不連續的函數（或者說具有不連續性）。

三、 培養學生數學學習興趣

數學教學很重要的一個任務就是培養學生學習數學的興趣，中學教師值得去在這方面做一些研究，因為同學的數學基礎不盡相同，學生的心理發展水平也不同，所以，刺激和激發其學習的方式方法也就不一樣。教師應該關注以下幾點：克服消極心理，開導學習興趣；創設問題情境，激發學習愛好；增強應用意識，誘發學習興趣；這些都要靠教師在數學知識，數學思想，數學方法，數學歷史中，找到其蘊含的興趣因素，需要教師的發掘和加工。教師要有特別的方法，讓學生對難點沒有恐懼感，循循善誘，對癥下藥，破除硬塞，疏通心路，使學生體會到知識的力量，學生的興趣才能成功地激發。

總之，高中函數的特點決定了高中學生學習函數的困難，打實基礎知識卻是一個永恒的教學主題。所以教學雖然有方法，但還是要改善和總結，去適應課程。難點是相對暫時的，由淺到深、由易到難的過程，也是每個學生能力提高的過程。教學中積極調動學生的全部智力因素，充分挖掘其學習潛能，重視課堂教學的啟發引導作用，培養學生對函數問題多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用的良好學習習慣，同時培養學生在學習、理解、訓練應用中有意識地鍛煉自己合理的邏輯推理、抽象思維和分析解決問題的能力，從而克服函數教學的難點，提高函數教學質量。

參考文獻：

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作者簡介：

何遠紅，貴州省黔南布依族苗族自治州，貴州省甕安中學。