對2011年廣東高考文科數學試卷第18題的解法研究與思考

焦曉東

【摘要】文章提供了對第18題的不同解法，通過對解法的比較，論述了幾何與代數解法的優劣，肯定了該題對高中立體幾何教學的導向，提出了對教材的編寫思考以及對該題的改編思考.

【關鍵詞】廣東高考；文科數學；解法；思考

一、問題的提出

圖1

2011年廣東高考文科數學試卷第18題原題：如圖1所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A，A′，B，B′分別為CD，C′D′，DE，D′E′的中點，O1，O′1，O2，O′2分別為CD，C′D′，DE，D′E′的中點.

（1）證明：O′1，A′，O2，B四點共面;

（2）設G為AA′中點，延長A′O′1到H′，使得O′1H′1=A′O′1，證明：BO′2⊥平面H′B′G.

二、解法分析

解決幾何問題，一般有幾何解法與代數解法兩種方法.要證O′1，A′，O2，B四點共面，利用幾何解法應證：①O′1A′∥O2B或②A′BO′1O2相交；利用代數解法應證：O′1A′∥O2B.要證BO′2⊥平面H′B′G，幾何解法應證明直線BO2與平面H′B′G內的兩條相交直線垂直；利用代數解法應證：BO2·H′B=0，BO2·H′B′=0.具體解答如下：

引理在凸四邊形中，如果這個四邊形的面積等于兩條對角線積的一半，則對角線相互垂直.

圖8

已知：S四邊形ABCD=12·AC·BD，求證：AC⊥BD.

證明如圖8，假設AB與CD不垂直，則過點A作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足為E，F，則

S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD

三、相關的思考

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代數解法思維容量少，運算量也不大.幾何解法要添加一定的輔助線，還要比較多的推理論證.因此，代數解法顯然優于幾何解法.

那么我們的思考是：是否可以互相取代呢？如果可以互相取代，從減輕學生負擔這一點說就完全可是二選一了.大家知道，代數研究的對象，要遠遠超過幾何研究的對象，故是否就可以只學代數而不學幾何呢？答案顯然是否定的，幾何在培養學生的空間想象能力方面有其不可替代的作用，所以去掉幾何顯然不可取.但隨著科技的進步，特別是三維動畫技術的運用，對立體幾何的要求有所降低，故在新課標中降低幾何的要求顯然是符合實際的，該題的導向功能也是良好的.

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新課程教材中文科教材為什么沒有編寫代數解法？而實際上對文科學生的空間想象能力的要求要低于理科學生.怎么樣去體現這個差異呢？筆者認為運用代數方法解決立體幾何問題是最好的解決方案.遺憾的是文科教材沒有涉及代數解法，反而理科教材有更多的要求，這是為什么？以后再編寫時是否可以適當增加代數解法呢？

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該題涉及字母多，閱讀量大，學生筆誤很多，是否可以向較易與較難兩個方面改進呢？

（1）減小難度的改編

若改為：將圓柱體改為長方體進行切割平移，而其他條件與結論不變，顯然難度降低不少.

（2）增加難度的改編

圖11

若改為：如圖11，P1為O1H′1中點，過點P1作垂直于O′1A′的平面切割圓柱后平移得到.①證明：O′1，A′，B，P2四點共面；②G在O1O′1上，且O′1G=14O1O′1，求證：BP′2⊥平面H′B′G.

若再改為：P1為線段O1H′1上的點，且H′P1=mnH′A′，過點P1作垂直于O′1A′的平面切割圓柱后平移得到.①證明：O′1，A′，B，P2四點共面；②若O′1G=mnO′1O1（m,n∈N+，且m

上述兩種改編難度將會增加不少.

總之，本小題主要考查空間想象、推理論證和抽象概括能力，以及化歸與轉化的數學思想方法.考查線線關系和線面關系，線線共面的判定定理，四點共面的判定，線面垂直的判定和性質，圓柱體的性質和平移等基礎知識.對中學立體幾何教學有良好的導向作用.但本題給學生的感覺是復雜的：點多，又要切割圓柱體，再平移，所以會給學生導向很難；此題不好表達，有些結論很簡單，具體因為什么，說不好，故而導致選拔的功能有所減弱.因此在以后的選拔考試中如何命出更好的具有良好區分度的題又是一個值得研究的課題.

【參考文獻】

［1］嚴士健，等.普通高中數學課程標準(實驗)解讀［M］.南京：江蘇教育出版社，2004.

［2］李建華，等.普通高中課程標準實驗教科書《數學》(必修)［M］.北京：人民教育出版社,2007.

［3］2011年普通高等學校招生全國統一考試數學（理科）考試大綱說明（廣東卷）.廣東教育考試院，2011.

［4］2011年高校招生考試新課程考試大綱(理科數學).教育部考試中心，2011.

［5］劉邵學，章建躍.幾何中的向量方法［J］.數學通報，2009（6）.