“向量法”在高中數學立體幾何中的應用

喬青青

【摘要】用向量法解決高中數學中的立體幾何問題，是非常常見的.高中數學立體幾何中的問題是非常抽象和難懂的，于是為了方便學生們解決立體幾何的問題，開始采用向量的方法解決立體幾何問題.高中的數學已是非常的復雜難懂，沒有向量這個方法，立體幾何問題都會成為數學中的一大難題.向量方法在數學中有非常重要的地位.而我們這篇文章主要是淺析向量方法在高中立體幾何中的應用.

【關鍵詞】高中數學；立體幾何；向量法；應用

向量法是數形結合的一種解決方法，它是將空間或平面的線線、線面、面面的抽象位置關系轉化成數字的計算問題，化抽象為具體，方便學生們解決立體幾何問題.向量法在高中數學是常用來解決平面幾何問題和立體幾何問題的，雖然有了向量法可以方便學生們解決高中數學中常見的幾何問題.但相應的，也在立體幾何等問題上大大增加了難度.

而高中數學中的立體幾何問題主要考查學生們的空間思維轉換能力和想象能力，具有較強的考查力.而向量法的應用就大大減少了一些學生們思維上的晦澀，方便學生們解決立體幾何問題中的難題.而把向量法引入高中教材，不僅大大地減少了學生們解決問題的難度；而且有效地減少了畫輔助線的應用，使解決問題的步驟大大地減少，有效地節約了考試的時間.為廣大學生提供一個好的學習方法.

一、淺析向量法

向量，顧名思義就是有方向的.在使用向量法，解決問題當中一定要注意向量的方向性.向量法就是把立體幾何問題放到三維的直角坐標系中，直觀地展現在我們面前.根據空間直角坐標系中的圖形大小來設定數值，并求出各種向量的值和所需角度的大小以及各種所需距離等，一步步地計算來達到我們解決幾何問題的目標.

而用向量法解決立體幾何問題，就必須學會運用向量解決簡單的平面幾何問題.

二、向量法在幾何問題中的應用

向量法則以算術代替文言證明，在一定程度上減輕了教師對學生們邏輯思維的要求，但我們也應該注意到，向量法計算更為煩瑣復雜，運算量又比較大，所以在運算時我們必須小心謹慎，否則就會功虧一簣.

這些都是一些基礎的向量運算法則，除了要掌握這些，還要學會轉換運用.這是向量的基礎運算也是立體幾何的基礎運算.接下來，就給大家介紹一下利用向量解決一些簡單幾何問題的例題.

（一）用向量法求空間角度問題

比如，求異面直線a和直線b所成夾角的問題.對這種問題，我們應該確定兩條直線a，b方向的向量m和向量n，接著直接求向量m和向量n之間的夾角就可以了.

（二）用向量法求直線與平面之間的夾角

我們先假設直線a和平面b.對于直線a和平面b之間的夾角問題，我們應先從直線a上引一點做平面b之間的法向量.再取直線a上的向量n，就求向量n和平面b的法向量之間的夾角，我們求出來的夾角就是直線a和平面b之間的夾角.

（三）用向量法求二面角

用向量法去求二面角是非常簡單的.我們先假設有兩個平面α和β，接著作出平面α的向量n1和β平面的向量n2.而兩個向量n1和n2之間的夾角就是我們所求的二面角.

綜上所述，用向量法求數學中的幾何問題是非常的簡單的，就是算求應用得比較多.

（四）用向量法求面與面之間的問題

用向量法求面與面之間的問題，就是在（三）的基礎上，分別求出兩個面的法向量，再利用向量法去求兩個法向量之間的夾角，任何問題都迎刃而解了.但前提是你要求對這兩個面的法向量哦.

三、什么是立體幾何

數學上，立體幾何是三維歐氏空間幾何的傳統名稱.立體幾何一般作為高中數學平面幾何之后的課程，進一步加強對學生們思維上和數學能力的訓練.

在高中數學中用向量法去解決立體幾何問題有兩個重要的手段，其一即直線的方向向量和平面的法向量之間的各種角度問題，他們也就是實現空間問題向向量轉換之間的聯系，而平面與平面之間的問題就是由這一步進一步轉化而來的.其二用空間向量方法去證明立體幾何中普遍存在平行與垂直問題，角的問題，距離問題等數學問題，都是運用了直線的方向向量和平面的法向量之間的關系，再一步步地計算進而達到解決問題的要求，在此基礎上我們還要借助教材的向量的一些定理來進行輔助.

常見的立體幾何問題，有三種.其一就是在一個立體圖形內求各種角度的問題；其二就是證明這個立體幾何圖形內面面垂直或線面垂直或平行等問題；其三就是給你一個角度，求出滿足這個角度下線段大小的常用問題等.這三個問題中最考驗學生數學能力的就是第三個問題，它屬于一種倒推思路的應用.它需要學生有嚴密的邏輯思維和強大的算求能力，非常考驗學生的數學能力.

在處理立體幾何問題中，你一定要清楚地明白它的三視圖即正視圖、側視圖、俯視圖.看清這些，會讓你在頭腦中重現這個立體幾何，你會明白它有幾條線幾個面，對進一步解決問題是有很大幫助的.

例如，這道題：在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°.

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；

（3）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長.

這道題是典型的需要用向量法去求解的.

四、結束語

在高中數學中，一看到立體幾何問題，第一想到的就是好困難，好抽象；第二才會想到要用“向量法”來解決問題.所以說高中的立體幾何問題不僅困難，你還要用向量法去解決難題.進而說明了高中的立體幾何離不開向量，在高中生涯中，一定要學好怎樣去用向量去解決問題尤其是立體幾何問題.學好向量的有關用法，高中數學就相當于你學會了一半.“向量法”在高中數學立體幾何中的應用是非常重要的，也是解決立體幾何問題中至關重要的一把鑰匙.

【參考文獻】

[1]董志茹.向量在解決高中數學問題中的應用[D].呼和浩特：內蒙古師范大學，2013.

[2]吳光峰.法向量在高中數學立體幾何教學中的應用研究[J].數學學習與研究，2016（3）：5.