發散思維，精彩無限

劉燕　王廣進

摘 要： 在平時的學習中，學生要發散思維，從各種不同的知識側面，用不同的思維方式尋求解題途徑，比較各種解法的特點，增強解題的靈活性，克服單純做題的機械模式，變機械思考為主動思考，做一道題，能起到舉一反三，復習鞏固多個知識點的作用，提高分析問題、解決問題的能力，掌握多種處理問題的方法，特別是最簡、最優的方法.本文以一道求最值題進行發散思維，多角度考慮問題的探究.

關鍵詞： 發散思維 數學教學 解題方法

原題：已知正實數a，b，c滿足a■+b■=c■，且am+bn+2c=0，求m■+n■的最小值.

解法1：不等式法

因為（m■+n■）（a■+b■）-（am+bn）■=（am-bn）■≥0，

則（m■+n■）（a■+b■）≥（am+bn）■，將a■+b■=c■，am+bn=-2c代入上式得

（m■+n■）c■≥（-2c）■，即（m■+n■）≥4，因此m■+n■的最小值為4.

解法2：換元法

設a=ccosα，b=csinα（0<α<■）；m=tcosβ，n=tsinβ.

代入am+bn+2c=0得ct（cosαcosβ+sinαsinβ）+2c=0，

因為c>0，所以tcos（α-β）+2=0，從而2=|tcos（α-β）|≤|t|，

故t■≥4，因此t■=m■+n■的最小值為4.

解法3：解析法

依題意知，動點P（m，n）在直線l：ax+by+2c=0上運動，它到坐標原點O的距離是|OP|=■.

由平幾知識得，點O到直線l垂線段OH最短.

在Rt△AOB中，斜邊|AB|=■=■，

斜邊上的高|OH|=■=2，所以m■+n■的最小值為4.

解法4：解析法

依題意知，動點P（m，n）在直線l：ax+by+2c=0上運動，動點P（m，n）到坐標原點O的距離是|OP|=■.根據原點O到直線l的垂線段最短，由解析幾何知識得

原點O（0，0）到直線ax+by+2c=0的距離是d=■=■=2，

所以m■+n■的最小值為4.

解法5：向量法

設向量■=（a，b），■=（m，n），根據|■·■|≤|■||■|得

故有|am+bn|≤■·■，即|-2c|≤c·■，

則■≥2，所以m■+n■的最小值為4.

點評：以上通過一道求最值題的解法探究，啟示我們在學習中，要不斷培養自己多角度、利用發散思維考慮問題的能力，幫助復習鞏固所學知識，提高分析問題與解決問題的能力.endprint

摘 要： 在平時的學習中，學生要發散思維，從各種不同的知識側面，用不同的思維方式尋求解題途徑，比較各種解法的特點，增強解題的靈活性，克服單純做題的機械模式，變機械思考為主動思考，做一道題，能起到舉一反三，復習鞏固多個知識點的作用，提高分析問題、解決問題的能力，掌握多種處理問題的方法，特別是最簡、最優的方法.本文以一道求最值題進行發散思維，多角度考慮問題的探究.

關鍵詞： 發散思維 數學教學 解題方法

原題：已知正實數a，b，c滿足a■+b■=c■，且am+bn+2c=0，求m■+n■的最小值.

解法1：不等式法

因為（m■+n■）（a■+b■）-（am+bn）■=（am-bn）■≥0，

則（m■+n■）（a■+b■）≥（am+bn）■，將a■+b■=c■，am+bn=-2c代入上式得

（m■+n■）c■≥（-2c）■，即（m■+n■）≥4，因此m■+n■的最小值為4.

解法2：換元法

設a=ccosα，b=csinα（0<α<■）；m=tcosβ，n=tsinβ.

代入am+bn+2c=0得ct（cosαcosβ+sinαsinβ）+2c=0，

因為c>0，所以tcos（α-β）+2=0，從而2=|tcos（α-β）|≤|t|，

故t■≥4，因此t■=m■+n■的最小值為4.

解法3：解析法

依題意知，動點P（m，n）在直線l：ax+by+2c=0上運動，它到坐標原點O的距離是|OP|=■.

由平幾知識得，點O到直線l垂線段OH最短.

在Rt△AOB中，斜邊|AB|=■=■，

斜邊上的高|OH|=■=2，所以m■+n■的最小值為4.

解法4：解析法

依題意知，動點P（m，n）在直線l：ax+by+2c=0上運動，動點P（m，n）到坐標原點O的距離是|OP|=■.根據原點O到直線l的垂線段最短，由解析幾何知識得

原點O（0，0）到直線ax+by+2c=0的距離是d=■=■=2，

所以m■+n■的最小值為4.

解法5：向量法

設向量■=（a，b），■=（m，n），根據|■·■|≤|■||■|得

故有|am+bn|≤■·■，即|-2c|≤c·■，

則■≥2，所以m■+n■的最小值為4.

點評：以上通過一道求最值題的解法探究，啟示我們在學習中，要不斷培養自己多角度、利用發散思維考慮問題的能力，幫助復習鞏固所學知識，提高分析問題與解決問題的能力.endprint

摘 要： 在平時的學習中，學生要發散思維，從各種不同的知識側面，用不同的思維方式尋求解題途徑，比較各種解法的特點，增強解題的靈活性，克服單純做題的機械模式，變機械思考為主動思考，做一道題，能起到舉一反三，復習鞏固多個知識點的作用，提高分析問題、解決問題的能力，掌握多種處理問題的方法，特別是最簡、最優的方法.本文以一道求最值題進行發散思維，多角度考慮問題的探究.

關鍵詞： 發散思維 數學教學 解題方法

原題：已知正實數a，b，c滿足a■+b■=c■，且am+bn+2c=0，求m■+n■的最小值.

解法1：不等式法

因為（m■+n■）（a■+b■）-（am+bn）■=（am-bn）■≥0，

則（m■+n■）（a■+b■）≥（am+bn）■，將a■+b■=c■，am+bn=-2c代入上式得

（m■+n■）c■≥（-2c）■，即（m■+n■）≥4，因此m■+n■的最小值為4.

解法2：換元法

設a=ccosα，b=csinα（0<α<■）；m=tcosβ，n=tsinβ.

代入am+bn+2c=0得ct（cosαcosβ+sinαsinβ）+2c=0，

因為c>0，所以tcos（α-β）+2=0，從而2=|tcos（α-β）|≤|t|，

故t■≥4，因此t■=m■+n■的最小值為4.

解法3：解析法

依題意知，動點P（m，n）在直線l：ax+by+2c=0上運動，它到坐標原點O的距離是|OP|=■.

由平幾知識得，點O到直線l垂線段OH最短.

在Rt△AOB中，斜邊|AB|=■=■，

斜邊上的高|OH|=■=2，所以m■+n■的最小值為4.

解法4：解析法

依題意知，動點P（m，n）在直線l：ax+by+2c=0上運動，動點P（m，n）到坐標原點O的距離是|OP|=■.根據原點O到直線l的垂線段最短，由解析幾何知識得

原點O（0，0）到直線ax+by+2c=0的距離是d=■=■=2，

所以m■+n■的最小值為4.

解法5：向量法

設向量■=（a，b），■=（m，n），根據|■·■|≤|■||■|得

故有|am+bn|≤■·■，即|-2c|≤c·■，

則■≥2，所以m■+n■的最小值為4.

點評：以上通過一道求最值題的解法探究，啟示我們在學習中，要不斷培養自己多角度、利用發散思維考慮問題的能力，幫助復習鞏固所學知識，提高分析問題與解決問題的能力.endprint