素數表示形式

楊帆

【摘要】本文論述素數的一種表示形式，以及在這種表示下，導出的三個公式，進一步說明孿生素數的存在形式，梅森素數的歸屬類型及梅森素數的一個性質，費馬數的歸屬類型及費馬數的一個性質，受此啟發對費馬定理賦值拓展.

【關鍵詞】素數表示;梅森素數;費馬數;費馬定理

P為任意素數，且P>3，則： P可以表示成6r+1或6r-1（r為正整數）的形式，即：

p=6r+1，

或p=6r-1 （r為正整數）.

P為任意素數，且P>3，自然可得：

p≡1（mod3）或p≡2（mod3），即：

p-1=3k或p-2=3k （k為正整數）.

既然 P為任意素數，且P>3，自然p-1為偶數，p+1為偶數.可以寫出如下等式：

p-1=2h（h為正整數）=3k

=6r.

p=6r+1，或p-2=3k.

p+1=3k+3=3（k+1）=2h=6r.

p=6r-1.

那么孿生素數（除了2，3）只能是（6r-1 6r+1）的形式（前人已經發現此規律），上面式子也可以做如下解釋：

P為任意素數，且P>3，則：p+1，p-1必有其一能被6整除.

梅森素數很著名，形如

2n-1 （n為素數）的素數

稱為梅森素數.除了2，3所有的素數必是p=6r-1或p=6r+1的形式，梅森素數屬于p=6r+1.

假設：p=6r-1=2n-1 （n為素數，n>2），

則：6r=2n.

這是不可能的.

令：p=6r+1=2n-1，

6r=2n-2，

3r=2n-1-1.

從上式我們得出2的n-1次方減1能被3整除，由于n為大于2的素數，所以n-1只是部分偶數，下面我們可以得到更強的結果.

記：

M=2n-1（n為偶數）

=22m-1

=4m-1

=（4-1）（4m-1+4m-2+4m-3+…+42+4+1）

=3t （n=2m，m為自然數）.

t=4m-1+4m-2+4m-3+…+42+4+1.

即：2n-1能被3 整除，當n為偶數時.

看到上式我想起了費馬定理：如果p是任意一個不能整除整數a的素數，則

ap-1-1=sp（s為正整數）.

令a=2，得

2p-1-1=sp，

2p-1-1=3sp，（p≠2，3）.

即：2p-1-1（p≠2，3 p為素數）能被3p整除.

說到了費馬定理，順便提一下費馬數，形如Fn=22n+1（n為自然數）稱為費馬數.

人們發現F0，F1，F2，F3，F4全是素數，以后再沒發現素費馬數，甚至至今還沒有人能證明n>4時是否存在一個Fn是素數.素費馬數（除了3）必是6r-1的形式（讀者自己證明）.

接上面：

Fn-2=22n-1（n為偶數，則2n為偶數）

=3t.

即：大于3的費馬數減2必能被3整除.

最后一個小公式了：

M=2n-1=3t，

2M=2n+1-2=6t，

2n+1+1=6t+3 ?（n為偶數）

=3（2t+1）.

為了方便把n+1記為n，則 n為奇數，把2t+1記為t，則t為正整數，可以寫成下式：

2n+1=3t（n為奇數，t則為正整數）.即：

2n+1能被3整除，當n為奇數時.

取：任意梅森數M，

M=2p-1，

M+2=2p+1

=3t ?（p為素數，p>2）.即：

大于3的梅森數加2必能被3整除.

【參考文獻】

[1]Richard Courant，Herbert Robbins，Ian Stewart.What Is Mathematics左平，譯. 增訂版.復旦大學出版社，2005.

[2]盧昌海.黎曼猜想漫談.第一版.北京：清華大學出版社，2007.