滲透數學猜想 彰顯數學魅力

李曉曄

【摘要】本文從數學猜想入手，通過探析數學猜想對中學數學教學的影響，揭示數學猜想的方法論意義，從直觀猜想、類比猜想、構造猜想、歸納猜想等四個方面論述了數學猜想的運用，闡述了數學猜想在中學教學中的滲透.

【關鍵詞】數學猜想;中學教學;滲透

數學教育在現代教育中占有重要地位，數學教育改革使人們認識到培養數學思維品質的重要性.面對豐富的數學知識與理論，學習者不應該只是片面地接受和掌握，還需要傳承與創新，數學猜想是創造性思維的源泉，為數學的發展提供動力支持.數學猜想是數學創新的一種思維方式，所以在中學數學教學中，滲透數學猜想，培養創新能力具有重要意義.

一、數學猜想

數學猜想即根據某些已知的數學知識與事實，對一些數學的理論方法作出的猜測類推斷.它為數學發展提供推動力，例如在1900年，巴黎國際數學家代表會議上，希爾伯特提出了23個數學問題，這些問題對20世紀數學的發展產生了巨大的影響，其中部分問題就是以猜想的形式出現.數學猜想是創新型思維的體現，猜想的真偽需要理論的證明作以判斷，需要人們不斷對知識進行編碼加工得以實現.同時數學猜想并非胡亂地妄下斷言，在一定條件下，人們原有的認知結構在創造力推動下運用合理的邏輯思維才能完成猜想的過程，所以數學猜想并非猜測，而是一種高水平的數學思維活動.

二、數學猜想對中學教學的影響

1.豐富數學教學內容

在中學教學中，教師經常按照課本以及教學參考書中的內容進行教學活動，如果在教師的指導下，引導學生對未知問題及結果進行猜想，并在課堂中實施這一過程，便能實現教學內容的豐富.針對學生的各種猜想，教師給予恰當的評價，并對學生猜想進行討論及研究，這既實現了課堂內容的延伸及教學內容的拓展，同時為開發教學思維創造靈感.

2.增強課堂教學活力

課堂的生命力在于教學方式的多樣化，將數學猜想的思維方法融入課堂，并將其發展為一種教學模式，學生在猜想中建構知識，實現認知重組，這樣便改變了傳統的純理論教學方式，生成一種令學生思維全面拓展的新型課堂.將數學猜想注入課堂同時有利于彰顯課堂的凝聚力，教師學生同時進行思考，學生由過程的體驗發散了思維，也便于形成良好的課堂氛圍，這也為課堂提供了活力，為教學效果提升作出了貢獻.

3.開拓學生創新能力

數學猜想在教學中的主體是學生，學生積極的猜想無疑可以增強對問題的探求能力，數學猜想并不是人人都能做到的，邏輯的推理能力、嚴密的思維和固有的認知基礎都是數學猜想必不可少的要素.通過數學猜想能實現數學的進步，當然學生的猜想為其在數學領域的提高起到關鍵性作用，不論是對于問題解決能力的拓展還是創新能力的增強都起到催化劑的效果.

三、數學猜想在中學數學中的滲透

數學猜想的形式多種多樣，在這里根據實現數學猜想的方法，分成幾類進行說明.

1.直觀猜想

根據研究對象的特征，建立與以往經驗的聯系，對問題進行猜想即直觀猜想.教師引導學生分析命題的外在因素，挖掘本質特征，對問題解決的方法作出猜想.

例1 設a，b，c，x，y，z是正數，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，則a+b+cx+y+z=.

分析 根據題目，常規的想法是將所給的三個方程聯立成方程組，按照方程的一般解法尋找特殊的關系，這種做法過于煩瑣.觀察題目中所給的方程，發現方程右端的常數存在10×40=202這一特殊關系，猜想能否運用不等式解決問題.其實，由柯西不等式

ax+by+cz≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）=40×10=20，

當且僅當ax=by=cz時不等式等號成立，令

ax=by=cz=k，

容易得到k=12，故 a+b+cx+y+z=12.既然猜想到可以用不等式解決問題，還可以從ax+by+cz入手，即

ax+by+cz=12（2ax+2by+2cz）≤12（2a）2+x22+（2b）2+y22+（2c）2+z22=20，

當且僅當2a=x，2b=y，2c=z時可以取到等號，得

a+b+cx+y+z=12.

2.類比猜想

類比猜想即尋找事物間相類似的特性，根據問題條件，猜想是否可用這些相類似的特征解決問題.進行類比猜想對知識的遷移能力要求較高，當然這種猜想方法對數學思維的提升具有重要價值.

根據例1中的題目內容，題目中含有六個未知量，并已知每三個未知量平方和的數值，猜想是否可以根據空間向量的關系解決問題.于是，建立空間直角坐標系.

設Aa，b，c，Bx，y，z，O（0，0，0），得到 OA=10，OB=40，OA·OB=20，OA·OB=ax+by+cz=20，因此

OA·OB=OA·OB.

即OA∥OB，且OA與OB同向，故ax=by=cz=OAOB=12，得a+b+cx+y+z=12.

3.構造猜想

構造猜想即根據事物的結構或存在規律作出相應的猜想.這種猜想方法要求熟悉問題內部結構以及問題間結構，根據這種結構關系對問題作出猜想簡化問題.

例2 已知實數x，y，滿足|x+y|<13，|2x-y|<16，求證：|y|<518.

分析 由題目條件中出現的不等式想到用線性規劃的方法來解決，但過程十分復雜，于是猜想能否構造出|y|關于|x+y|與|2x-y|的關系式.

3|y|=3y=2（x+y）-（2x-y）≤2|x+y|+|2x-y|.

由|x+y|<13，|2x-y|<16， 得到

3|y|<23+16=56，故|y|<518.

4.歸納猜想

歸納猜想是利用從特殊到一般的思想，通過分析研究對象，猜想全部對象都具有該特征，這種猜想方法即將問題特殊化，從特殊化的問題中尋找有效的信息對其進行普遍應用.

例3 是否存在正整數m使f（n）=（2n+7）·3n+9對任何自然數n都能被m整除.

分析 考慮f（n）=（2n+7）·3n+9是否能被m整除，從特殊情況入手.

f（1）=9×3+9=36，

f（2）=11×32+9=3×36，

f（3）=13×33+9=10×36，

f（4）=15×34+9=34×36，

……

猜想存在m=36，使f（n）=（2n+7）·3n+9對任何自然數n都能被36整除.嘗試用數學歸納法給予證明：

（1）當n=1時，結論成立.

（2）假設當n=k時，f（k）能被36整除，于是當n=k+1時，有2（k+1）+7·3k+1+9=（2k+7）·3k+1+27-27+2·3k+1+9=3（2k+7）·3k+9+18（3k+1-1）.由于3k+1-1能被2整除，故18（3k+1-1）能被36整除，即當n=k+1時，f（k+1）能被36整除.這就驗證了m的存在性.

四、結 語

數學猜想提供了一種創新思維的數學教育觀，在這種創新思維的數學教育指導下，教師引導學生對數學進行猜想探索，雖然學生猜想到的結果大都為證明過的問題，但這一過程對于數學創新能力的提高以及數學思維的形成都具有積極意義.

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