數學歸納法在高中數學教學中的應用研究

邱奉美+劉嶠

摘 要：數學歸納法是一種用于證明與正整數有關的數學命題的基本方法，有助于發展學生的創造性思維，培養學生觀察、推理、歸納以及數學證明能力。文章研究數學歸納法在不等式證明問題、幾何問題中的應用。

關鍵詞：數學歸納法；高中數學；數學思維；能力培養

中圖分類號：G421；G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2016）25-0047-01 數學歸納法是中學數學證明題中常用的思想方法之一，近年來，數學歸納法的靈活運用是高考考查的重點。在高中數學教學中，教師要加以重視，有效滲透，巧妙運用，從而提升學生觀察、推理、歸納以及數學證明能力。數學歸納法主要用于證明與正整數n有關的命題的正確性。通常包括三個主要步驟：一是找準起點，歸納奠基。證明當n取第一個值n=n0時（n0=1或2時），命題結論成立。二是猜想假設，邏輯推理。假設n=k（k≥n0，k∈N+）時的命題結論成立，那么則可以利用已知條件和假設條件推導出n=k+1時的命題結論也成立。三是綜合歸納，做出判斷。即綜合步驟一和二，總結命題的正確性。

一、數學歸納法在不等式證明問題的應用

數學歸納法在證明不等式問題方面有著廣泛的應用，可以優化解題過程，提高解題效率。在運用數學歸納法證明不等式問題時，若直接進行證明，往往難度較大。此時，需要借助不等式的可加性和傳遞性，細心觀察，大膽聯想，適時假設不等式與目標不等式的特征關系，從而使問題迎刃而解。因此，教師要重視解題方法的指導，提高學生的解題能力。

【例題】證明：如果n（n為正整數）個正數a1，a2，…，an的乘積a1a2…an=1，那么它們的和a1+ a2+…+ an≥n.

【證明】（1）當n=1時，有a1=1，命題正確。（2）假設當n=k時，命題成立，即若k個正數的乘積a1a2…an=1，則有a1+ a2+…+ ak≥k。當n=k+1時，已知k+1個正數a1，a2 ，…，ak，ak+1滿足條件a1a2…ak+1=1。若這k+1個正數a1，a2，…，ak，ak+1都相等，則它們都是1，其和為k+1，命題得證。若這k+1個正數a1，a2，…，ak，ak+1不全相等，則其中必有大于1的數與小于1的數，否則與a1a2…ak+1=1相矛盾。不妨設a1>1，a2<1，將乘積a1a2看成一個數，這樣就可以得到k個正數a1，a2，a3，…，ak，ak+1的乘積是1，借助歸納假設法，可以得到a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥k。∴a3+a4+…+ak+ak+1≥k-a1a2，∴a1+a2+…+ak+ak+1-（k+1）≥a1+a2+k-a1a2-（k+1）=-（a1-1）（a2-1），∵a1>1，a2<1，∴-（a1-1）（a2-1）>0，∴a1+a2+…+ak+ak+1-k-1>0，即a1+a2+…+ak+ak+1>k+1，∴當n=k+1時，命題成立。綜合（1）和（2），可知對于一切正整數n，如果n個正數a1，a2，…，an的乘積a1a2…an=1，那么它們的和a1+a2+…+an≥n這一命題成立。

【點評】該題的關鍵點，是要由“假設不等式”成立推證到“目標不等式”成立。當由“假設不等式”向“目標不等式”過渡存在一定的困難時，需要架橋鋪路，構設“中間不等式”，借助“中間不等式”完成向“目標不等式的過渡”。

二、數學歸納法在幾何問題中的應用

在數學解題過程中，運用數學歸納法解決幾何問題，需要借助由特殊到一般的方法。先進行猜想，得出一般性結論用于假設條件，然后再運用數學歸納法，由特殊值開始論證，以驗證特殊性的成立。接著，證明假設條件n=k時命題成立，從而分析推導出n=k+1時的命題也成立。

【例題】n個半圓的圓心在同一條直線l上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側，請問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓弧？

【解析】設這些半圓最多互相分成f（n）段圓弧，借助從特殊到一般的方法，進行猜想和驗證。第一種情況：當n=2時，兩個半圓交于一點，則可分成4段圓弧，故f（2）=4=22。第二種情況：當n=3時，三個半圓交于三點，則可分成9段圓弧，故f（3）=9=32。第三種情況：當n=4時，四個半圓交于六點，則可分成16段圓弧，故f（4）=16=42。由此可以猜想滿足條件的n個半圓互相分成圓弧段有f（n）= n2。借助數學歸納法加以證明：（1）當n=2時，f（2）=4=22，命題成立。（2）假設n=k時，f（k）=k2，那么當n=k+1時，第k+1個半圓與原k個半圓均相交，為獲得更多的圓弧，任意三個半圓不能交于一點，所以第k+1個半圓與原k個半圓中的每個半圓中的一段圓弧分成兩段弧，這樣就可多出k條圓弧；另外原k個半圓把第k+1個半圓分成了k+1段，這樣又多出了k+1段圓弧。∴f（k+1）=k2+k+（k+1）=k2+2k+1=（k+1）2，∴滿足條件的（k+1）個半圓被所有的交點最多分成（k+1）2段圓弧。綜合（1）和（2）可知，滿足條件的n個半圓被所有的交點最多分成n2段圓弧。

【點評】該題的關鍵，是找出幾何元素從k個變成k+1時所證的幾何量將增加多少，此時需要借助幾何圖形加以分析。增加一個半圓時，圓弧段增加的條數，可從f（2）=4，f（3）= f（2）+2+3，f（4）=f（3）+3+4中發現規律：f（k+1）=f（k）+k+（k+1）。

三、結束語

總之，數學歸納法的巧妙運用對于發展學生的創造性思維，培養學生觀察、推理、歸納以及數學證明能力起著積極的促進作用。在高中數學教學中，教師要注意有效滲透數學歸納法，結合典型例題分析，幫助學生掌握數學歸納法，培養學生思維深刻性和創造性，提升學生數學解題能力。

參考文獻：

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[2]朱華偉，史亮.高中數學新課程標準中的歸納[J].數學通訊，2005（13）.