數學解題訓練的兩個“方程式”

何南榮 鐘結枚 王海青

【摘要】數學解題訓練是數學學習與數學教學的核心環節. 本文通過對數學解題結構的認知，建立數學解題訓練的深廣度“方程式”和思維導圖“方程式”，有效地提高中學生分析和解決問題能力、數學發散思維能力和創新能力，進而達到解題訓練的效果. 實踐結果表明，其可行性和解答率均相對較高.

【關鍵詞】深廣度;思維導圖;數學解題;解題訓練

隨著數學教育改革的不斷深入，如何培養學生的數學學習能力和創新能力已成為數學教育界討論的重大課題. 處在高考模式下的中學生的創新能力偏低現象已愈趨嚴重，亟待改革. 在數學學習和教學當中，解題訓練對于數學的認知，提高數學思維能力，培養創新能力起著重要的作用，因此，對數學解題訓練的方法展開研究對數學教學和學習的改革有著深遠的意義. 目前，國內外已提出許多不同層次的解題策略，如波利亞等人已有大量而系統的數學解題的研究成果，但對于如何進行解題訓練來說，其方法仍然達不到更加具體的訓練效果. 本文力求適于目前中學生學習和教師教學的基本狀況，對波利亞的解題方法加以改進優化，望能為教學改革和學習方法帶來更好的幫助，讓中學生在解題訓練中更大程度上提高數學思維能力和培養創新能力.

一、數學解題的結構認知

數學解題過程就是獲取信息、轉換信息和實現目標信息的過程，具體是根據已知的條件信息，以目標信息為目的，在知識儲備中以最熟悉的方式進行全局搜索，找出條件與目標的最佳匹配方式的過程.

數學解題結構雖清晰明了，但“解題難”的現象在數學學習和教學當中早已司空見慣，究其原因主要由知識點的牢固程度、知識網絡結構的構建程度、題型的量度和熟練程度、分析和思考的方向等五大方面造成，因此，克服“解題難”問題應從這五方面展開探究，再結合波利亞的《怎樣解題》，本文認為：一個完整的解題過程必須具備六大條件，即：

知識儲備：缺乏一定的知識量和知識網絡結構，解題便無法進行. 只有儲備大量的基本知識點和構建知識網絡結構的基礎上，才能搭建解題的基本支架.

積極心態：對于復雜繁多的問題，往往會眼花繚亂，挫敗解題信心，干擾解題思維和判斷. 因此，在解題之前應給予自己積極的心理作用，需找到一種戰斗而自信的狀態，如“我是肯定行”等. 當然，遇到不會的問題，亦要有恰當的心理暗示，如“不會的問題才是解題訓練的理由”等.

理清問題：理清問題中顯示和隱藏的條件并嘗試建立條件之間的聯系，弄清要解決什么問題，將其羅列出來，問題變得更清晰.

搜索方案：結合自己已有的知識，將條件和目標轉換為最熟悉的數學表達方式，而后搜索出條件與目標最佳的匹配方式（即建立條件與目標的關系）. 當所有條件都用上之時，解題便成功一大半，故在匹配過程中注意用上所有條件.

目標實現：找到匹配方式之后，用數學專業術語詳略得當的將準確無誤的思路和計算結果淋漓盡致地表述出來.

反思總結：反思就是在解題之后思考“為什么想不到”“錯在哪里”或“自己應該怎樣改正”等. 總結即是將自己在解題過程中不會的知識點、轉折點或奇妙之處等總結描述出來，并在更深層次上理解和熟練解題技巧.

二、數學解題的兩個“方程式”

對于中學生和中學教師來說，數學解題訓練是其數學學習和數學教學的核心環節，其主要通過解題訓練獲取相關知識、鍛煉分析和解決問題的能力、培養良好的數學思維和獨特的創新能力等. 因此，在解題訓練的過程中，應注重訓練方法的恰當性. 本文在解題結構的六大條件的基礎上提出下面解題訓練的兩個基本模式.

1.數學解題訓練的深廣度“方程式”

本文認為：一個完整、系統的數學解題是通過深廣度來分析和解決數學問題，即給定一道數學題，先通過廣度思考如何分析和解決問題，進而嘗試發散思維找出不同的解法;通過深度思考針對相應的問題條件嘗試提出多種更深層次的問題并能用類似方法解決. 因此，一個完整、系統的數學解題訓練的“方程式”是由深度思考和廣度思考兩個支架構成.

解題訓練是一種過程，并不在于能否完全解決問題，只要按照解題深廣度“方程式”進行，再加以思考后參考，亦能達到解題訓練的效果. 在解題訓練中，通過上面方程式的訓練，可實現舉一反三的效果，鞏固基本知識點和相關題型的量度及熟練程度;以一種尋找和探索標新立異、發散的思維方式進行解題，培養學生的分析和創新能力.

解決數學問題難，但有時提出數學問題更難，通過上面“方程式”的建立，也可很好地在“提出問題難”和“解題難”的問題中得到有效的訓練，有效地實現數學學習的本質目標，即提出和解決數學問題.

2.數學解題訓練的思維導圖“方程式”

為了在更大程度上簡化問題的難度和更好地實現解題效果，本文以數學解題的結構認知中六大解題條件為基礎，建立數學解題的思維導圖“方程式”：

圖1 思維導圖“方程式”

數學解題訓練的思維導圖“方程式”是一種有效地簡化問題難度的“方程式”，可在一定的知識儲備的基礎上理清問題的條件信息和目標信息，并用積極的心態有效地簡化問題難度，較為直觀地進行搜索最佳的匹配方式，最后進行反思總結，從而達到高效的解題訓練效果. 當熟練思維導圖“方程式”到一定程度之時，便無須一一羅列，可直接進入最優的解題方式的狀態.

三、例談兩個“方程式”在解題中的應用

在數學解題訓練的過程中，以解題深廣度作為思維訓練藍圖，以數學解題思維導圖作為解題訓練具體執行者，可高效地實現基礎題型的解答，有效實現訓練效果.

例 在△ABC中，CA⊥CB，OA=（0，-2），點M在y軸上且AM=12AB+AC，點C在x軸上移動.

（1） 求B點的軌跡E的方程;

（2） 過點F0，-14的直線l交軌跡E于H，G兩點，（H在F，G之間），若FH=12HG，求直線l的方程.

目標層：B點的軌跡E的方程轉換設B點坐標為x，y，建立x與y的關系.

匹配層：結合條件相應地轉換以及觀察它們之間的聯系，發現x0，y0，x，y之間已交錯建立起等價關系，只需用代入法將其轉化為問題的目標，即x與y的關系便可求解.

解析 （1） 將④代入①，可得其關系y=x2（x≠0），所以，點B的軌跡E的方程為y=x2（x≠0）;同理將④、⑤分別代入①、②、③，亦可得y=x2（x≠0），所以，點B的軌跡E的方程為y=x2（x≠0），總共有6種解法.

（2）與上題一樣，本文找到四種相應的解法（除常規解法外，也可由A點在準線上，利用準線的性質求解），因而，可得到滿足條件的兩條直線，其方程分別為：8x+43y+3=0，8x-43y-3=0.

深度思考

（1）①如圖1所示，在△ABC中，其條件與上題（1）一樣. 假設BC是一對情侶，BC的距離定義為容忍度，當BC距離越大時，表示其越不能容忍對方，當越接近時，表示越容忍對方，請建立數學模型說明雙方在什么時候才會在一起？（其模型實際上就是求軌跡問題，目標是找到B和C軌跡的交點，把應用和建模引進數學教學中，有利于培養學生應用能力）

②在長方形ABCD中，CA⊥CB，OA=（0，-2），點M在y軸上且AM=12AB+AC，點C在x軸上移動，試求D點的軌跡.（先求B點軌跡，再建立B和D的關系而求得）

（2）①過點F0，-14的直線l交軌跡E于H，G兩點（H在F，G之間），若FH=12HG，求直線l的方程.（解法與（2）的解法類似）

②過點F0，-14的直線l交軌跡E于H，G兩點（H在F，G之間），設軌跡E的焦點I，若HI=12GI，求直線l的方程.（解法與（2）的解法類似）

反思與總結 本題中的（x≠0）是經常忽略的細節，不易發現的原因是沒有整體上分析此題，注意函數問題中的定義域和值域優先考慮的原則;通過不斷地聯想之前所學過的知識，建立好匹配方式，解決此問題的關鍵是對基本的數學概念和性質熟悉程度，需加強這方面的訓練.對于本題所要熟悉的知識點是：幾何向量與坐標之間的轉換關系和圓錐曲線的性質等.

【參考文獻】

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[3]波利亞.怎樣解題[M]. 北京：科學出版社，1982.