學(xué)“數(shù)”以致用用“數(shù)”以促學(xué)

汪道智

【摘要】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是近期數(shù)學(xué)教育研究的熱門(mén)話(huà)題.數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)更是在平常教學(xué)中被教育者所忽視的.我們的教學(xué)中，一方面，要讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)后能在生活中使用數(shù)學(xué)，感受到數(shù)學(xué)的作用，另一方面，通過(guò)使用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展能力.做到學(xué)“數(shù)”以致用，用“數(shù)”以促學(xué).

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)建模；能力培養(yǎng)

“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”已經(jīng)成為近年來(lái)數(shù)學(xué)教育研究中很多人關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題.首都師范大學(xué)王尚志教授在“關(guān)于普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂”的專(zhuān)題報(bào)告中提出：中國(guó)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng).

其中，“數(shù)學(xué)建?！笔窃谠咧袛?shù)學(xué)課改大綱要求的抽象概括、邏輯推理、空間想象、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理五大能力基礎(chǔ)上做出的新的要求.在教學(xué)過(guò)程中筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生看不到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中也感受不到數(shù)學(xué)的作用，甚至很多數(shù)學(xué)教師在教育的過(guò)程中對(duì)學(xué)生說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了高考.”這真的是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種悲哀.筆者認(rèn)為，在教學(xué)中，一方面，要讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)后能在生活中使用數(shù)學(xué)，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用，另一方面，讓學(xué)生通過(guò)使用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.筆者將在本文中談?wù)劷虒W(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)問(wèn)題.

一、數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的必要性

R·柯朗在《什么是數(shù)學(xué)》的序言中有這么一段話(huà)：“今天，數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟演變成空洞的解題訓(xùn)練，這種訓(xùn)練雖然可以提高形式推理的能力，但卻不能導(dǎo)致真正的理解與深入的獨(dú)立思考.數(shù)學(xué)研究已經(jīng)出現(xiàn)一種過(guò)分專(zhuān)門(mén)化和過(guò)于強(qiáng)調(diào)抽象的趨勢(shì)，而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系.”在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，大部分教師也在對(duì)學(xué)生進(jìn)行著大量反反復(fù)復(fù)的解題訓(xùn)練，學(xué)生只能長(zhǎng)時(shí)間地處于一種被動(dòng)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，一直到高考結(jié)束.然而，這樣的學(xué)習(xí)方式造成的結(jié)果是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種厭煩，不知道為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).有這樣一個(gè)例子：一所“985”高校，學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)平均分在125以上，入學(xué)后僅一個(gè)月，學(xué)校再次組織學(xué)生考同樣的高考試卷，平均分降到了100分，再過(guò)了兩個(gè)月，考同樣的試卷，平均只有及格了.這說(shuō)明很多學(xué)生在高考結(jié)束后原來(lái)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)很快就忘了，這樣的教學(xué)還有什么實(shí)際的意義.可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)是非常必要的.而數(shù)學(xué)建模（mathematica modeling）是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，能讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

二、關(guān)于高中數(shù)學(xué)建模

（一）《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》對(duì)數(shù)學(xué)建模的要求[1]

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》要求：高中數(shù)學(xué)建模要以不同形式滲透于必修以及選修的課程中去.《標(biāo)準(zhǔn)》雖然對(duì)數(shù)學(xué)建模的課時(shí)和內(nèi)容沒(méi)有做具體安排，但是教師可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況安排數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的內(nèi)容.實(shí)際上普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)人教A版的教材中在很多章節(jié)里都設(shè)置了關(guān)于數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題.如，必修四第62頁(yè)例4、選修2-2第35頁(yè)例3.

筆者認(rèn)為在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該對(duì)教材中設(shè)置的部分?jǐn)?shù)學(xué)建模的活動(dòng)予以重視，因?yàn)樗鼮閷W(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的環(huán)境，為不同水平的學(xué)生提供展現(xiàn)他們創(chuàng)造力的舞臺(tái).學(xué)生在參與數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中能得到學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的實(shí)際體驗(yàn)，有助于對(duì)數(shù)學(xué)的理解，并能激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力.

（二）高中數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題選擇

不同的學(xué)生有不同的數(shù)學(xué)發(fā)展水平，開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的關(guān)鍵是尋找適合學(xué)生參與的好問(wèn)題.筆者在教學(xué)中結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)，并結(jié)合正常的課堂教學(xué)，在部分環(huán)節(jié)上“切入”建模的問(wèn)題以及與學(xué)生的生活實(shí)際緊密相關(guān)的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).這樣不僅不會(huì)增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且在建模的活動(dòng)中加深了對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，做到學(xué)“數(shù)”以致用，用“數(shù)”以促學(xué)，從而培養(yǎng)能力，激發(fā)興趣，形成學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的良性循環(huán).

（三）高中數(shù)學(xué)建模的基本流程框圖

三、教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的意義

（一）有利于開(kāi)闊學(xué)生的視野

數(shù)學(xué)建模所要解決的問(wèn)題往往不僅僅是數(shù)學(xué)這一門(mén)學(xué)科的問(wèn)題，它除了要求學(xué)生要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，還要求學(xué)生有較強(qiáng)的查閱資料的能力，必要時(shí)還需要了解實(shí)際生活中的很多問(wèn)題，如工廠生產(chǎn)、物理化學(xué)原理、經(jīng)濟(jì)投資等方面的相關(guān)知識(shí).數(shù)學(xué)建模的過(guò)程能讓學(xué)生感受到原本想象中很簡(jiǎn)單的事情做起來(lái)并不簡(jiǎn)單，要解決問(wèn)題，原有的知識(shí)根本不夠.需要翻閱大量的書(shū)籍或者充分利用網(wǎng)絡(luò)的力量拓寬自己的知識(shí)面.

（二）有利于增強(qiáng)學(xué)生的自學(xué)能力和創(chuàng)新能力

在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式中，學(xué)生的很多知識(shí)都是在一種被灌輸?shù)臓顟B(tài)下掌握的，尤其是高中的應(yīng)試模式，都是教師先講例題，學(xué)生再模仿，不利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的發(fā)展.隨著社會(huì)的發(fā)展，在知識(shí)激增、科學(xué)技術(shù)日新月異的今天，人們要適應(yīng)不斷發(fā)展變化的新的生活環(huán)境，沒(méi)有一定的自學(xué)能力必將被社會(huì)所淘汰.不會(huì)自學(xué)就更加不會(huì)創(chuàng)新，如今的時(shí)代更是一個(gè)創(chuàng)新的時(shí)代.學(xué)生在參與數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中必然會(huì)去主動(dòng)學(xué)習(xí)一些教材中所沒(méi)有的知識(shí)，在遇到問(wèn)題時(shí)能迸發(fā)智慧的火花挖掘出內(nèi)在的潛能去創(chuàng)造新的解決問(wèn)題的方法.

（三）有利于培養(yǎng)學(xué)生相互合作的團(tuán)隊(duì)意識(shí)

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)往往不是一個(gè)人完成的，它需要多人合作分工.俗語(yǔ)說(shuō)：“三個(gè)臭皮匠，頂個(gè)諸葛亮.”一個(gè)人的思考總是不夠全面的，只有一個(gè)團(tuán)隊(duì)密切合作、集思廣益、取長(zhǎng)補(bǔ)短，才能從不同觀點(diǎn)的討論中綜合出最優(yōu)的方案.這種相互合作的團(tuán)隊(duì)意識(shí)，在未來(lái)的工作和生活中是極為重要的.

（四）有助于提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模首先需要將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和想象力；數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是反復(fù)利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析、推理與計(jì)算的過(guò)程，有助于提高學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)計(jì)算能力以及對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力等.所以，開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)有利于對(duì)學(xué)生其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提高.endprint

四、高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例分析

高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)該滲透到各個(gè)模塊的學(xué)習(xí)中去，如函數(shù)問(wèn)題、三角函數(shù)問(wèn)題、不等式問(wèn)題、解析幾何問(wèn)題、立體幾何問(wèn)題、概率問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題、平面向量等等.

下面是筆者在教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)數(shù)學(xué)建模案例“足球比賽中的射門(mén)位置問(wèn)題”.

問(wèn)題的提出：相信不少同學(xué)喜歡踢足球，請(qǐng)同學(xué)們思考，什么時(shí)候是射門(mén)的最好時(shí)機(jī)？

問(wèn)題分析：在不考慮其他因素的情況下，射門(mén)的角度越大，就越容易進(jìn)球.

資料準(zhǔn)備：需要同學(xué)們了解足球方面的一些常識(shí).

足球場(chǎng)：

國(guó)際比賽標(biāo)準(zhǔn)：長(zhǎng)度最短100米（110碼），最長(zhǎng)110米（120碼）；寬度最短64米（70碼），最長(zhǎng)75米（80碼）.

模型假設(shè)：不考慮球員的個(gè)人能力問(wèn)題，以點(diǎn)代替足球，以直線(xiàn)代替足球的軌跡，射門(mén)時(shí)沒(méi)有受到防守隊(duì)員的干擾.

模型的建立及求解：

國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)地的規(guī)格為：長(zhǎng)104米、寬69米，足球門(mén)寬7.32米，中圈半徑9.15米.

問(wèn)題討論1：右前鋒得球后，沿平行于邊線(xiàn)的直線(xiàn)PC帶球到前場(chǎng)，球門(mén)AB寬7.32米，球門(mén)柱A到PC的距離AC=a米，那么右前鋒要將球推進(jìn)到距底線(xiàn)CD多少米時(shí)，為射門(mén)的最佳位置？

學(xué)生甲：當(dāng)∠APB最大時(shí)為最佳射門(mén)位置.

如圖1所示，設(shè)PC=x，∠APC=β，∠APB=α，

則tanβ=ax，tan（α+β）=7.32+ax，

tanα=tan（α+β）-tanβ1+tan（α+β）·tanβ=7.32+ax-ax1+7.32+ax·ax

=7.32x+（7.32+a）·ax≤7.322x·（7.32+a）·ax

=7.322（7.32+a）·a，

當(dāng)且僅當(dāng)x=（7.32+a）·ax時(shí)，等號(hào)成立，即x=（7.32+a）·a 時(shí)，tanα取得最大值，由正切函數(shù)的單調(diào)性知此時(shí)∠APB最大.所以，當(dāng)球員到底線(xiàn)距離為（7.32+a）·a時(shí)為最佳射門(mén)位置.

教師：非常好，現(xiàn)在甲同學(xué)已經(jīng)把球員在邊路某一直線(xiàn)上的最佳射門(mén)位置找到了，同學(xué)們?cè)偎伎寄懿荒軐⑶騿T在接近球門(mén)的某一區(qū)域內(nèi)的最佳射門(mén)位置找到？

學(xué)生乙：可以建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，球員在右側(cè)進(jìn)攻時(shí)，設(shè)球員的位置P（x，y），剛才解法中的a=y-3.66，即x=（3.66+y）·（y-3.66），化簡(jiǎn)得y2-x2=3662（x≥0，y≤34.5）.這樣，最佳的射門(mén)位置所形成的軌跡是雙曲線(xiàn)的一部分.

教師：太棒了，乙同學(xué)告訴球員進(jìn)攻時(shí)按照這條雙曲線(xiàn)的軌跡找最佳射門(mén)位置，快點(diǎn)告訴他們，中國(guó)能去俄羅斯了.同學(xué)們?cè)僮屑?xì)思考，我們得到的射門(mén)最佳軌跡是在門(mén)框兩側(cè)的區(qū)域，那么如圖3所示，門(mén)框范圍線(xiàn)內(nèi)的區(qū)域如何尋找最佳射門(mén)位置呢？

學(xué)生丙：如圖3所示，在門(mén)框區(qū)范圍線(xiàn)域內(nèi)，若P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y保持不變，很顯然橫坐標(biāo)x越小，∠APB越大；若橫坐標(biāo)y保持一定，tan∠APB=AEx+BEx1-AEx·BEx，

由于AE+BE=7.32，且AE·BE≤（AE+BE）24，所以tan∠APB≤7.32x-7.3224x，當(dāng)且僅當(dāng)AE=BE時(shí)，“=”成立.即P點(diǎn)在x軸上時(shí)，∠APB取得最大值.

教師：非常好，三名同學(xué)把球場(chǎng)各個(gè)不同區(qū)域內(nèi)的最佳射門(mén)位置找到了.剛才討論的問(wèn)題都是局限于平面范圍內(nèi)討論，也是相對(duì)簡(jiǎn)單的研究結(jié)果.其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有那么簡(jiǎn)單.比如，我們還可以考慮球員射門(mén)時(shí)足球的飛行軌跡與地面形成的角度，也可以研究球員射門(mén)時(shí)守門(mén)員的最佳防守位置等等.當(dāng)然，要解決這些復(fù)雜的問(wèn)題，我們需要更多的知識(shí)和數(shù)據(jù)的收集，同學(xué)們可以在進(jìn)入大學(xué)后深入研究這類(lèi)問(wèn)題.

在上述教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生用到了兩角和差的正切公式、基本不等式、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程等高中數(shù)學(xué)常用的知識(shí)，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使他們感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的，從而達(dá)到學(xué)以致用、用以促學(xué)的教學(xué)目的.

總之，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，有利于開(kāi)闊學(xué)生的視野，有利于增強(qiáng)學(xué)生的自學(xué)能力和創(chuàng)新能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生相互合作的團(tuán)隊(duì)意識(shí)，有助于提高學(xué)生的綜合素養(yǎng).

在高中數(shù)學(xué)的教育過(guò)程中，應(yīng)該穿插數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，使得學(xué)生在學(xué)完一塊內(nèi)容之后能感受所學(xué)知識(shí)的作用，體會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)涵與魅力.同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)以及提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]嚴(yán)士健，張奠宙，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004：279-288.endprint