讓條件躍然圖上

魯曉虹

【摘 要】“幾何直觀”是新課標所倡導的一個核心詞，它主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。

【關鍵詞】幾何直觀；標圖習慣；圖形

浙教版八上第1章《三角形的初步知識》，其中很重要的一塊內容是三角形全等，它研究的是三角形的形狀、大小關系，對學生來說是一個全新的開始，這章的知識、學習方法、用圖意識等掌握好壞情況直接影響后面的特殊三角形、四邊形、相似三角形等內容的學習。全等三角形是兩個圖形之間的關系，所涉及的基本都是組合圖形，較復雜，況且要證全等需要三組條件，還要注意對應關系。對于初學者并不是件容易的事情。所以在教學過程中一定要突出基本圖形的幾何直觀意識，時刻將這種意識滲透給學生，幫助他們學會用圖形去發現解決問題的思路，學會用圖形來理解和記憶三角形全等的判定。

一、例題1：已知：如圖1，已知AB=AC，點D、E分別在AC、AB上，且AD=AE。求證：BD=CE。

分析：此圖中涉及兩個全等三角形，我們可以把涉及三角形從組合圖形中分離出來，即把△ABD與△ACE分解出來，然后再把已知條件與隱含條件標注上去，從中尋找符合條件的因素，這樣處理非常直觀，學生接受起來也水到渠成。

之后我再作了如下變式，讓學生自行完成。

如圖，已知AB=AC，再添加一個條件________，使△ABD≌△ACE。

本想有了例題教學時進行了正向的、類似的引導、分析、示范板書，再在練習環節安排此題應該問題不大，可事與愿違。竟然有相當部分學生填上BD=CE這一條件，（盡管他們有些也能找出公共角這一隱含條件），巡視及詢問做錯的同學，有把兩個圖形分解出來嗎？他們的回答是顯然的——沒有！（其實做對的同學也沒有分解圖形），條件雖然標注了，但條件多，圖形就比較混亂。看來反思是必須的，為什么前一秒講完，后一秒就錯？我之前的處理方法要改進。因為要將兩張圖分解出來的確有點麻煩，愛偷懶是人之天性嘛！對于這樣的題它的條件是對應給出的，那么其實不需要關注兩個圖形，靈機一動，集中火力攻打一個！在另一個班教學時我做了如下改進：

兩個三角形選擇一個，在原圖中用筆描出來，并把已知條件及隱含條件標注上去，注意：條件也只能標注一個，例如AB=AC，只需標注AB，因為AB才是它的邊。（像右圖那樣標注）

這樣處理之后，學生的接受程度較高，正確率也提高了。在本章檢測中就有這樣類似的題，大部分同學在應用我介紹的方法，之前的“慣犯”也做對了！顯然，從復雜中“抽取”簡單，讓條件躍然紙上，會讓直觀圖形更加直觀，更易發現解決問題的思路。

二、例題2：如圖：在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一條直線上下面有四個條件①AB=DE ②AC=DF ③∠ABC=∠DEF ④BE=CF你從中選三個為題設，余下一個作為結論，可得幾個命題？其中真命題有幾個？分別給出證明。

對于這題，學生比較容易理解的是判斷全等需要三個條件，而這里就是選三個作為條件，另一個作為結論，另外這張圖也不需要挖掘隱含條件。對學生來說比較困難的是這題有幾個命題，正確的又有幾個？學生的分類意識偏弱，不知如何分類；另外圖形有兩個，又是交錯在一起，另外條件有四個，干擾信息較多，所以對于此題，分3個環節處理：

環節一：抓住結論分類，不要抓條件分類，很顯然結果有①，②，③，④四種情況，所以命題就有四種。②③④推①；①③④推②；①②④推③；①②③推④；

環節二： 用筆描出△ABC，同時把4個論斷中涉及的AB，AC，∠ABC，BE（轉化為BC）標出。（如圖1）

環節三：將序號①，②，③，④對應標注在圖上（這是我認為此題處理比較得當之處），這樣借助圖形結合序號直接可以判斷出哪些是真命題。（如圖2）

為檢驗學生對此類題的方法及分類思想的掌握情況，設置了相應的變式（要求嘗試用上面的方法）：

如圖，在△ABC和BAD中，現給出如下三個論斷：

①AD=BC；②∠C=∠D；③∠1=∠2。請選擇其中兩個論斷為條件，一個論斷為結論，構造命題。寫出所有的真命題（用“______→______”形式，用序號表示）_________

這題類型沒有改變，但難度增加了，因為表面呈現出來的是兩個論斷作為條件，而全等是需要三個條件的。這需要學生自行挖出AB=BA這一隱含條件，是此題的一個難點所在。

靜候5分鐘樣子，大部分學生完成了此題，他們“學會”了處理例題時的方法，知道了分類并用彩色筆描出其中一個三角形，同時把三個論斷標示在圖上，命題形式基本上是“①②→③”即由兩個條件推出一個結論。當然也有一部分同學不知所措，因為他們知道推導兩個三角形全等需要三組條件，但題目中總共才三組，不知如何落筆。在表揚學生標上序號這一行為之后，我根據學生的答題情況作了兩點提醒：一是證明兩個三角形全等需要幾個條件？二是這幅圖是哪種類型的基本圖形。學生異口同聲說道：“假山型”（這是為了便于學生對于基本圖形的識辨，我給一些經常碰到的圖形進行了命名，像案例一中的圖命名為“剪刀型”），這時學生馬上意識到“假山型”中有公共邊，借機建議學生標上序號④（像圖4）（對于標上④是此題我認為處理得當之處）。追問學生，做這一處理之后與上面的例題一樣嗎？學生似乎有種恍然大悟的感覺：哦，原來真是一樣的！

兩個案例題型不同，考察的知識相近，所用的思想方法都一樣：先描圖，從復雜中抽取簡單，讓圖形更加直觀；再標圖，讓隱含條件躍然紙上；然后再把兩圖轉化為一圖看是否符合三角形全等的基本事實。如案例2中的變式，將隱含條件AB=BA標注為④，轉化之后思路更為清晰，處理方式與前一題幾乎一樣，讓學生體會到其巧妙之處，題變、圖變，思路不變！

三、幾何直觀能力的培養教學的一些建議。幾何教學要重視培養學生的邏輯思維能力，但幾何直觀能力的培養也尤為重要。

1.突出關注對象，排除干擾，化繁為簡。

“幾何直觀”不僅是一個核心概念，而且是培養學生敘述認識圖形的一種方法，一種思維的方式。像以上這樣的類型題，表面涉及的是兩個圖形，在自身教學過程中，以前也往往是借助兩個圖形來分析，這樣涉及圖形多，條件多，主題自然不突出，學生錯誤自然就多，而集中在一個三角形中分析，主題非常的突出，只要四個判定方法知道，這類題目如此處理自然是一個好方法。對于后續學習相似三角形，有著重要的影響。而且這種突出關注對象、排除干擾的數學能力是幾何學習很重要的一種能力，像綜合性較強的幾何題，往往是幾個基本圖形的組合，而此時就需要我們識別出來，分解出來，問題也就迎刃而解。

2.要培養學生合理使用圖形的意識。

幾何題，多數都有圖，而如何使用圖，是有講究、有方法的，像案例1中做錯的同學，他也在用圖，但沒用對，給人家感覺其思維是不清晰的。而我們的教學就是要教學學生如何合理的使用題目中的圖形，讓圖形更加直觀，讓思維更加明晰。

3.培養學生良好的幾何學習習慣。

幾何不同于代數，它具有直觀性、嚴密性、邏輯性等特點，如何培養學生良好的學習幾何習慣呢？本人認為養成學生的學習習慣包括聽課習慣、思維習慣、獨立完成作業習慣，其中最主要的是思維習慣。所以對于幾何學習，要以圖形為核心，以問題為支撐，以思考為導向，形成的一種認識事物的能力。在圖形和幾何的教學中，根據題意，將題中重要信息標注到圖中（平時所說的標圖），這樣借助條件信息都集中到圖形中去，解決問題就比較方便，因為圖形直觀，注意力集中，思維不容易被干擾。長期這樣培養與熏陶，學生的幾何學習習慣自然會好，圖形應用的意識與能力也自然會增強。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準.北京師范大學出版社，（2011年版）

[2]楊小麗，劉軼.基于學生需要和認知基礎設計與實施教學.數學通報，2015.3endprint