整體定位，分段把握

黃和悅

[摘 要] 本文結(jié)合“視圖”這一案例闡述中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)如何整體定位，給出相應(yīng)針對性教學(xué)策略，從而使中小學(xué)教師在各部分知識的教學(xué)活動更具針對性、有效性.

[關(guān)鍵詞] 視圖；整體定位；分段把握；教學(xué)銜接；數(shù)學(xué)教學(xué)

中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接問題是數(shù)學(xué)教學(xué)改革中常被提起的一個話題，然而各學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)之間存在著一種嚴(yán)重脫節(jié)的現(xiàn)象，這種被忽略的割裂狀態(tài)，致使很多學(xué)生進(jìn)入新的學(xué)段之后不能適應(yīng)，成績明顯下降. 新課程注重數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的銜接，這就要求教師教學(xué)必須以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，整體定位數(shù)學(xué)教育，分段把握數(shù)學(xué)教學(xué). 其中整體定位強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程在學(xué)生發(fā)展中的整體性，是從理念的視角提出的，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程在不同學(xué)段育人功能的共性；而分段把握則強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在教師實施中的可操作性，是從實踐的視角提出的，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)在不同學(xué)段的差異性. 而只有把握了這些共性和差異性，才有利于各學(xué)段之間教學(xué)和學(xué)習(xí)的銜接. 筆者以“三視圖”這一知識為例來談?wù)勗诮虒W(xué)中應(yīng)如何整體把握，從而實現(xiàn)更加有效的教學(xué).

空間觀念是學(xué)生在生活中、學(xué)習(xí)中得到數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展所必需的重要內(nèi)容. 空間觀念是創(chuàng)新精神所需的基本要素，它是讓學(xué)生進(jìn)行豐富想象和創(chuàng)造思維的探究過程，是通過直觀思考、二維和三維空間之間轉(zhuǎn)換的過程. 空間觀念最基本的要求是讓學(xué)生能夠從實物想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物，能實現(xiàn)幾何體與三視圖的互相轉(zhuǎn)化. 幾何中的三視圖是工程制圖、機(jī)械制圖等的基礎(chǔ). 三視圖要求學(xué)生從三個不同方向觀察同一個幾何體，再畫出平面圖形：主視圖（正視圖）、俯視圖、左視圖（側(cè)視圖）. 人的視線正對著物體看過去，將所看到物體的輪廓用正投影方法畫出來，這個圖形就是視圖. 事實上，幾何體與三視圖之間的相互轉(zhuǎn)化就是進(jìn)行思考的過程，也是實際操作的過程，這就是課程標(biāo)準(zhǔn)提到的“能根據(jù)視圖條件作出立體模型或畫出圖形”. 總之視圖內(nèi)容在基礎(chǔ)教育的不同學(xué)段中的設(shè)計與實施，是螺旋式上升、逐步深入、循序漸進(jìn)的，是從整體到局部的認(rèn)識過程，是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生的空間觀念從直觀感知到理性思維的過程.

空間觀念是抽象的，它需要借助各種數(shù)學(xué)教材、活動中的內(nèi)容、題材等背景來呈現(xiàn). 在三視圖的教學(xué)中為了培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念，新課程、新教材中不僅在三視圖的要求上增加了一些新的標(biāo)準(zhǔn)，而且在課程內(nèi)容上做了相應(yīng)的安排，加強(qiáng)了與培養(yǎng)空間觀念有關(guān)的內(nèi)容，提出了一些新的具體目標(biāo).

值得指出的是，在過去的數(shù)學(xué)教學(xué)中，視圖這方面的知識內(nèi)容往往是被忽視的，有些教師甚至是直接讓學(xué)生自學(xué)或是幾節(jié)課并成一節(jié)課來完成，很不重視這部分內(nèi)容的教學(xué). 其一是形如這樣的內(nèi)容它不那么系統(tǒng)，不好用定義、定理、公式、命題、性質(zhì)等形式來進(jìn)行教學(xué)；其二是它不那么好教，在這里很嚴(yán)密的邏輯也很難用“灌輸”的方法來教學(xué)；其三是因為這樣的內(nèi)容不那么好考，它一定需要學(xué)生經(jīng)歷動手實踐到理性思維的探究過程，這就需要學(xué)生通過觀察、思考、交流、模擬、嘗試等環(huán)節(jié)，甚至還要爭論、辯論，要在生活環(huán)境中體驗、實驗，這也是許多命題者感到困惑的地方，不好在試題上來體現(xiàn)這些內(nèi)容、方法，所以許多學(xué)生也認(rèn)為這方面內(nèi)容簡單好考，就不太重視了.

教材中對三視圖的內(nèi)容采取了螺旋式上升的方式進(jìn)行編排，筆者在本文的小學(xué)階段和初中階段分別以人教版和北師大版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書為例.

1. 觀察物體（一）（二年級上冊）

教材分析：這里是學(xué)生第一次接觸觀察物體的內(nèi)容，對于位置關(guān)系的“相對性”問題還不是很熟悉，特別是左、右的相對性更是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點. 為了避免上述問題成為學(xué)生觀察物體的障礙，教材在編排中暫不介紹“前面、后面、左側(cè)面、右側(cè)面”等概念，只要學(xué)生能用連線、標(biāo)序號等方式將觀察者與所看到的形狀圖對應(yīng)起來即可. 所設(shè)計的例題和習(xí)題，應(yīng)遵循兒童認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，從直觀觀察經(jīng)驗的運用到間接觀察經(jīng)驗的提取，逐步提高對學(xué)生空間想象力的要求.

教學(xué)策略：教學(xué)中可以讓學(xué)生進(jìn)行小組合作，一名學(xué)生拿出一件物品，另一名學(xué)生則從不同的方位進(jìn)行觀察，并從不同方位進(jìn)行拍照或簡單畫出來. 然后根據(jù)照片或圖畫，讓第一位同學(xué)判斷是從哪個方位拍的或畫的. 在現(xiàn)在的日常課堂教學(xué)中，教師完全可以利用手機(jī)在教室內(nèi)現(xiàn)場拍攝同學(xué)們上課的照片，最好是圍繞著某一位同學(xué)，分別從東西南北各個方向拍攝. 而后，用數(shù)據(jù)線馬上連接教室中的電腦，在文件夾中的照片往往沒有明顯的順序標(biāo)志，將這些照片拷貝到桌面，讓學(xué)生現(xiàn)場判斷哪張照片是在什么位置拍攝的，并說出判斷理由. 這種方案更富有現(xiàn)實性，能有效激發(fā)學(xué)生的課堂參與度. 其中，判斷哪張照片是在哪個位置拍攝的，其實就是在做空間推理，這是非常好的空間觀念的培養(yǎng)過程. 當(dāng)然也可以讓學(xué)生用3～5個小正方體積木拼出一個自己喜歡的立體圖形，再從不同方位去看，將在不同方位看到的平面圖形與同學(xué)交流；還可以讓學(xué)生判斷當(dāng)看到立體圖形的一個面是長方形，那么它可能是我們學(xué)過的什么立體圖形.

設(shè)計意圖 通過運用多種方式幫助學(xué)生建立清晰的圖形表象，由物到形，抽象出立體圖形到平面圖形的轉(zhuǎn)化過程，又經(jīng)歷由形到物，則進(jìn)行了從平面圖形到立體圖形的轉(zhuǎn)換. 這些方法為后續(xù)學(xué)習(xí)三視圖奠定了基礎(chǔ).

2. 觀察物體（二）（四年級下冊）

教材分析：本單元知識是在第一學(xué)段學(xué)習(xí)了從不同角度觀察實物、幾何體的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的. 主要內(nèi)容有：從不同的方位辨認(rèn)、觀察幾何組合體的形狀；從同一方位觀察不同的幾何組合體. 這些內(nèi)容都是后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，對于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和推理能力有重要的作用.

教學(xué)策略：一般說來，低學(xué)段的學(xué)生要對空間圖形及其關(guān)系有深刻體驗，常常要通過與平時生活有關(guān)的實際情境來認(rèn)識和理解與空間觀念有關(guān)的知識，進(jìn)行觀察、動手操作是他們學(xué)習(xí)視圖相關(guān)內(nèi)容的主要途徑. 在學(xué)習(xí)視圖中學(xué)生進(jìn)行觀察、動手操作等活動，它不僅需要學(xué)生的視覺、聽覺、觸覺多種感官直觀思維，同時也需要學(xué)生的猜想、分析、推理等理性思維，從而很好地促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成和發(fā)展. 所以在本單元教學(xué)中可進(jìn)行以下環(huán)節(jié)開展小組合作課堂活動：（1）自由拼搭，讓不同學(xué)生用一樣的小正方體積木拼搭出各種不同的組合體；（2）互換畫圖，另外的同學(xué)根據(jù)前面拼搭的組合體畫出從前面、上面和左面看到的形狀，幫助學(xué)生建立從不同方位看到的物體形狀的表象；（3）情境拼搭，再讓其他同學(xué)根據(jù)前一位給出的從不同方位畫出的圖形，用小正方體積木把它拼搭出來，并和第一個同學(xué)拼搭的組合體進(jìn)行對比修正.endprint

設(shè)計意圖 通過這種形式讓學(xué)生經(jīng)歷從立體圖形到平面圖形和從平面圖形到立體圖形的轉(zhuǎn)化過程，能夠讓學(xué)生的空間觀念得到更加有效的培養(yǎng)和提升.

3. 觀察物體（三）（五年級下冊）

教材分析：這單元的知識是在前兩個學(xué)段經(jīng)歷了從不同方向觀察實物和單個立體圖形以及幾何組合體學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)根據(jù)從一個或多個方位觀察到的平面圖形拼搭出相應(yīng)的組合體. 例如由給出的從一個方向看到的平面圖形，用給定數(shù)量的小正方體擺出相應(yīng)的組合體，或由給出的從三個方向看到的平面圖形，用小正方體拼搭出相應(yīng)組合體.

教學(xué)策略：教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主活動與探究. 可出示問題1：請你用6個一樣的小正方體，拼搭出從正面看是如圖1的圖形. 讓學(xué)生拿出6個小正方體，根據(jù)自己的理解，用手中的6個小正方體先擺一擺，而后仔細(xì)觀察正面，驗證自己的擺法是否正確，最后和同桌及全班進(jìn)行交流. 形成認(rèn)識后，教師可以追問：如果增加1個同樣的小正方體，保證從正面看還是4個正方形，你還會擺嗎？這樣設(shè)計的意圖是通過學(xué)生的操作和交流，讓他們發(fā)現(xiàn)只看一個面擺小正方體的方法是多樣的，同時體會不同方法的內(nèi)在聯(lián)系. 最后增加的追問，讓學(xué)生由依賴幾何直觀逐步過渡到空間想象. 通過參與這些活動培養(yǎng)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、聯(lián)系比較、分析推理、歸納概括的能力，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. 再出示問題2：如圖2分別給出從正面、左面、上面看到的圖形，你能用小正方體擺出原來的形狀嗎？

設(shè)計意圖 在學(xué)生動手拼擺、驗證交流的過程中，讓學(xué)生明確根據(jù)觀察到的三個面擺小正方體的方法是確定的，體會還原過程的多樣性，以及最后結(jié)果的確定性，注意引導(dǎo)學(xué)生由幾何直觀過渡到空間想象與分析推理.

4. 從三個方向看物體的形狀（七年級上冊）

教材分析：北師大版教材把“豐富的圖形世界”作為進(jìn)入初中階段的起始章節(jié)，是學(xué)生在小學(xué)積累了一定的圖形與幾何方面的知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過觀察、猜想、探究、思考、動手操作、合作交流等活動，更深入地從特征、關(guān)系等方面認(rèn)識視圖，從而更好地發(fā)展學(xué)生的空間觀念. 其中“從三個方向看物體的形狀”通過讓學(xué)生從不同方向看幾何體，識別和畫出從不同方向觀察立方體及其簡單組合體所得到的形狀圖，力圖從視圖角度體會平面圖形和幾何體之間的轉(zhuǎn)化來發(fā)展空間觀念.

教學(xué)策略：教學(xué)中教師應(yīng)慢慢讓學(xué)生從實物操作到無實物操作過渡，從而實現(xiàn)從對實物具體操作到對圖形抽象思考的學(xué)習(xí)方式的過渡.

可出示問題：圖3是由若干塊小正方體積木堆成的幾何體，分別從正面、左面、上面觀察這個幾何體，并畫出看到的圖形.

變式1：由幾個一樣的小立方塊搭成一個幾何體，從上面觀察它，看到的圖形如圖4，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù). 請你畫出從正面、左面看到的這個幾何體的圖形.

變式2：由幾個一樣的小立方塊搭成一個幾何體，如圖5是從三個不同方向看到這一幾何體的視圖，你能根據(jù)它們算出小立方塊的數(shù)量嗎？

變式3：由幾個一樣的小立方塊搭成一個幾何體，如圖6分別是從它的正面、上面看到的形狀圖，問：這樣的幾何體是否只有一種？若不是，則搭建它最少需要多少塊小立方體？最多需要多少塊小立方體？并請你畫出小立方體最少與最多時從左面看到的圖形.

設(shè)計意圖 問題及變式1就是從正向角度但又?jǐn)[脫了低學(xué)段具體情境和具體實物，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從三維空間到二維平面的過程，提高學(xué)生的想象力. 而變式2及變式3則是從逆向角度來體驗從二維到三維的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，讓學(xué)生初步感受給定三個方向的視圖可以確定立體圖形，只給定兩個方向的視圖則立體圖形就不唯一. 通過這種逆向思維從不同的角度、不同的側(cè)面去理解視圖、把握視圖，讓學(xué)生逐步由小學(xué)的直觀階段向初中抽象階段轉(zhuǎn)化，這更是需要學(xué)生逐步進(jìn)行演繹和論證的過程.

5. 視圖（九年級上冊）

教材分析：根據(jù)課標(biāo)的要求，義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)投影與視圖，投影是一個抽象的數(shù)學(xué)概念，視圖則是與平行投影有著密切聯(lián)系的概念. 在小學(xué)和七年級，學(xué)生經(jīng)歷了從不同方向觀察物體的活動過程，能辨認(rèn)從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖，又學(xué)習(xí)了平行投影和正投影. 在此基礎(chǔ)上，從想象物體的正投影入手，引入視圖的概念，從學(xué)生的生活經(jīng)驗出發(fā)，先讓學(xué)生由實物抽象出幾何體（這就不再像七年級學(xué)習(xí)視圖時只研究由小立方塊組成的幾何體一樣），會畫圓柱、圓錐、球、直棱柱及其簡單組合體的視圖，并會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體，進(jìn)一步研究二維與三維圖形的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，發(fā)展學(xué)生的空間觀念. 當(dāng)然投影是視圖的基礎(chǔ)，而物體的視圖則是物體的一種特殊的平行投影，所以不論是由幾何體畫出視圖，還是由視圖想象出幾何體，都可以用投影原理進(jìn)行思考，這也為高中學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖埋下了伏筆.

教學(xué)策略：培養(yǎng)空間觀念需要學(xué)生參與大量的實踐活動，以被動聽講為主要教學(xué)方式對形成和發(fā)展空間觀念是不利的，在教學(xué)過程中，應(yīng)精心設(shè)計教學(xué)過程，組織學(xué)生開展操作與觀察、演示與想象、直觀與推理、分析與綜合、思考與交流等活動. 可設(shè)置如下問題：

問題1：如圖7是一個長方體，上下有一個穿透的圓柱形，畫出它的三視圖.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生明確畫一個幾何體的三視圖要做到：①要讓自己的視線與觀察面垂直，這樣得到的圖形是該面的正投影；②畫圖時要用實線表示看得到部分的輪廓線，用虛線表示看不到部分的輪廓線，這與七年級學(xué)習(xí)的是不一樣的；③按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.

問題2：兩個三棱柱的底面均為等邊三角形，它們的俯視圖分別如圖9所示，畫出它們的主視圖和左視圖.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生在解決這些問題的過程中，更加理性與深刻地理解幾何體與其視圖之間的關(guān)系，從而使學(xué)生的空間觀念更加系統(tǒng)和科學(xué). 如果學(xué)生直接畫視圖有困難，那么可以借助實物或模型來完成. 讓學(xué)生在思考與交流中明確俯視圖無法反映幾何體的高度，所以答案是不唯一的. 可建議學(xué)生先自己選定一個高度，然后據(jù)此畫出棱柱的主視圖和左視圖，再讓不同學(xué)生之間進(jìn)行對比研究.

問題5：先想象一個幾何體并畫出它的三種視圖，然后請同伴根據(jù)你畫出的三種視圖描述出這個幾何體.

設(shè)計意圖 問題3～5分別讓學(xué)生由視圖辨認(rèn)幾何體、根據(jù)三種視圖描述對應(yīng)的幾何體、自己想象幾何體并畫出三視圖讓別人來描述幾何體，通過這些操作或想象活動，探討如何根據(jù)視圖描述簡單的幾何體，是一組有難度、有梯度的問題，可以深化學(xué)生對幾何體及其三種視圖的理解和認(rèn)識.

總之，教材中像視圖這樣注重中小學(xué)銜接的課程內(nèi)容是很多的，許多知識是根據(jù)學(xué)生的年齡特征、認(rèn)知規(guī)律與學(xué)習(xí)特點，在整體編排、呈現(xiàn)形式、學(xué)習(xí)方法等方面遵循逐級遞進(jìn)、螺旋上升的原則，對同一類型的知識前一學(xué)段出現(xiàn)是為后一學(xué)段繼續(xù)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)、做滲透，而后一學(xué)段再次出現(xiàn)則是對前面所學(xué)內(nèi)容的深化與拓展. 所以從整體上定位相同知識的完備性是必要的，這是從宏觀角度來要求. 又需要老師分段來把握相同知識，做到不降低了也不超過了，這是從微觀角度來要求. 只有這樣才能讓我們的教學(xué)、練習(xí)、作業(yè)、命題、評價等更具針對性和有效性. 這種銜接其實不僅僅是知識的銜接，更重要的還有意識上和經(jīng)驗上的銜接.endprint