順勢而導　　自然生成*——一次教研活動的點滴心得

●蔡衛兵　(鄞州實驗中學　浙江寧波　315100)

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順勢而導自然生成*——一次教研活動的點滴心得

●蔡衛兵(鄞州實驗中學浙江寧波315100)

摘要:數學概念教學立足本源創設最近發展區，借助有效提問揭示聯系，為學生構建前后一致邏輯連貫的學習過程，實現概念自然的、水到渠成的形成過程，才能使課堂具有生命力，使學生收獲有益于一生的能力和經驗．

關鍵詞:概念教學;知識重組;關注過程;有效提問;自然生成

2015年10月12日，浙江省“鄭瑄名師網絡工作室”在寧波市江北區育才實驗學校舉行了工作室開班儀式，并進行了第1次教研活動．筆者有幸成為工作室的學科帶頭人，聆聽了3位浙江省特級教師自然流暢的數學課堂教學，這3節課分別是鄭瑄老師執教的“三角函數”(9年級)，俞界岳老師執教“多邊形”(8年級)和徐丹陽老師執教的“二元一次方程”(7年級)，感覺每節課都氣韻生動，精彩流轉，實現概念自然的、水到渠成的形成過程．

1　關于概念形成的3個案例

鄭老師上課伊始出示直角三角形，并復習回顧了直角三角形的角之間的關系和邊之間的關系，提出了“角和邊之間有何關系”的問題．然后請學生拿出含有45°角的三角板，說說3條邊之間有何關系．鄭老師指出雖然大家三角板的大小不一，但只要是含有45°角，它的3條邊之比為繼續研究含有30°角的三角板的3條邊之間的關系和含有15°角的直角三角形的3條邊的關系，由此讓學生感知直角三角形3條邊之比與角度有關，隨著角度的變化，3條邊之比也變化，巧妙地解決了變與不變的辯證關系．對照函數概念，可以得到3條邊之比是關于角的函數．緊接著鄭老師由老子《道德經》中的大道至簡過渡，引導學生要學會把復雜變成簡單，用智慧創造“簡單”，提問:需要研究3條邊之比嗎(根據勾股定理，只需確定其中2邊的比值，必能求出與第3條邊的關系)?其中2條邊的比值有幾種情況?是否都有必要研究呢(a∶c，b∶c，a∶b;c∶a，c∶b，b∶a共6種，后3種與前3種分別是倒數關系，因此知其三必知另三)?邊的比值關于角的函數不能像前面所學的一次函數、二次函數、反比例函數的解析式的形式進行表示，數學家們用符號表示，得到3個比值是角的函數，統稱為三角函數，分別叫做正弦函數、余弦函數、正切函數．這樣水到渠成地得到銳角三角函數的概念:一是三角函數是比值;二是三角函數的值與角度有關……

俞老師上課伊始給出浙教版《數學》8年級上冊目錄，引導學生梳理三角形問題的研究順序、研究內容，接著瀏覽《數學》8年級下冊目錄，指出四邊形問題同樣是按照先一般后特殊的順序進行研究，要研究四邊形的定義、性質、應用，這是幾何圖形研究的一般順序和主要內容．幾何中常常將“圖形特征”與“數量關系”對應起來研究，用類比得到新知的思想也是教材設計的一條暗線．由三角形的定義類比到四邊形的定義，由三角形的內角和定理的操作、猜想、驗證的研究方法類比到四邊形的內角和研究的策略與路徑．類比教學，源于相似性，更要關注差異性，突出隨著邊數增加而出現的空間四邊形與平面四邊形、凸四邊形與凹四邊形，俞老師都給予了充分細致地關注．類比教學，關注結構性，更要關注本質性，突出內角和的證明是將4個內角集中起來，轉化為已學過的平角180°、周角360°、三角形內角和180°、2條平行線截得的同旁內角互補等等．俞老師除了引導學生學習知識、掌握方法外，更讓學生感受轉化與化歸的數學思想:有連接對角線轉化為2個三角形的內角和，有內部任取一點轉化為4個三角形的內角和減去1個周角，由邊上取一點轉化為3個三角形的內角和減去1個平角，由外部取一點轉化為3個三角形的內角和減去1個三角形的內角和，由過1個頂點分別作另2條邊的平行線進行等角代換轉化為1個周角，由分類討論延長2條邊相交轉化為1個三角形的內角和加2個平角減去1個三角形的內角和，由分類討論過1個頂點作1條邊的平行線轉化為1個三角形的內角和加2對同旁內角和減去1個平角……

徐老師沒有通過教材中的現實問題情境來建構二元一次方程的概念，因為概念學習之前呈現應用情境，學生根本想不到設2個未知數．于是徐老師對教材作了創造性的處理，創設學生熟悉的師生年齡問題，通過生動有趣地進行故事性的描述:徐老師從溫州來寧波，今早在育才實驗學校的操場突然有人叫她徐老師，經過辨認后是多年前教過的學生已大學畢業后來寧波工作，學生說道:“徐老師比教我們時老了不少，請問徐老師幾歲了?”徐老師不告訴他而反問:“你幾歲了?”調皮的學生說:“我也不告訴你?當時教我們時老師曾說過:老師比我大20歲?”老師笑著說:“我已知道你的年齡了!”學生也說:“我也知道老師的年齡了!”我知他知你不知，這是怎么回事呢?

接著，徐老師提問:雖然你們不知道徐老師和剛才那位學生的年齡，但知道的信息有嗎?徐老師和剛才那位學生的年齡是未知量，那可如何表示，能用方程來表示你所知道的信息嗎(從具體問題出發，讓學生感受到2個未知量可以通過代數式形成等量關系建立方程)?所得的方程是一元一次方程嗎?一元一次方程是如何定義的?方程xy=20應怎么稱呼?顧名思義，二元一次方程你會定義嗎?方程xy=20是二元一次方程嗎?看看書本上是怎么定義的?這與我們大家所說的有何不同?(未知數的次數是1次與含有未知數的項是1次是不一樣的)?經過一番認知沖突后，師生共同總結出二元一次方程的定義，有了可靠的思考工具(二元一次方程的定義)之后進一步進行一定程度的正例強化和反例識別，真正建構二元一次方程的概念．然后回歸情境，你能說說徐老師為什么知道剛才那個學生的年齡?學生又怎么知道老師的年齡?你能寫出二元一次方程3x+4y=24的1個解嗎?你是怎么寫出來的?你能寫出使個解的二元一次方程嗎?

拉長、細化上述過程，一方面讓學生感受2個量之間的“相互作用”，認識到這個等量關系使得其中一個量確定就可以確定另一個量，領會二元一次方程的解的本質，真正理解二元一次方程的解是一組數對;另一方面引導學生理解可以用含一個未知數的代數式表示另一個代數式的目的是為了更快捷地求出一個未知數所對應的另一個未知數的取值，是突出二元一次方程的解的有效操作．這樣，學生自然能對二元一次方程及其解達到質的理解與建構．

2　關于概念教學的3個感悟

2．1知識重組，構建概念自然的、水到渠成的整體意識

直角三角形是浙教版《數學》8年級上冊特殊三角形中的教學內容，涉及角之間的關系和邊之間的關系;函數是浙教版《數學》8年級上冊認識函數中的教學內容，涉及函數的概念和表示方法等;銳角三角函數是浙教版《數學》9年級上冊解直角三角形中的教學內容，既是直角三角形中邊角關系的繼續，也是有別于一次函數、二次函數、反比例函數的“另類”函數，但它們之間有著緊密的聯系．因學生的接受能力和便于教學等諸方面的因素，數學教材對有的數學知識的呈現是不連貫的，以“點狀”形式出現，因而學生獲取的知識也呈“點狀”的形式，它不利于學生對數學知識的理解和知識體系的建立．鄭老師發現和利用知識之間的結構特點與相互關系，恰當地進行知識重組，將“點狀”知識系列化，這有利于學生數學知識體系的建立和數學意識、數學能力的形成．同樣四邊形與三角形，二元一次方程與一元一次方程式都是不同年級不同章節獨立的教學內容，但俞老師以“圖形”為紐帶，徐老師以“方程”為紐帶，不僅“在宏觀上理清思路”，而且“在微觀上推敲細節”，合理地利用教材并對其進行適度地“二次開發”，讓學生更好地建立“圖形”、“方程”的整體觀念．

2．2創設最近發展區，促使概念自然的、水到渠成的形成過程

《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出:概念教學要返璞歸真，努力揭示概念的發生發展過程及其本質．因此，學生親身經歷概念的自然形成過程是概念教學的必由之路．3位特級教師的教學都體現了“理解數學”的基礎上遵循知識的發生發展過程，為學生構建前后一致邏輯連貫的學習過程．徐老師參照抽象數學知識在具體現實生活中自然“孕育”的過程，通過年齡問題的故事性描述讓學生感覺到引入二元一次方程的必要性和合理性，在具體與抽象的往返穿梭中，讓學生認識到2個未知量的相互作用，自然化解“二元一次方程的解是一組數對，且有無數對”的認知困難，二元一次方程及其解的概念是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味．同樣銳角三角函數的形成教學和四邊形內角和定理的發現過程，都是引導學生分析、歸納、抽象、概括等一系列思維活動，由初步感悟到初步內化，從而獲得概念．那種不經過任何鋪墊就直接給出概念，不經歷概念的形成過程，搞“一個定義、三項注意”的概念教學是不行的．概念教學的自然和水到渠成包括2個方面:一是知識的邏輯順序自然;二是學生心理邏輯主要是思維過程的自然．

2．3有效互動，實現概念自然的、水到渠成的形成過程

數學課堂成為情感的課堂，可喚醒學生的學習欲望;成為互動的課堂，學生主動參與，自主學習，師生共同探討．3位特級教師的有效提問和真誠交流，讓學生多了一分靈動，讓學習更為主動;多了一分活潑，讓教學充滿活力;更多了一分趣味和尊重，營造了一種身心解放、思維開放、個性奔放的教學場景，建構起一種互動、體驗、快樂的多元課堂，讓人領略“有心栽花花不開，無心插柳柳成蔭”的意境，這些全憑教師的智慧運籌帷幄．如俞老師借助有效提問的推波助瀾，四邊形的內角和的證明你怎么想的?你是如何想到的?轉化與化歸成什么問題?還有哪些角是與180°，360°有聯系的?不妨試一試?在四邊形ABCD中，已知∠A+∠C= 180°，你能得到什么結論?要得到∠B=60°，還需添加什么條件?若∠A=∠C=90°，分別作∠ABC和∠ADC的角平分線BE，DF，則BE和DF有怎樣的位置關系?如何證明呢?你能用一句話給這個問題歸納一下嗎?要得到角平分線BE與DF互相平行，則至少要具備什么條件?等等．定義、性質、應用、問題串將整節課完美地串聯起來，學生完全參與了整個探究過程，預設與生成相映生輝．

總之，教師應該熟悉課標，洞察教材，合理創設情境，讓學生在建構中感悟，在辨析中發現，在匹配的練習中內化．只有這樣，學生才能在自然的、水到渠成的概念形成過程中收獲有益于一生的能力和經驗．

作者簡介:蔡衛兵(1976－)，男，浙江象山人，中學高級教師，研究方向:數學教育．

修訂日期:*收文日期:2015-10-18;2015-11-26．

中圖分類號:O12

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-34-03