數學課堂教學中學生創新思維能力培養初探

肖海濱

摘 要： 創新是一個民族進步的靈魂，在數學教學中必須高度重視開發學生的創新潛能，有計劃、有目的地對學生進行科學訓練.教師在教學中要注意適時引導學生發現知識間的聯系，將有關概念、定理進行歸納綜合，使之系統化，訓練學生的系統思維，掌握發現數學內在規律的方法.創新教育是時代的要求，教師要根據不同的教學內容，采用不同的教學方法培養學生的創新能力.

關鍵詞： 創新思維 逆向思維 直覺思維 聯想思維 發散思維

數學被稱為探索和發明的樂土，是思維訓練頗佳的工具.數學是一門培養思維能力的基礎課程，數學教學的任務不但是使學生獲得新的知識，而且要促進學生思維能力的發展，同時要培養學生自覺運用數學知識、考慮和處理日常生活生產中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質.創新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭動力，在教學中必須高度重視開發學生的創新潛能，有計劃、有目的地對學生進行科學訓練.

一、訓練學生的逆向思維，學會從反面分析問題

逆向思維是有意地從常規思維的反向思考問題的思維方式，在數學里，正逆運算、正逆定理、正向或逆向應用公式、互為對稱關系、綜合法與分析法、直接證法和反證法等，都反映思維過程中思維方向的改變.逆向思維具有求異性、探索性和發散性等特征，能培養學生突破原有的思維模式尋求新的思維方式的思維能力，具有很大的創造性.

例1：已知：0

證法一（綜合法）：

∵02a■，a+a■>2a■，…，a■+a■>2a■，以上諸式相加，得1+a+…+a■+a■+…+a■>2na■，

即有1+a+…+a■>（2n+1）a■，從而■>（2n+1）a■.

兩邊同乘以1-a，得1-a■>（2n+1）a■（1-a），即得證：（2n+1）a■（1-a）<1-a■.

證法二（分析法）：

∵0

也就是■■+a■<1+a+…+a■

=（1+a■）+（a+a■）+…+（a■+a■）+a■……①

因為1+a■>2a■，a+a■>2a■，…，a■+a■>2a■，所以不等式①成立，從而原不等式成立.

這個不等式還可以用比較法、反證法證明（略）.

從所給的證法可以看到，正向思維與逆向思維的思維方向雖然完全不同，但逆向思維并不完全是以相反的程序重復正向思維的過程，思維方向的改變并不是簡單的思維過程的顛倒，而是有著實質性的差異.了解它們在思維過程中的區別與聯系，能有效地培養學生的逆向思維，學會反向分析問題.

二、訓練學生的直覺思維，掌握憑直覺思考問題的方法

直覺思維是運用有關知識對當前問題進行敏銳的分析、推理，并能發現解決問題的方向和途徑的思維形式，是以高度省略、簡化、濃縮的洞察問題實質的思維.教學中不僅要強調思維的嚴密性、知識的完整性、結論的正確性，更應重視學生的直覺思維.直覺思維要求學生有相當的知識結構和嫻熟的推理技能，因此要強化基礎知識教學，完善學生知識結構，同時在教學中要鼓勵學生猜想、大膽假設，展開合理想象，提高學生對直覺的敏感性；教給學生捕捉直覺的方法，讓學生盡可能多地獲得解決問題的經驗等.

例2：已知u=cosα+isinα，v=cosβ+isinβ，且u+v=■+■i.（1）求tan（α+β）的值；（2）求u■+v■+uv的值.

[直覺1]復數問題三角化：由u+v得cosα+cosβ=■sinα+sinβ=■，兩式相除得tan■后，再由萬能公式得tan（α+β），sin（α+β），cos（α+β），這樣uv確定后，（1）（2）均迎刃而解.

[直覺2]復數問題代數化：由|u|=|v|=1，可設u=x+yi（x，y∈R），v=（■-x）+（■-y）i，從而得x，y的方程組，求出u，v后可確定uv的值，使問題得解.

[直覺3]復數問題整體化：∵u+v=u·v·■+v·u·■=u·v·（■+■），∴uv=■=（u+v）■，可得uv的值.

三、訓練學生的聯想思維，掌握舉一反三、觸類旁通的創新方法

由此及彼的類比、聯想，常能拓寬我們的視野，啟發我們的思維.運用類比、聯想法探索解題的規律和方法，不僅有利于基礎知識和基本技能的掌握和鞏固，而且對于提高發現問題、分析問題、解決問題的能力無疑是極其重要的.

例3：設P■（x■，y■），P■（x■，y■）是圓x■+y■=r■上的兩點，k■=k（非零常數，下同），P■P■平移時，試求P■P■的中點Q的軌跡方程.

分析：把圓的方程化為■+■=1，∵Q（x，y）是P■P■的中點，∴OQ⊥P■P■.

∵k■·k■=-1，∴■·k=-1=-■，即得所求的軌跡方程為y=-■x.

由于Q點只能在圓內部，故所求軌跡為直線y=-■x在已知圓內的部分.

由此我們可以類比聯想到：

問題1：設P■（x■，y■），P■（x■，y■）是橢圓■+■=1，（a>b>0）上的兩點，k■=k，當P■P■平移時，試求P■P■的中點Q的軌跡方程.

問題2：設P■（x■，y■），P■（x■，y■）是雙曲線為■-■=1，（a>b>0）上的兩點，k■=k，當P■P■平移時，試求P■P■的中點Q的軌跡方程.

這兩個問題是否也有類似的解法？

事實上，問題1只需利用k■k■=-■，即■·k=-■.

由此可求得點Q的軌跡為直線y=-■x在已知橢圓內部的一條線段.

問題2可仿問題1利用k■k■=■，

亦可求得點Q的軌跡為直線y=■x在已知雙曲線內部的兩條射線（|k|>■）或經過中心的一條線段（|k|<■）.

通過對條件與條件、結論與結論、結論與條件、新題與舊題之間的“聯動”思維，分析其內在聯系，從而“碰撞”到解題思路的入口.

四、訓練學生的發散思維，讓學生掌握全方位考慮問題的方法

所謂發散思維其本質特征是思維的多向性，表現在對已知信息進行多方面、多角度、多層次的思考.在解題時，若能將問題逐步引申，使解題思路能順利遷移，尋求多種解題途徑，則不僅能鞏固所學知識，而且能較好地培養和發展學生的發散思維.

例4：已知f（x）=■，a、b為相異實數，求證：|f（a）-f（b）|<

|a-b|.

這一習題從解題方法的角度進行發散，不難得出如下幾種解題思路：

思路一：按證明絕對值不等式的常規方法，經過平方去絕對值符號，作差比較，利用配方法證之.

思路二：注意函數f（x）=■的結構特征，設x=tanα轉化為三角不等式證之.

思路三：考慮方程y=■表示雙曲線y■-x■=1的上支，■是雙曲線上兩點（a，f（a））與（b，f（b））連線斜率的絕對值，于是問題可轉化為雙曲線上支任一弦所在直線斜率的估計問題，而雙曲線y■-x■=1的漸近線斜率為x=±1，問題即可得證.

思路四：考察表達式■=■可視作P（x，1）到（0，0）的距離，當a≠b時，由點P■（a，1），P■（b，1）和原點確定的三角形OP■P■中任一邊大于其余兩邊之差即可證得結論.

思路五：觀察函數f（x）=■的特點，聯想到復數的模，可構造復數z=1+xi，利用復數的三角不等式進行證明.

通過從不同角度引導學生，使學生能全方位地考慮問題，這對促進知識之間的橫向聯系，提高解題能力，培養學生思維的廣闊性是十分有益的.在教學中還可以通過一式多變、一題多問、一題多思等方法培養學生的發散思維.

教師在教學中要注意適時引導學生發現知識間的聯系，如教學完一單元，布置學生寫單元小結，將有關概念、定理進行歸納綜合，使之系統化，訓練學生的思維能力，使其掌握發現數學內在規律的方法.總之，創新教育是時代的要求，教師要根據不同的教學內容，采用不同的教學方法培養學生的創新能力.